10.1. Równanie prostej na płaszczyźnie

10. 1. RÓWNANIE PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE
Równanie kierunkowe prostej: y = ax + b , gdzie a, b ∈ R
a – współczynnik kierunkowy, b - współczynnik stały
Prosta y
(0, b)
= ax + b przecina oś OY w punkcie (0, b )
i jest nachylona do osi OX pod kątem
α
α
Prosta y = ax + b w zaleŜności od znaku współczynnika a
a>0
a<0
a=0
y=b
α
α
α ∈ (0°,90°)
α ∈ (90°,180°)
α = 0°
a = −tg (180° − α )
a = tgα
α
(c,0)
Prosta nachylona do osi OX pod kątem
równania kierunkowego .
MoŜna ją zapisać za pomocą równania
Prosta ta przecina oś OX w punkcie
α = 90°
x = c.
(c,0)
nie ma
Przykład 10.1.1. Napisz równanie prostej l nachylonej do osi OX pod kątem α = 120° i
przechodzącej przez punkt P = ( 3 ,1) .
Rozwiązanie
Komentarz
Aby wyznaczyć równanie prostej
y = ax + b
y = ax + b musimy obliczyć a i b.
Kąt α = 120° kątem rozwartym
a = −tg (180° − 120°) = −tg 60° = − 3
α ∈ (90°,180°) , dlatego a obliczmy ze
wzoru a = −tg (180° − α )
y = − 3x + b
Punkt P = ( 3 ,1) naleŜy do prostej, zatem
jego współrzędne spełniają jej równanie.
1= − 3⋅ 3 +b
1 = −3 + b
− b = −3 − 1
− b = −4 / : (− 1)
b=4
Do równania prostej
podstawiamy
y = − 3x + b
x = 3; y = 1
Odp. Prosta ma równanie : y = − 3 x + 4
Równanie ogólne prostej
Ax + By + C = 0
, gdzie
A, B, C ∈ R
i
A ≠ 0∨ B ≠ 0
Przykład 10.1.2. Narysuj prostą o równaniu 4 x − y − 3 = 0
Rozwiązanie
Komentarz
4x − y − 3 = 0
Z równania 4 x − y − 3 = 0 wyznaczamy
y i równanie ogólne prostej doprowadzamy
− y = −4 x + 3 / : (− 1)
do równania kierunkowego.
y = 4x − 3
x
y = 4x − 3
0
-3
1
1
2
5
Przy pomocy tabelki wyznaczamy punkty
naleŜące do prostej .
Zaznaczając punkty z tabelki rysujemy
prostą.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
·A
( y − y A )(x B − x A ) = (x − x A )( y B − y A )
gdzie
A = ( x A , y A ); B = ( x B , y B )
·B
Jeśli x A = x B , to otrzymamy prostą o równaniu x = c ( prosta pionowa).
Jeśli y A = y B , to otrzymamy prostą o równaniu y = b (prosta pozioma).
Przykład 10.1.3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
A = (2,3); B = (−4,1) .
Rozwiązanie
Komentarz
Punkty A = ( 2,3); B = ( −4,1) naleŜą do
I sposób:
y = ax + b
prostej y = ax + b , zatem ich współrzędne
A = (2,3)
B = (−4,1)
spełniają równanie prostej.
Wykonujemy podstawienia: x = 2, y = 3 oraz
3 = a⋅2+b
1 = a ⋅ (− 4) + b
x = −4, y = 1
2a + b = 3
− 4a + b = 1
2a + b = 3 /⋅ (− 1)

