Wykład 7-8

Rachunek różniczkowy funkcji f : R → R
Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x0 (tj. istnieje takie δ > 0, że
(x0 − δ, x0 + δ) ⊂ Df - dziedzina funkcji f ).
Definicja 1. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadającym przyrostowi
h zmiennej niezależnej, gdzie 0 < |h| < δ, nazywamy liczbę
f (x0 + h) − f (x0 )
∆f
=
.
h
h
Uwaga 1. Iloraz różnicowy jest więc tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez
punkty (x0 , f (x0 )) oraz (x0 + h, f (x0 + h)) wykresu funkcji f do dodatniej części osi OX, tj.
tg α =
∆f
.
h
Definicja 2. Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i istnieje granica
ilorazu różnicowego
f (x0 + h) − f (x0 )
,
h→0
h
lim
to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f 0 (x0 ), tzn.
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
Jeżeli f 0 (x0 ) istnieje i jest skończona, to funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie x0 .
Przykład 1. Niech f (x) = 3x2 − 2x + 1, x0 = 2. Wtedy mamy
f (2 + h) − f (2)
3 (2 + h)2 − 2 (2 + h) + 1 − (3 · 22 − 2 · 2 + 1)
f (2) = lim
= lim
=
h→0
h→0
h
h
12 + 12h + 3h2 − 4 − 2h + 1 − 9
3h2 + 10h
= lim
= lim
= lim (3h + 10) = 10.
h→0
h→0
h→0
h
h
0
Geometryczna interpretacja pochodnej.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to prostą o współczynniku kierunkowym równym f 0 (x0 ) przechodzącą przez punkt (x0 , f (x0 )) nazywamy styczną do wykresu funkcji f
w punkcie (x0 , f (x0 )).
Zatem styczna do krzywej y = f (x) w punkcie o odciętej x0 ma równanie
y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) .
1
Fizyczna interpretacja pochodnej.
Załóżmy, że punkt porusza się po prostej (osi liczbowej) i jego położenie w chwili t to s (t). Wtedy
liczba
s (t0 + ∆t) − s (t0 )
∆s
=
∆t
∆t
będąca stosunkiem drogi przebytej przez ten punkt od chwili t0 do chwili t0 +∆t do czasu jej przebycia
∆t nazywamy średnią prędkością tego punktu w chwili t0 .
Podobnie zakładając, że prędkość punktu poruszającego się po prostej w chwili t jest równa v (t),
liczbę
∆v
v (t0 + ∆t) − v (t0 )
=
∆t
∆t
wyrażającą stosunek zmiany prędkości tego punktu od chwili t0 do chwili t0 + ∆t do czasu ∆t, w
którym ta zmiana nastąpiła, nazywamy średnim przyspieszeniem tego punktu w chwili t0 .
Jest więc jasne, że jeżeli zmiany ∆t są coraz mniejsze, to zarówno średnia prędkość jak również
średnie przyspieszenie coraz lepiej oddają rzeczywistą prędkość i przyspieszenie danego punktu w
chwili t0 .
Jeżeli więc istnieją granice
s (t0 + ∆t) − s (t0 )
∆s
= lim
∆t→0
∆t→0 ∆t
∆t
s0 (t0 ) = lim
oraz
∆v
v (t0 + ∆t) − v (t0 )
= lim
,
∆t→0 ∆t
∆t→0
∆t
v 0 (t0 ) = lim
to nazywamy je odpowiednio prędkością chwilową i przyspieszeniem chwilowym w chwili t0 .
Niech t oznacza czas (liczony w sekundach od pewnej chwili początkowej), a Q - ładunek elektryczny (mierzony w kulombach), jaki przepłynął przez dany przekrój przewodu w czasie od chwili
początkowej do chwili t. Czyli mamy tu funkcję Q = Q (t). Iloraz różnicowy
∆Q
Q (t0 + ∆t) − Q (t0 )
=
∆t
∆t
jest średnim natężeniem prądu w przedziale czasu między chwilami t0 i t0 + ∆t, a granica tego
ilorazu przy ∆t → 0, czyli pochodna
∆Q
Q (t0 + ∆t) − Q (t0 )
= lim
∆t→0 ∆t
∆t→0
∆t
Q0 (t0 ) = lim
jest natężeniem prądu w chwili t0 .
