Lista zadan przygotowawczych z drugiej polowy semestru

1. Zbadaj czy funkcjonał jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatnio–określony:
a) f : R × R → R:
• f (x, y) = x2 − y 2 ;
• f (x, y) = −3xy;
• f (x, y) = max(xy, −xy);
b) g : R2 × R2 → R:
• g((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 y1 + x2 y2 ;
• g((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 x2 + y2 x1 ;
• g((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = 2x1 y1 − x2 y2 ;
c) H : W2 (R) × W2 (R) → R:†
• H(v, w) = v(0) · w(1) − v(1) · w(0);
Z 1
• H(v, w) =
v(x) − w(x) dx
−1
Z 1
Z 1
w(x)dx.
v(x)dx
• H(v, w) =
0
0
2. Wyznacz macierz funkcjonału oraz korzystając z macierzy zbadaj, czy jest to iloczyn skalarny
a) u : R2 × R2 → R w bazie kanonicznej oraz w bazie B, gdzie
2
−1
B=
,
1
3
• u (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = 4x1 x2 − 2x2 y1 ;
• u (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = x1 x2 + 3x2 y1 + 2x1 y2 − y1 y2 ;
b) v : R3 × R3 → R w bazie kanonicznej oraz w bazach C i D, gdzie
     
    

0
0
1
1
1
0
C =  1  ,  0  ,  0  ;
D =  1  ,  1  ,  0 
0
1
0
1
0
−2
• v (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) = x1 y2 − 3x2 y1 + 2x2 z1 − z1 y2 + z2 x1 ;
• v (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) = x2 z1 + x2 y1 + y2 y1 + z1 y2 + z2 x1 + y2 x1 + x2 x1 ;
c) H : W2 (R) × W2 (R) w bazach E i F, gdzie
2
E = x , x, 1 ;
F = 1 − x, x + 1, 3
2
• H(v, w) = v(0) · w(1);
• H(v, w) = v 0 (0) · w(0) + 2w0 (0) ;
Z 1
Z 1
• H(v, w) =
v(x)dx
w(x)dx.
0
†
0
W2 (R) to przestrzeń wielomianów stopnia 6 2 o współczynnikach rzeczywistych
1
3. Wyznacz wzór funkcjonału Z : R3 × R3 → R, wiedząc że w bazie D ma macierz:


    

5 2 0
1
1
−2
 2 2 1  , gdzie D =  1  ,  1  ,  0 
0 1 1
1
0
0
4. Dla poniższych wektorów oblicz ||u||, ||v||, (u|v) oraz kąt między u a v;
a) w przestrzeni R2 :
1
−1
• u=
,v =
;
1
1
√ 1
3
• u= √
,v =
;
3
1
b) w przestrzeni R3 :
 


3
−4
• u =  4 ,v =  3 
0
5




−1
0
• u =  0  , v =  −1 ;
1
1
Z
c) w przestrzeni W2 (R) używając iloczynu skalarnego hu|vi =
1
u(x) · v(x)dx:
0
• u(x) = x, v(x) = x2 ;
• u(x) = x − 3, v(x) = 2 − 3x2 .
5. Funkcjonały dwuliniowe F oraz G mają w bazie kanonicznej macierz
3 2
2 −1
F 7−→
G 7−→
2 2
−1 1
(a) Wykaż, że są to iloczyny skalarne;
(b) Podaj wzór funkcjonału F ;
(c) Czy istnieje baza przestrzeni R2 w której F ma macierz diagonalną? Jaka? A G?
A czy mogą obie macierze (w tej samej bazie) byc jednocześnie diagonalne?
(d) Wyznacz bazę ortogonalną względem iloczynu skalarnego F (lub G).
6. Funkcjonał dwuliniowy Hp ma w bazie kanonicznej macierz
2 p
F 7−→
p −p
(a) Dla jakich p jest to iloczyn skalarny?;
(b) Wyznacz bazę ortogonalną (w zależności od p) względem iloczynu skalarnego Hp .
7. Wyznacz bazę ortogonalną (względem standardowego iloczynu skalarnego) i ortonormalną poniższych przestrzeni liniowych:
2

