• Asymptota Asymptoty są to proste do których coraz bardziej zbliża

• Asymptota
Asymptoty są to proste do których coraz bardziej zbliża się krzywa, gdy wzdłuż niej
się przemieszczamy.
• Asymptota pionowa
- może istnieć w punktach, które nie należą do dziedziny funkcji f .
Niech a ∈
/ Df wtedy:
– asymoptota prawostronna:
lim f (x) = ±∞
x→a+
– asymptota lewostronna:
lim f (x) = ±∞
x→a−
Jesli istnieje granica g funkcji w punkcie, tzn.
lim f (x) = g
x→a+
wtedy asymptoty prawostronnej brak (analogicznie przy x → a− ).
Przykład 0.0.1.
Znajdźmy asymptoty pionowe funkcji f (x) =
Zauważmy, że 5 ∈
/ Df . Liczymy granicę
13
2x + 3
lim
= + =∞
0
x→5+ x − 5
13
2x + 3
= − = −∞
lim−
x−5
0
x→5
2x+3
x−5 .
200
0
f(x)
−400
−200
x=5
−600
(2 * x + 3)/(x − 5)
400
600
Zatem prosta x = 5 jest asymptotą pionową funkcji f .
4.0
4.5
5.0
x
1
5.5
6.0
• Asyptota pozioma
- istnieje gdy istnieje granica funkcji f w ±∞, tzn.
– asymptota prawostronna
lim f (x) = g
x→∞
– asymptota lewostronna
lim f (x) = g
x→−∞
oraz g ∈ R.
Przykład 0.0.2.
Znajdźmy asymptoty poziome funkcji f (x) =
Liczymy granice:
x 2 + x3
2x + 3
=2
lim
= lim
x→∞ x − 5
x→∞ x 1 − 5
x
2x+3
x−5 .
8
analogicznie przy x → −∞. Granica funkcji f w ±∞ jest skończona i wynosi 2, więc
asymptota pozioma to prosta y = 2.
4
2
2
(2 * x + 3)/(x − 5)
6
f(x)
y=2
0
x=5
5
−40
−20
0
20
40
x
• Asymptota ukośna
- asymptota ukośna może istnieć, gdy granicą funkcji f przy x → ±∞ jest ±∞. Jeśli
asymptota ukośna istnieje to krzywa funkcji zbliża się do prostej y = ax + b, gdzie:
– asymptota prawostronna
f (x)
x→∞
x
a = lim
b = lim f (x) − ax
x→∞
– aymptota lewostronna
a = lim
x→−∞
f (x)
x
b = lim f (x) − ax
x→−∞
liczby a i b muszą być skończone.
2
Przykład 0.0.3.
2
+2x
Znajdźmy asymptoty ukośne funkcji f (x) = xx+1
. Najpierw sprawdzimy czy posiada
asymptotę poziomą (jeśli posiada to nie ma ukośnej).
x2 1 + x2
x2 + 2x
= lim x = ∞
lim
= lim
x→∞ x + 1
x→∞ x 1 + 1
x→∞
x
Asymptoty poziomej nie ma. Szukamy asymptoty ukośnej y = ax + b. Liczymy granice:
x2 +2x
x+1
f (x)
= lim
a = lim
x→∞
x→∞ x
x
x2 1 + x2
x2 + 2x
=1
= lim
= lim 2
x→∞ x (x + 1)
x→∞ x
1 + x1
x2 + 2x
x2 + 2x x(x + 1)
− x = lim
−
=
x→∞ x + 1
x→∞ x + 1
x+1
x2 + 2x − x2 − x
x
= lim
=1
= lim
x→∞
x→∞ x + 1
x+1
b = lim f (x) − ax = lim
x→∞
10
Prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji f .
x=−1
5
0
0
−1
f(x)
−5
(x^2 + 2 * x)/(x + 1)
y=x+1
−10
−5
0
5
10
x
UWAGA !!
należy pamiętać, że zawsze należy liczyć granicę przy x → ∞ oraz x → −∞.
• Zadanie
Wyznaczyć wszystkie możliwe asymptoty podanych funkcji:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4x−3
x+6
3x−4
x−2
x3 −3x2
x2 −4
|x|+1
x
|x|3 +1
x2
sin x
x
g) x + arctgx
h) √x2|2x|
+2x+1
i)
j)
k)
x3 −4x2 +4x
x2 +x−6
x2
|x|−1
x + lnx|x|
2
3