− 4 a + b = 1
 − 2 a − b = −3
+

− 4 a + b = 1
Budujemy układ równań . Rozwiązując go
obliczymy współczynniki a i b.
Układ rozwiązujemy metodą przeciwnych
współczynników
− 2 a − b − 4 a + b = −3 + 1
− 6a = −2 / : (− 6 )
1
a=
3
2a + b = 3
1
2⋅ +b = 3
3
2
b = 3−
3
1
b=2
3
1
1
y = x+2
3
3
Piszemy równanie kierunkowe prostej
II sposób:
( y − y A )(x B − x A ) = (x − x A )( y B − y A )
( y − 3)(− 4 − 2) = (x − 2)(1 − 3)
( y − 3) ⋅ (− 6) = (x − 2) ⋅ (− 2)
− 6 y + 18 = −2 x + 4
− 6 y = −2 x + 4 − 18
Do wyznaczenia prostej przechodzącej przez
punkty A = ( 2,3); B = ( −4,1)
wykorzystujemy wzór
( y − y A )(x B − x A ) = (x − x A )( y B − y A ) .
Wykonujemy podstawienie
x A = 2, y A = 3, x B = −4, y B = 1
− 6 y = −2 x − 14 / : (− 6 )
y=
1
1
x+2
3
3
Zapisujemy równanie kierunkowe prostej.
Przykład 10.1.4. Punkty (4,−4); (2,3); ( p,0) są współliniowe. Wyznacz p.
Rozwiązanie
( y − y A )(x B − x A ) = (x − x A )( y B − y A )
( y + 4)(2 − 4) = (x − 4)(3 + 4)
( y + 4)(− 2) = (x − 4) ⋅ 7
− 2 y − 8 = 7 x − 28
− 7 x − 2 y + 20 = 0
− 7 x − 2 y + 20 = 0
− 7 ⋅ p − 2 ⋅ 0 + 20 = 0
− 7 p + 20 = 0
− 7 p = −20 / : (− 7 )
6
p=2
7
Komentarz
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej
przez punkty (4,−4 ); (2,3) .
Wykorzystujemy do tego wzór
( y − y A )(x B − x A ) = (x − x A )( y B − y A )
i wykonujemy podstawienie
x A = 4, y A = −4, x B = 2, y B = 3
Równanie zapisujemy w postaci ogólnej
Punkt
( p,0) naleŜy do prostej
− 7 x − 2 y + 20 = 0 , zatem jego współrzędne
spełniają to równanie. Wykonujemy
podstawienie x = p, y = 0 . Rozwiązując
równanie obliczmy szukane p
Przykład 10.1.5. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach:
2 x − y = 0 i 2 x − 3 y − 12 = 0
Rozwiązanie
Komentarz
2 x − y = 0

2 x − 3 y = 12
Aby znaleźć punkt przecięcia się prostych
musimy rozwiązać układ równań.
2 x − y = 0 /⋅ (− 3)

2 x − 3 y = 12
− 6 x + 3 y = 0
+

2 x − 3 y = 12
Układ równań rozwiązujemy metodą
przeciwnych współczynników.
− 6 x + 3 y + 2 x − 3 y = 12
− 4 x = 12 / : (− 4 )
x = −3
2x − y = 0
2 ⋅ (− 3) − y = 0
−6− y = 0
y = −6
Odp. Punkt przecięcia się prostych ma
współrzędne (− 3,−6)
Rozwiązanie układu równań są
współrzędnymi punktu przecięcia się
prostych.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 10.1.1. (2pkt.) Dla jakich wartości a prosta y = − x + 2a − 3 przecina oś OY
w punkcie (0,−6 ) .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
1
UłoŜenie równanie z niewiadomą
2
Podanie wartości
Liczba punktów
a
1
a
1
Ćwiczenie 10.1.2. (3pkt.) Napisz równanie prostej l nachylonej do osi OX pod kątem
α = 45° i przechodzącej przez punkt P = (2,−1) .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
1
Wyznaczenie wartości współczynnika kierunkowego
2
Wyznaczenie wartości współczynnika b
3
Podanie równania prostej
Liczba punktów
a
l
1
1
1
Ćwiczenie 10.1.3. (2pkt.) Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
A = (2,−3); B = (0,1) .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
x, y lub zapisanie
układu nierówności z niewiadomymi a, b .
Zapisanie równania z niewiadomymi
1
2
Podanie równanie prostej przechodzącej przez punkty
A, B.
Liczba punktów
1
1
Ćwiczenie 10.1.4. (2pkt.) Sprawdź, czy punkty A = (− 1,2); B = (2,−2), C = (3,−3)
są współliniowe.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
Odpowiedź
Podanie równanie prostej przechodzącej przez punkty
Liczba punktów
A, B.
1
Sprawdzenie, czy punkt naleŜy do wyznaczonej prostej i
podanie odpowiedzi.
1