Własności jąder w stanie podstawowym

Modele jądra atomowego

Model to uproszczona wersja teoretycznego
opisu, która:
1.) Tworzona jest biorąc pod uwagę tylko wybrane fakty
doświadczalne
2.) Przewiduje dalsze fakty, które mogą być doświadczalnie
zweryfikowane

Trzy typowe modele:
1.) Model gazu Fermiego nukleonów
2.) Model powłokowy
3.) Model kroplowy
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
1
Model gazu Fermiego jądra atomowego
Znane fakty:
1.) Nukleony są fermionami
2.) Jądra mają dobrze określone rozmiary
3.) Gęstość materii we wnętrzu jąder jest stała – taka
sama dla prawie wszystkich jąder ( ~ 0.16 – 0.17
nukleonów / fm3)
4.) Energia wiązania nukleonu jest w przybliżeniu stała
dla wszystkich jąder ( ~ 8 MeV / nukleon)
1.) → Antysymetryczna funkcja falowa jądra:
operator
antysymetryzacji
objętość jądra
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
2
Określona objętość i gęstość
Warunki brzegowe na pęd w jednostkach ħ (fala
periodyczna w sześcianie o krawędzi L,
):
W stanie podstawowym zajęte wszystkie najniższe stany pędowe
gdzie
a
tzw. „pęd Fermiego” czyli największa wartość pędu
w zapełnionym stanie.
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
3
c.d. Objętości i gęstości
Pęd Fermiego szukany jest z warunku, że liczba
dostępnych, całkowicie wypełnionych stanów równa
jest liczbie masowej jądra A (bo w stanie
podstawowym obsadzane są najniższe stany).
Liczba stanów (4-krotnie zdegenerowanych ze względu
na spin i izospin) wynosi m(kF):
Po przyrównaniu do A dostaje się:
czyli
lub inaczej
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
4
Wnioski




Nukleony we wszystkich jądrach (w stanie
podstawowym) poruszają się „ruchem Fermiego” z
wektorem pędu o współrzędnych (px,py,pz) jednorodnie
rozłożonych wewnątrz kuli o środku w punkcie (0,0,0) i o
promieniu równym „pędowi Fermiego” identycznemu dla
wszystkich jąder !!!
Pęd Fermiego podany na poprzedniej stronie został
oszacowany biorąc gęstość jądra 0.17 nukleonów/fm3
Nukleony we wszystkich jądrach (stan podstawowy)
poruszają się z energią kinetyczną ograniczoną przez
„energię Fermiego” , która wynosi około:
Funkcję gęstości prawdopodobieństwa energii
kinetycznej można wyliczyć z funkcji gęstości prawdop.
pędu
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
5
Stała energia wiązania na nukleon
oraz stała energia Fermiego ruchu nukleonów w jądrach
sugeruje możliwość oszacowania średniego potencjału
oddziaływania nukleon - jądro
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
6
Jądrowy efekt Ramsauera
tzn. oscylacje całkowitego przekroju czynnego neutron – jądro w funkcji
energii neutronu ( interpretowane jako interferencja fali
przyspieszonej przez potencjał i fali obiegającej jądro) - potwierdza
doświadczalnie istnienie takiego średniego potencjału nukleon –
jądro:
Cd+n, Ho+n, Pb+n
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
7
„Energia symetrii” ~ (N-Z)2/A

Model gazu Fermiego pozwala również wyjaśnić
pochodzenie wyrazu zależnego od (N-Z)2/A we wzorze
na energię wiązania jądra

Energia kinetyczna wszystkich nukleonów to suma
energii dla wszystkich zajętych stanów i wynosi:

Rozwijając
dostajemy
w szereg względem (N-Z)/A
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
8
c.d. „energii symetrii”

Po wstawieniu szeregu do wzoru na energię kinetyczną

Pierwszy wyraz zmniejsza objętościową energię
wiązania
Drugi wyraz to „energia symetrii” osłabiająca wiązanie
jądra, które ma liczbę neutronów różną od liczby
protonów
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
9

Model powłokowy jądra: fakty

Istnienie jąder „magicznych”
z Z=2,8,20,28,50,82 lub/i z N= 2,8,20,28,50,82,126
Jądra te:
Mają maksima w zależności energii wiązania od Z i N
Są bezspinowe, sferyczne (Q=0) i mają parzystość (+)
Mają mniejszy promień niż sąsiednie jądra
Występują częściej w przyrodzie
Jądra o Z (lub N) większym o 1 od liczby magicznej mają
skokowo mniejszą energię wiązania nukleonu danego typu
 Energia rozpadu alfa jest większa gdy cząstka alfa jest
zbudowana z nukleonów poza zamkniętą powłoką
 Przekrój czynny na wychwyt neutronu dla jąder z N=50,82 i 126
jest kilkadziesiąt razy mniejszy niż dla sąsiednich jąder





Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
10
Najprostszy model powłokowy („jednocząstkowy”)
 Model ten zakłada, że nukleony poruszają się
niezależnie w potencjale zawierającym trzy człony:
 Jądrowy (silny) potencjał centralny
 Potencjał kulombowski (protony)
 Potencjał spin-orbita
 Bardziej zaawansowane wersje modelu powłokowego
(„wielocząstkowy model powłokowy”) dodają do
powyższego - „średniego” potencjału jednocząstkowego
„oddziaływania resztkowe” różnego typu, np.
oddziaływanie dwójkowania
 Model powłokowy proponuje najbardziej ogólne i
zaawansowane podejście do teoretycznego opisu jądra.
 Wymaga wyrafinowanych i skomplikowanych rachunków.
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
11
Potencjał centralny
 Bardzo chętnie używa się potencjału oscylatora
harmonicznego

gdzie V0 i R są parametrami
Dla cząstki o masie M używa się także innego wzoru:
gdzie

Wielką zaletą tego potencjału jest fakt, że można z nim
ściśle rozwiązać równanie Schroedingera i używać
funkcji falowych w analitycznej postaci
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
12
Centralny potencjał oscylatora
Mimo prostoty daje funkcje falowe w obszarze jądra bardzo podobne do
bardziej realistycznych potencjałów, które wymagają numerycznych
rachunków.
Na rysunku porównane są
1) Potencjał oscylatora i potencjał
typu Woodsa-Saxona (góra)
2) Radialne funkcje falowe dla
stanów o różnych liczbach
kwantowych (środek i dół rysunku)
otrzymane z tymi potencjałami
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
13
Energie własne oscylatora 3-wymiarowego
 Energie własne
 Gdzie główna liczba kwantowa N wyraża się przez
 Wsp. kartezjańskie
 Wsp. sferyczne

to radialna l. kwantowa a

to orbitalna l. kwantowa (kręt orbitalny)
to liczba zer radialnej f.falowej (bez zera dla r=0 i
nieskończoności)
 Liczba orbitalna spełnia (także dla innych centralnych
potencjałów):

relację

„l” ma tę samą parzystość co „N”

Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
14
Konwencja oznaczeń
 Poziomy energetyczne w potencjale (centralnym i
kulombowskim) oznacza się podając:
 Główną liczbę kwantową (N) i orbitalną (l) albo
 Symbol krętu orbitalnego poprzedzony liczbą radialną
przy czym stosuje się tradycyjne przyporządkowania liter do
wartości „l”:
l=0 ↔ s, l=1 ↔ p, l=2 ↔ d, l=3 ↔ f, a dalsze zgodnie z
alfabetem (l=4,5,6 … ↔ g,h,i,...)
np. ”1p” oznacza, że liczba radialna „nr” = 1 oraz l=1
 Warto zapamiętać, że wartość liczby radialnej podaje,
który raz dana wartość „l” pojawia się wśród stanów
(licząc od najniższej energii),
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
15
Liczby magiczne – zamknięte powłoki
 Każdy poziom oscylatora harmonicznego jest
zdegenerowany (N+1)(N+2) razy
 Stąd trzy pierwsze zamknięte powłoki
odpowiadają liczbom magicznym:



N=0 ↔ liczba stanów: 2
N=1 ↔ liczba stanów: 6 (+2 =8)
N=2 ↔ liczba stanów: 12 (+8=20)
ale dalej zgodność znika
 Aby odtworzyć dalsze liczby magiczne potrzebny
jest potencjał spin - orbita
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
16
Potencjał spin-orbita
To potencjał postaci:
 gdzie f(r) bierze się jako pochodną funkcji
Fermiego (potencjału Woodsa-Saxona)
a wartości własne operatora
to


Przy czym dla s=1/2:
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
17
Skutek działania potencjału spin-orbita

to rozszczepienie poziomów dla danego krętu
orbitalnego na dwa odpowiadające różnym
wartościom krętu całkowitego
i


Z doświadczenia wiadomo, że poziomy z większą
wartością „j” leżą niżej
Po uwzględnieniu potencjału spin orbita symbol
poziomu rozszerza się dodając dodatkowo wartość
„j” jako dolny wskaźnik, np. 1p3/2 , 2d5/2 itd.
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
18
Schemat poziomów jednocząstkowych
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
19
Wyniki jednocząstkowego modelu
 Odtworzone spiny i parzystości lekkich jąder
 Dla ciężkich jąder – oddalonych od podwójnie
magicznego 208Pb – brak zgodności. Wytłumaczenie:
trwała deformacja jąder ciężkich z A ~ 150.
 Próba odtworzenia momentów magnetycznych („linie
Schmidta”) dała tylko umiarkowany sukces z wyjątkiem
jąder o liczbie nukleonów różniącej się od liczby
magicznej o 1.
 Podobnie rzecz się ma z momentami kwadrupolowymi,
 Włączenie oddziaływania resztkowego poprawia
 Oddziaływanie krótkozasięgowe – dwójkowanie
 Oddziaływanie długozasięgowe – deformacje jąder
Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
20
Model kroplowy jądra
Masy i energie wiązania jąder dobrze opisane przez
model zakładający, że jądro zachowuje się jak kropla
naładowanej cieczy – model kroplowy
 Stany wzbudzone jąder, które omówione zostaną na
następnym wykładzie pokazują istnienie kolektywnych
wzbudzeń:
 Rotacyjnych dla trwale zdeformowanych jąder
 Wibracyjnych dla jąder w przybliżeniu kulistych
przy czym mogą to być:
 Rezonanse gigantyczne gdzie drga całe jądro atomu
 Nisko wzbudzone stany (drgania powierzchni) lub

Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys
21