•
•
•
•
•
 

1
2
L  4  ,  −1 ;
0
1
     
1
1
1
 1   0   0 
     
L
 0  ,  1  ,  0 ;
0
0
1
(x, y) ∈ R2 : x + y = 0 ;
(x, y, z) ∈ R3 : x + y − 2z = 0 ;
(w, x, y, z) ∈ R4 : w + x + y + z = 0 ∧ w − x + 2z = 0 .
8. Wyznacz bazę ortogonalną i ortonormalną (względem iloczynu skalarnego z punktu 4c.) poniższych
podprzestrzeni liniowych przestrzeni W2 (R):
• L (2x + 1);
• L (x, 2 − x);
• {w(x) ∈ W2 (R) : w(0) = 0};
• {w(x) ∈ W2 (R) : w0 (1) = 0};
• {w(x) ∈ W2 (R) : w(0) − 3w00 (2) = 0}.
9. Wyznacz rzut ortogonalny wektora v na przestrzeń S oraz oblicz odległość wektora od tej przestrzeni:
1
−2
• v=
,
S=L
;
−2
4
2
1
• v=
,
S=L
;
0
2
 
  

1
1
2
• v =  1 ,
S = L  4  ,  −1 ;
2
0
1


 
1
0
• v =  0 ,
S = L  2 ;
−1
1
0
• v=
,
(x, y) ∈ R2 : x + 2y = 0 ;
−3
 
1
• v =  2 ,
(x, y) ∈ R2 : x + y + z = 0 .
1
10. Wyznacz rzut ortogonalny (względem iloczynu skalarnego z punktu 4c.) wielomianu v(x) na przestrzeń S oraz oblicz odległość wielomianu od tej przestrzeni:
• v(x) = x,
2
• v(x) = x ,
• v(x) = 1,
S = L (x − 2);
S = L (1, x);
S = {w(x) ∈ W2 (R) : w(1) = w0 (1) ∧ w(2) = 0}.
3
11. Wyznacz równanie parametryczne prostej (o ile taka prosta istnieje):
• l przechodzącej przez punkty (1, 2, 3) i (3, 2, 1);
• k przechodzącej przez punkt (2, 2, −3) o wektorze kierunkowym [−2, 1, 3]T ;
• m prostopadłej do płaszczyzny P = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − 2z = 2} i przecinającej środek
układu współrzędnych;
• n prostopadłej do prostych l i k i przechodzącej przez punkt (1, 1, 1);
• o przecinającej proste l, k, n i m.
12. Wyznacz równanie parametryczne płaszczyzny (o ile istnieje):
• P z poprzedniego punktu;
• R przechodzącej przez punkty (1, 0, 2), (2, 2, 0) i (0, 1, 3);
• S zawierającej prostą l i środek układu współrzędnych;
• T zawierającej prostą k i oś OY;
• U prostopadłej do wektora [1, 2, −1]T i przecinającej punkt (0, 1, 2).
13. Zbadaj wzajemne położenie (tj. czy się przecinają, czy się pokrywają):
• prosta l i prosta o;
• prosta k i płaszczyzna T ;
• prosta n i płaszczyzna U ;
• płaszczyzna T i płaszczyzna U .
14. Zbadaj czy zbiór jest wypukły (uzasadnij, że jest† albo podaj przykład odcinka, którego końce
leżą w zbiorze, a punkt z wnętrza odcinka — nie)
• A = x ∈ R : x2 > 0 ;
• B = x ∈ R2 : x4 + 4x2 + x3 + x 6 10 ;
• C = x ∈ R2 : ex − x2 ∧ x > 1 ;
• D = (x, y) ∈ R2 : x + 3y + 1 6 0 ;
• E = (x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 = 0 ;
• F = (x, y) ∈ R2 : y 2 6 4 − x2 6 0 ;
• G = (x, y) ∈ R2 : 2x2 − 1 6 2y 6 3 − x2 ;
• H = (x, y) ∈ R2 : y > ex − 2 ∧ y 6 ln(x) + 3 ;
• I = (x, y) ∈ R2 : |y| + |x| < 4 ;
• J = (x, y) ∈ R2 : |x| < 1 − y 2 ;
• K = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 4 − x 6 3 ;
• L = (x, y) ∈ R2 : x4 + y 2 + xy 6 7 ∧ 2x > 1 ;
• M = (x, y, z) ∈ R3 : z > x2 + 2y 2 − xy ;
• N = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + 3y − 2z > 0 ;
†
patrz też zadanie 17
4
• O = (x, y, z) ∈ R3 : z > |x| + |y| ;
