Przybliżenie Liczby e

Przybliżenie Liczby e
Przygotował: M. Dziemiańczuk
21 lutego 2011
1
Wprowadzenie
Potrzebne będą nam poniższe fakty
Fakt 1. Definicja pochodnej funkcji f (x) w punkcie x0
d
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x)
= lim
.
∆x→0
dx
∆x
x=xo
Fakt 2. Pochodna logarytmu
d
1
ln(x) = .
dx
x
Fakt 3. Funkcja ex jest funkcją odwrotną logarytmu naturalnego ln(x), tzn.
f (x) = exp(ln(f (x))).
2
(1)
(2)
(3)
Dowód
Twierdzenie 1. Podstawa e logarytmu naturalnego równa jest
(
)
1 n
e = lim 1 +
.
n→∞
n
Dowód. Rozważmy prawą stronę (4) i przekształćmy do postaci
(4)
1
n
(5)
(
lim
n→∞
1+
1
n
)n
(
= exp
(
lim ln 1 +
n→∞
(
(
)n )
))
1
.
n→∞
n
Zajmijmy się wyrażeniem n ln(1 + 1/n). Wiemy, że ln(1) = 0, zatem
(
)
( (
)
)
1
1
lim n ln 1 +
= lim n ln 1 +
− ln(1) ,
n→∞
n→∞
n
n
oraz dokonajmy podstawienia ∆x = 1/n otrzymując
= exp
(
1
lim n ln 1 +
n→∞
n
)
lim n ln 1 +
ln(1 + ∆x) − ln(1)
∆x→0
∆x
d
=
ln(x)
dx
x=1
= 1.
= lim
A zatem ostatecznie wracając do (6) otrzymujemy
(
lim
n→∞
1
1+
n
)n
= exp (1) = e.
1
(6)