ZAJĘCIA 44. Równanie prostej w postaci ogólnej.

ZAJĘCIA 44.
Równanie prostej w postaci ogólnej.
Wprowadzenie układu kartezjańskiego na płaszczyźnie pozwala na opisywanie róŜnych zbiorów
punktów tej płaszczyzny za pomocą równań bądź nierówności.
PRZYKŁAD
Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory.
Układ współrzędnych na płaszczyźnie pozwala na wprowadzenie zaleŜności między dwiema
zmiennymi x i y. JeŜeli któraś z nich nie występuje w opisie - równaniu czy nierówności - to
przyjmujemy, Ŝe moŜe mieć dowolną wartość rzeczywistą.
Zastanówmy się teraz, jaki zbiór opisuje równanie Ax + By + C = 0 w zaleŜności od wartości
współczynników A, B i C.
Zacznijmy od sytuacji szczególnych.
1) Gdy A = B = C = 0, to równanie 0x + 0y + 0 = 0 przedstawia całą płaszczyznę, bo jest
spełnione przez kaŜdą parę liczb (x,y).
2) Gdy A = 0, B = 0 i C≠ 0, to równania 0x + 0y + C = 0 nie spełnia Ŝadna para liczb (x,y);
moŜemy powiedzieć, Ŝe takie równanie opisuje zbiór pusty.
PowyŜsze wypadki dotyczyły sytuacji, gdy obydwa współczynniki A i B stojące przy zmiennych
x i y były równe 0.
A
C
3) JeŜeli B≠0, to z równania Ax + By + C = 0 moŜemy wyznaczyć zmienną y. y = - x − . To
B
B
równanie jest jest wzorem funkcji liniowej i opisuje na płaszczyźnie prostą.
4) JeŜeli B = 0 i A ≠ 0, to z równania Ax + C = 0 moŜemy wyznaczyć zmienną x.
C
Ax = -C, czyli x = - .
A
Takie równanie opisuje na płaszczyźnie prostą prostopadłą do osi x, która oczywiście nie jest
wykresem Ŝadnej funkcji.
Równanie Ax + By + C = 0, gdy A i B nie są jednocześnie równe zero, przedstawia na
płaszczyźnie kartezjańskiej linię prostą.
Równanie Ax + By + C = 0, gdy A i B nie są jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem
prostej w postaci ogólnej, natomiast y = ax + b równaniem kierunkowym prostej.
PRZYKŁAD
Przekształć równanie prostej z postaci ogólnej do postaci kierunkowej.
a) 2x – y – 3 = 0
– y = - 2x + 3
y = 2x - 3
b) x + 3y – 4 = 0
3y = - x + 4 / : 3
1
4
y=- x+
3
3
PRZYKŁAD
Zapisz w postaci ogólnej równanie kierunkowe prostej
3
1
y=- x+
4
2
3
1
x + y - = 0 jeŜeli zaleŜy ci na współczynnikach całkowitych,
4
2
to obydwie strony równania mnoŜymy przez 4
3x + 4y – 2 = 0
KaŜde równanie prostej w postaci ogólnej moŜna zapisać na nieskończenie wiele sposobów
(jedne równania powstają z drugich przez pomnoŜenie obydwu stron przez liczbę róŜną od zera).
Natomiast równanie prostej w postaci kierunkowej (o ile istnieje) jest tylko jedno.
PRZYKŁAD
Sprawdź, czy równania 26x - 65y + 91 = 0 i -0,4x+ y - l,4 = 0 opisują róŜne proste.
JeŜeli obydwa zapiszemy w postaci kierunkowej, to z pierwszego otrzymamy:
2
7
y= x+ ,
5
5
a z drugiego y = 0,4x + 1,4.
Obydwa równania opisują więc tę samą prostą.
To samo zadanie moŜna rozwiązać krócej, mnoŜąc obydwie strony drugiego równania przez
„brakujący" współczynnik przy y, czyli przez - 65.
PRZYKŁAD
Wyznacz punkty przecięcia prostej o równaniu 2x - 3y + 6 = 0 z osiami układu współrzędnych i
narysujmy ją.
KaŜdy punkt osi x ma współrzędną y = 0.
Aby wyznaczyć punkt przecięcia z osią x,
rozwiązujemy układ równań.
Punkt przecięcia z osią X ma współrzędne (-3,0).
KaŜdy punkt osi y ma współrzędną x = 0.
Punkt przecięcia z osią y ma współrzędne (0,2).
Aby wyznaczyć punkt przecięcia z osią x,
rozwiązujemy układ równań.