LEKCJA 26 – Równania kwadratowe cz. 3 – Grupa LM8 Arabski

e-learning
matematyka
Opracował: Rafał Piasecki
Zatwierdził: Tadeusz Ostrowski
LEKCJA 26 – Równania kwadratowe cz. 3 – Grupa LM8
Arabski sposób rozwiązywania równań kwadratowych
Perski matematyk Alchwarizmi w dziele Hisab al-dżabr wa-al mukabala czyli Sztuka
redukcji i przenoszenia zawarł swoje rozważania na temat rozwiązań równań
liniowych i kwadratowych. Praca zawiera kompletne rozwiązania równań stopnia
pierwszego i drugiego. Ponieważ nie uznawano wówczas liczb ujemnych, równań
kwadratowych były trzy rodzaje.
x2 + ax = b, x2 + b = ax, x2 = ax + b,
A oto arabski sposób rozwiązywania równań kwadratowych x2 + ax = b
Kreślimy kwadrat o boku długości A,
wycinamy w rogu kwadrat o boku x. W
przeciwległym rogu kwadrat o największym
możliwym boku B. Kwadrat dopełniają dwa
prostokąty o bokach x i B. Mamy równanie A2
= x2 + B2 + 2Bx. Znamy wartości a i b,
poszukujemy A i B.
,
,
Ostatecznie
Materiały źródłowe: patrz Syllabus
e-learning
matematyka
Opracował: Rafał Piasecki
Zatwierdził: Tadeusz Ostrowski
Rozważmy przykład x2 + 12x = 45
Wykreślmy kwadrat o boku x, dorysujmy prostokąty, których jeden z boków jest
równy połowie współczynnika przy x, czyli 6.
Zacieniowaną figurę na rysunku, utworzoną z
kwadratu i dwóch prostokątów, greccy matematycy
nazywali gnomonem. Nasz gnomon x2 + 12x ma
pole równe 45. Dopełniamy nasz gnomon do pełnego
kwadratu, którego bok ma długość x + 6. Pole całego
kwadratu równe jest 45 + 36 = 81. Otrzymujemy
równanie (x + 6)2 = 81, skąd x + 6 = 9. Zostało
oczywiście pominięte nieznane wtenczas
rozwiązanie ujemne, ostatecznie otrzymujemy x = 3
Zastosujmy tą metodę dla równania kwadratowego innego typu niż podane powyżej,
na przykład x2 + 8x + 7 = 0
Po przekształceniach otrzymujemy x2 + 8x = -7. Pole gnomonu musi więc równać się
-7! Pomimo tej niedorzeczności liczmy dalej sposobem
arabskim. Bok małego kwadratu równy jest 4, więc pole
jego wynosi 16. Cały kwadrat ma więc pole -7 + 16 = 9.
Mamy więc (x + 4)2 = 9, stąd x + 4 = 3 lub x + 4 = -3,
Otrzymujemy dwa rozwiązania x = -1 lub x = -7, które są
poprawne, pomimo iż po drodze spotkaliśmy
niedorzeczność. Ten sposób zawsze działa, można więc
rozwiązywać równania kwadratowe bez odwoływania się
popularnej delty.
Materiały źródłowe: patrz Syllabus