G i C

1
Zestawienie podstawowych informacji i granicy i ciągłości funkcji
Granica I ciągłość funkcji sensie Cauchy’ego
Niech (X, δ) i (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅≠D⊂X. Niech f:D→Y.
a∈
∈Dd
a∈
∈D
[GC]
lim f ( x ) = g
x→ a
F ciągła w a ∈D
∀ε>0 ∃r >0 ∀x∈
∈D 0 < δ(x,a) < r ⇒ d( f(x), g ) < ε .
∀ε>0 ∃r >0 ∀x∈
∈D
δ(x,a) < r ⇒ d( f(x), f(a) ) < ε .
Granica I ciągłość funkcji sensie Heinego
Niech (X, δ) i (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅≠D⊂X. Niech f:D→Y.
a∈
∈Dd
a∈
∈D
[GH]
lim f ( x ) = g
x→ a
F ciągła w a ∈D
∀ {xn}n∈∈N ⊂ D\{a}
lim
n→∞
xn = a ⇒ lim f(xn) = g.
n→∞
∀ {xn}n∈N ⊂ D lim xn = a ⇒ lim f(xn) = f(a).
n→∞
n→∞
Istotne róŜnice między ciągłością a granicą sensie Heinego
G.
Granice - wyłącznie w punktach skupienia zbioru D (dziedziny funkcji), które do zbioru D
naleŜeć mogą, ale nie muszą.
C.
Ciągłość – wyłącznie w punktach zbioru D (dziedziny funkcji), które mogą, ale nie muszą
być punktami skupienia zbioru D.
GC. Implikacja „ 0 < δ(x,a) < r ⇒ d( f(x), g ) < ε” dla elementów ze zbioru D∩
∩K(a,r)\{a}
xn = a ⇒ lim f(xn) = f(a)” dla elementów wszystkich elementów z D∩
∩K(a,r)
CC. Warunek „ nlim
→∞
n→∞
xn = a ⇒ lim f(xn) = g” dla wszystkich ciągów {xn}n∈N ⊂ D\{a}
GH. Warunek „ nlim
→∞
n→∞
xn = a ⇒ lim f(xn) = f(a)” dla wszystkich ciągów {xn}n∈N ⊂ D
CH. Warunek „ nlim
→∞
n→∞
2
Uwaga 2
ZauwaŜmy, Ŝe jeŜeli a∈
∈Dd , to z definicji Heinego (równieŜ Cauchy’ego) natychmiast wynika, Ŝe
lim
x →a
f(x) = f(a).
Tak więc
JeŜeli a∈D∩Dd , to [CH] ⇒ lim f(x) = f(a).
Uwaga 2
x →a
Twierdzenie
Niech (X,d), (Y,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X i f:D→Y oraz niech a∈D∩Dd.
JeŜeli lim f(x) = f(a), to f jest ciągła w punkcie a ∈ D.
x →a
Twierdzenie
JeŜeli a∈D∩Dd , to
lim
x →a
f(x) = f(a) ⇒ [CH]
Zestawiając uwagę 2 i powyŜsze twierdzenie, otrzymujemy
Wniosek
JeŜeli a∈D∩Dd , to
lim
x →a
f(x) = f(a) ⇔ [CH]
Czyli w ramach punktów dziedziny funkcji, które są jej punktami skupienia ciągłość funkcji w
punkcie a∈D∩Dd równowaŜna jest temu, Ŝe f ma granicę w punkcie a równą jej wartości w tym
punkcie.
Twierdzenie (o ciągłości w punktach izolowanych)
Niech (X,d), (Y,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X i f:D→Y.
JeŜeli a∈D\Dd , to f jest ciągła w punkcie a.
Dowód … (z tablicy czarnej na wykładzie)
Wobec powyŜszych rozwaŜań otrzymujemy poniŜsze twierdenie.
Twierdzenie (ZaleŜność między granicą a ciągłością funkcji w punkcie)
Niech (X,d), (Y,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X i f:D→Y. Wówczas
f:D→
→Y jest ciągła w a∈
∈D ⇔ a∈
∈D\Dd ∨ lim f(x) = f(a).
x →a
3
Twierdzenie (o ciągłości superpozycji)
Niech (X,d), (Y,δ), (Z,α) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X.
Niech f:D→Y i g:f(D)→Z.
JeŜeli funkcja f jest ciągła w a∈D (w zbiorze E⊂D) i funkcja g jest ciągła w b=f(a) (w zbiorze G takim,
Ŝe f(E)⊂G), to superpozycja g○f jest ciągła w punkcie a∈D.
Dowód
Niech {xn}n∈N⊂D i lim xn = a. Wobec ciągłości f w punkcie a∈D mamy
n→∞
(1) lim f(xn) = f(a) = b
n→∞
Wobec ciągłości g w punkcie b z (1) mamy
(2) lim g(f(xn)) = g(f(a)) = g(b).
n→∞
a to oznacza ciągłość g○f w punkcie a oraz ciągłość f○g w zbiorze E jeŜeli przyjmiemy, Ŝe a∈E.