2
Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0 , to jest ciągła w punkcie x0 .
Dowód: Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i różniczkowalna
w punkcie x0 . Wtedy
f (x) =
f (x) − f (x0 )
(x − x0 ) + f (x0 ) ,
x − x0
dla
x 6= x0 .
Oznaczając h = x − x0 dostajemy
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
(x − x0 ) + f (x0 ) = lim
h + f (x0 ) =
lim f (x) = lim
x→x0
x→x0
h→0
x − x0
h
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
· lim h + f (x0 ) = f 0 (x0 ) · 0 + f (x0 ) = f (x0 ) ,
h→0
h→0
h
co właśnie oznacza, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 .
Uwaga 2. Łatwo pokazać, że jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie x0 , to nie musi być różniczkowalna w tym punkcie . Aby się o tym przekonać rozważmy funkcję f : R → [0, +∞) określoną
wzorem
f (x) = |x| .
Wiemy, że jest ona ciągła w punkcie x0 = 0. Z drugiej strony mamy
lim−
h→0
|0 + h| − |0|
|h|
−h
= lim−
= lim−
= lim− (−1) = −1
h→0
h→0
h→0
h
h
h
oraz
lim+
h→0
|0 + h| − |0|
|h|
h
= lim+
= lim+ = lim− 1 = 1,
h→0
h→0 h
h→0
h
h
a więc
|0 + h| − |0|
h→0
h
lim
nie istnieje, co oznacza, że funkcja f (x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie x0 = 0.
Pochodne niektórych funkcji elementarnych
• f (x) = c dla każdego x ∈ R, gdzie c jest pewną liczbą rzeczywistą,
f (x + h) − f (x)
c−c
= lim
= lim 0 = 0
h→0
h→0
h→0
h
h
f 0 (x) = lim
3
• f (x) = xn dla każdego x ∈ R, n ∈ N,
n
n
n
n
2
n
n−1
n−2
n
n (h)n − xn
x
+
x
h
+
x
(h)
+
.
.
.
+
n
0
1
2
(x
+
h)
−
x
= lim
=
f 0 (x) = lim
h→0
h→0
h h
n
n
= lim nxn−1 + 2 xn−2 h + . . . + n (h)n−1 = nxn−1
h→0
• f (x) = ax dla każdego x ∈ R, gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),
ax+h − ax
ah − 1
ah − 1
= lim ax ·
= ax · lim
= ax · ln a
h→0
h→0
h→0
h
h
h
f 0 (x) = lim
W szczególności
• f (x) = ex dla każdego x ∈ R,
f 0 (x) = ex · ln e = ex
• f (x) = loga x dla każdego x ∈ (0, ∞), gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),
h
h
log
1
+
log
1
+
1
log
(x
+
h)
−
log
x
a
a
a
a
x
x
= lim
= lim
· =
f 0 (x) = lim
h
h→0
h→0
h→0
h
h
x
x
loga 1 + hx
1
1 1
= · lim
= ·
h
x h→0
x ln a
x
W szczególności
• f (x) = ln x dla każdego x ∈ (0, ∞),
f 0 (x) =
1 1
1
·
=
x ln e
x
Podobnie wykorzystując definicję pochodnej można pokazać, że
• (sin x)0 = cos x, dla każdego x ∈ R
• (cos x)0 = − sin x, dla każdego x ∈ R
Twierdzenie 2. (O pochodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji)
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x0 , to
(i) funkcja postaci f + g jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) ,
4
(ii) funkcja postaci f − g jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
(f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ) ,
(iii) dla każdego c ∈ R funkcja postaci c · f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
(cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ) ,
(iv) funkcja postaci f · g jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
(f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g (x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ) ,
(v) jeśli g (x0 ) 6= 0, to funkcja postaci
f
g
jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
0
f 0 (x0 ) · g (x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 )
f
.
(x0 ) =
g
[g (x0 )]2
Twierdzenie 3. (O pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech f będzie funkcją ciągłą i monotoniczną określoną w pewnym otoczeniu punktu x0 . Jeżeli
f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz f 0 (x0 ) 6= 0, to funkcja f −1 odwrotna do funkcji f jest
różniczkowalna w punkcie y0 = f (x0 ), przy czym
0
f −1 (y0 ) =
f0
1
.