• P = (x, y, z) ∈ R3 : z > |3x| + ey − ln(x) ;
• R = (x, y, z) ∈ R3 : y > 6 + max(x2 , z 2 + z) ;
• S = (x, y, z) ∈ R3 : − z 2 + 2y > x > y 2 − y + 2z 2 ;
• T = (x, y, z) ∈ R3 : z 6 min(y, x) ∧ z 2 6 1 − x2 − y 2 ;
• U = (x, y, z) ∈ R3 : x + 3y + z 6 3 ∧ x + 3y > 0 ∧ y > −1 ∧ z + y > 0 ;
• V = (x, y, z) ∈ R3 : z > x2 + 2y 2 − xy ;
• W = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 4 + 3z 6 6 3 ∧ ln(1 + x + y) − ez > −1 ;
• X = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 + 4xy 6 1 .†
15. Wyznacz prostą(-e) / płaszczyznę(-y) podpierającą(-e) (o ile istnieją):
• zbiór D w punkcie (2, −1);
√ √
• zbiór F w punkcie ( 2, 2);
• zbiór H w punktach (1, e − 2) i (1, 3);
• zbiór I w punktach (2, 2) i (4, 0);
• zbiór K w punkcie (2, 1);
√
• zbiór K w punktach (0, 7) i (1, 2);
• zbiór M w punkcie (0, 0, 0);
• zbiór O w punkcie (1, 2, 5);
• zbiór S w punktach (0, 0, −1), (0, 0, 0), (0, 1, 0);
• zbiór T w punkcie (3, −1, 1);
• zbiór W w punktach (0, 0, 1), (0, 0, 0).
16. Wyznacz prostą/płaszczyznę rozdzielającą (o ile istnieje):
• zbiory D i F ;
• zbiory D i G;
• zbiory D i H;
• zbiory G i H;
• zbiory M i O;
• zbiory R i T .
17. Zbadaj czy funkcja jest wypukła:
• α(x) = x4 − 4x3 + 6x2 ;
• β(x) = max(x4 , x2 );
2
• γ(x) = ex−x ;
• δ(x) = 3 − min
√
x, ln(x) ;
• (x) = |x4 − x2 |;
†
wykaż, że prosta styczna np. w (1,0) przecina zbiór.
5
• ζ(x) = 3|x| + 2arctg(x);
• η(x, y) = x2 − 2xy + 6y 2 ;
• θ(x, y) = x2 − 2xy + y 2 ;
• ι(x, y) = x4 − 2x + 6y 2 ;
• κ(x, y) = x4 − xy + y 2 ;
• λ(x, y) = x4 − 2xy + 6y 2 ;
• µ(x, y) = exy + 2xy + y + 2;
• ν(x, y) = − ln(x2 + y 2 + 1) + x;
• ξ(x, y) = |x + y| + 3|x2 − 2y|;
• o(x, y) = |x2 − 2| + y 2 ;
• π(x, y, z) = x4 + 6y 2 + 3z 4 ;
• ρ(x, y, z) = x2 − xy + 6y 2 + z 2 − yz + xz;
• σ(x, y, z) = x2 − 2xy + y 2 − z 2 ;
• τ (x, y, z) = x2 + 3y − zy + z 3 ;
• υ(x, y, z) = x2 + y 2 + 2xy + 4xz + z 2 ;
• φ(w, x, y, z) = w2 + wx + x2 − 2xy + 6y 2 + wy + 3z 2 − 2wz.
18. Wyznacz wierzchołki (punkty ekstremalne) zbioru:
• Q = (x, y) ∈ R2 : x 6 3 ∧ x > 2y ∧ x > 1 − 2y ∧ x 6 3 − y ;
• R = (x, y) ∈ R2 : x > y 2 ;
• S = (x, y) ∈ R2 : − x2 + 2 > y > x2 − x − 3 ;
• T = (x, y) ∈ R2 : y 6 4 − x2 ∧ y > 2x ∧ y > 1 − 2x ;
• U = (x, y, z) ∈ R3 : x > 0 ∧ y > −1 ∧ z > 1 ∧ x + y + z 6 5 ;
• V = (x, y, z) ∈ R3 : 4 > z > y 2 + x2 ;
19. Wyznacz wierzchołki. Podaj, które wierzchołki łączy krawędź (i liczbę krawędzi),
a które wierzchołki tworzą ścianę (i liczbę ścian) oraz narysuj zbiór:
• W = (x, y, z) ∈ R3 : 1 > x > 0 ∧ 2 > y > 0 ∧ 3 > z > 1 ;
• X = (x, y, z) ∈ R3 : 2x + y + z 6 3 ∧ x > 0 ∧ y > 1 ∧ z > 0 ;
• Y = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z 6 4 ∧ x > 0 ∧ y > 0 ∧ z > 0 ∧ 2x + y + 3x 6 6 ;
• Z = (x, y, z) ∈ R3 : x + 3y + z 6 3 ∧ x + 3y > 0 ∧ y > −1 ∧ z + y > 0 ;
• A = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z 6 3 ∧ 1 > x > 0 ∧ y > 0 ∧ z > y ;
• Ω = (x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + z 6 6 ∧ z > y ∧ x > y ∧ y > z + x ∧ x − y − 2z 6 4 .
6