Twierdzenie (O ciągłości działań na funkcjach)
Niech (X,d), (K,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X i f,g:D→K,
gdzie K=R lub K=C i δ jest naturalną metryką w K.
JeŜeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie a∈D (w zbiorze E⊂D), to ciągłe są równieŜ funkcje:
|f|, f+g, f .g, f/g (g(a)≠0) w tym punkcie (w tym zbiorze)
JeŜeli K=C to ciągłość funkcji f jest równowaŜna ciągłości funkcji Re(f), Im(f).
Dowód ( wynika z własności granic).
Dla dowolnej z wymienionych w tezie twierdzenia funkcji (|f|, f+g, f .g, f/g), jeŜeli a∈D\Dd, to ciągłość
jest oczywista. JeŜeli a∈D∩Dd, oraz {xn}n∈N⊂D i lim xn = a, to wobec załoŜonej ciągłości f i g mamy
n→∞
lim
n→∞
f(xn) = f(a) oraz lim g(xn) = g(a)
n→∞
własności granic ciągów (tw. o ciągłości modułu, tw. O granicy sumy, iloczynu i ilorazu ciągów
zbieŜnych) mamy w ślad za tym:
lim
n→∞
lim
(|f(xn)| = |f(a)| ,
n→∞
(f+g)(xn) = lim (f(xn)+g(xn)) =f(a)+g(a) = (f+g)(a) , f.g, f/g
n→∞
lim
(f.g)(xn) = lim (f(xn).g(xn)) =f(a).g(a) = (f.g)(a)
lim
(f/g)(xn) = lim (f(xn)/g(xn)) =f(a)/g(a) = (f/g)(a).
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
4
Twierdzenie (O ciągłości funkcji elementarnych)
Funkcje
elementarne
(wielomiany,
funkcje
wymierne,
niewymierne,
potęgowe,
wykładnicze,
trygonometryczne, cyklometryczne, funkcja „moduł”) są funkcjami ciągłymi.
Dowód
WykaŜemy, Ŝe wielomiany i funkcje wymierne są funkcjami ciągłymi.
Dowody dla niektórych wymienionych wyŜej funkcji będą na ćwiczeniach.
Pozostałe znaleźć moŜna np. w „Kołodzieju”.
Niech c∈R. ZauwaŜmy, Ŝe funkcja f:R→R określona wzorem ∀x∈R f(x) ≡ c jest ciągła, bo dla dowolnego a∈R
mamy
(1) lim f(x) = c = f(a), czyli funkcje stale są ciągłe.
x →a
Funkcja idR jest ciągła (idR:R→R ∀x∈R idR(x) ≡ x), bo dla dowolnego a∈R mamy
(2) lim idR(x) = lim x = a = idR(a).
x →a
x →a
PoniewaŜ wielomiany są sumami jednomianów, to wobec (1) i (2) oraz własności granic, stwierdzamy, Ŝe są
funkcjami ciągłymi. Podobnie funkcje wymierne jako ilorazy wielomianów.
Twierdzenie (o ciągłości metryki)
Metryka jest funkcją ciągłą.
Dokładniej, niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, to funkcja d:XxX→R
przekształcająca przestrzeń metryczną (XxX,δ), gdzie δ jest metryką w produkcie XxX, czyli funkcją
określoną wzorem
∀(x,y),(a,b)∈XxX δ((x,y),(a,b)) =
i metryką w R jest de.
Dowód
Niech
(1) (a,b)∈XxX i {(xn,yn)}n∈N ∈XxX
oraz
(2) lim (xn,yn) = (a,b).
n→∞
Wówczas jak wiemy
(3) lim xn = a
n→∞
oraz
(4)
lim yn = b
n→∞
d 2 ( x, a) + d 2 ( y, b )
5
NaleŜy wykazać, Ŝe
(*) lim d(xn, yn) = d(a,b) [∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k |d(xn,yn) - d(a,b)| < ε]
n→∞
ε
Niech ε >0. Dla liczby 2 > 0 wobec (3) i (4) mamy
ε
(5) ∃k∈R ∀n≥k d(xn,a) < 2
ε
(6) ∃s∈R ∀n≥s d(yn,b) < 2
ZauwaŜmy, Ŝe z warunku trójkąta dla metryki dowolnego n∈N mamy
(7) d(xn,yn) ≤ d(xn,a) + d(a,b) + d(yn,b)
[ d(xn,yn) - d(a,b) ≤ d(xn,a) + d(yn,b) ]
(8) d(a,b) ≤ d(xn,a) + d(xn,yn) + d(yn,b) [d(a,b) - d(xn,yn) ≤ d(xn,a) + d(yn,b) ]
czyli
(9) ∀n∈N |d(xn,yn) - d(a,b)| ≤ d(xn,a) + d(yn,b)
Niech n ≥ p ≡ max{k, s} z (5) i (6) mamy
(10)
ε ε
|d(xn,yn) - d(a,b)| ≤ d(xn,a) + d(yn,b) < 2 + 2 = ε,
czyli lim d(xn,yn) = d(a,b) a więc ciągłość d w dowolnym punkcie (a,b)∈XxX.
n→∞