Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
2. Prawdopodobieństwo geometryczne - zadania do
samodzielnego rozwiązania
Zad. 2.1 Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrany w sposób przypadkowy punkt
kwadratu |x| < 4, |y| < 4 jest punktem leżącym na zewnątrz okręgu o równaniu
x2 + y 2 = 1.
Zad. 2.2 Pani X i pani Y , idąc z domu do biura, mają do przebycia pewien wspólny
odcinek drogi AB z tym, że przebywają go w przeciwnych kierunkach. Pani X przybywa do punktu A, zaś pani Y przybywa do punktu B w przypadkowym momencie
pomiędzy godz. 7:30 a 7:45 i idą ze stałą prędkością. Każda z pań przechodzi odcinek
AB w ciągu 5 minut. Obliczyć prawdopodobieństwo spotkania pań X i Y .
Zad. 2.3 Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy pierwiastki równania
x3 − 3ax + 2b = 0
są rzeczywiste, jeśli wszystkie wartości współczynników w prostokącie |a| ¬ k, |b| ¬ l
są jednakowo prawdopodobne.
Zad. 2.4 Z odcinka o długości 1 wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ani jedna z otrzymanych części odcinka nie będzie krótsza od a, gdzie
0 ¬ a ¬ 31 ?
Zad. 2.5 Punkty A, B, C są położone w takiej właśnie kolejności na prostej. Z odcinka AB
o długości a wybrano losowo punkt M , z odcinka BC o długości b (a < b) wybrano
losowo punkt N . Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że z odcinków AM , M N , N C
można zbudować trójkąt.
Zad. 2.6 Na płaszczyźnie poprowadzono dwie rodziny prostych równoległych, które dzielą
ją na prostokąty o bokach a, b (a ¬ b). Na płaszczyznę tę rzucono monetę o średnicy
2r < a. Obliczyć prawdopodobieństwo, że nie przetnie ona żadnej z prostych.
Zad. 2.7 Na płaszczyźnie poprowadzono nieskończoną liczbę prostych równoległych odległych od siebie na przemian o 3 cm i 16 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
rzucone na płaszczyznę koło o promieniu 5 cm nie przetnie ani jednej prostej?
Zad. 2.8 W kuli o promieniu R jest rozmieszczonych w sposób losowy i niezależnie jeden
od drugiego N punktów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że odległość od środka
sfery do najbliższego punktu jest nie mniejsza od a, 0 < a < R.