(x0 )
Pochodne niektórych funkcji elementarnych - ciąg dalszy
Korzystając, między innymi, z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej można pokazać, że
• (arcsin x)0 =
√ 1
1−x2
dla x ∈ (−1, 1)
• (arccos x)0 =
√ −1
1−x2
dla x ∈ (−1, 1)
• (arctgx)0 =
1
1+x2
• (arcctgx)0 =
−1
1+x2
dla x ∈ R
dla x ∈ R
Twierdzenie 4. (O pochodnej funkcji złożonej - reguła łańcuchowa)
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , zaś funkcja g jest różniczkowalna w punkcie
f (x0 ), to funkcja g ◦ f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz zachodzi wzór
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ) .
5
Definicja 3. Różniczką funkcji f w punkcie x0 odpowiadającą przyrostowi h zmiennej
niezależnej nazywamy iloczyn f 0 (x0 ) · h i oznaczamy symbolem df (x0 ), tj.
df (x0 ) = f 0 (x0 ) · h.
Uwaga 3. Różniczkę można wykorzystać do obliczania przybliżonych wartości funkcji. Mamy
bowiem
f (x0 + h) − f (x0 ) = ∆f ≈ f 0 (x0 ) · h = df (x0 ) , czyli f (x0 + h) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) .
Przykład 3. Obliczyć przybliżoną wartość
√
4
15, 96.
√
3
1
Niech f (x) = 4 x, x0 = 16, h = −0, 04. Wtedy f 0 (x) = 14 x− 4 = √
3 dla każdego x > 0. Stąd
4( 4 x)
√
1
1
1
f (16) = 4 16 = 2, f 0 (16) = √
3 = 32 , a więc df (16) = 32 · (−0, 04) = −0, 00125.
4( 4 16)
√
Zatem 4 15, 96 = f (16 − 0, 04) ≈ f (16) + df (16) = 2 − 0, 00125 = 1, 99875.
Twierdzenie 5. (Rolle’a 1 o wartości średniej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], różniczkowalna wewnątrz tego przedziału i f (a) =
f (b), to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że
f 0 (c) = 0.
Twierdzenie 6. (Lagrange’a 2 o wartości średniej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b] i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, to
istnieje co najmniej jeden taki punkt c ∈ (a, b), że
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Twierdzenie 7. (Cauchy’ego 3 o wartości średniej)
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale [a, b], różniczkowalne wewnątrz tego przedziału oraz
0
g (x) 6= 0 dla każdego x ∈ (a, b), to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że
f 0 (c)
f (b) − f (a)
=
.
0
g (c)
g (b) − g (a)
1
Michel Rolle (1652-1719), matematyk francuski
Joseph Louis de Lagrange (1736-1813), matematyk i astronom francuski
3
Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matematyk francuski
2
6
Twierdzenie 8. (Reguła de l’Hospitala 4 )
0
Załóżmy, że funkcje fg i fg0 są określone na pewnym sąsiedztwie punktu x0 oraz, że
lim f (x) = lim g (x) = 0
(i)
x→x0
(ii)
lim f (x) = +∞ (−∞)
x→x0
istnieje granica
lim
x→x0
x→x0
f 0 (x)
g 0 (x)
i
lim g (x) = +∞ (−∞)
x→x0
właściwa lub niewłaściwa.
Wtedy
f (x)
f 0 (x)
lim
= lim 0
.
x→x0 g (x)
x→x0 g (x)
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jesnostronnych w punkcie x0 oraz dla granic
w −∞ lub w +∞.
Twierdzenie 9. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale I. Jeżeli
(i) f 0 (x) = 0 dla każdego x ∈ I, to funkcja f jest stała w przedziale I;
(ii) f 0 (x) > 0 dla każdego x ∈ I, to funkcja f jest rosnąca w przedziale I;
(iii) f 0 (x) < 0 dla każdego x ∈ I, to funkcja f jest malejąca w przedziale I;
(iv) f 0 (x) ≥ 0 dla każdego x ∈ I, to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I;
(v) f 0 (x) ≤ 0 dla każdego x ∈ I, to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I.
Pochodne wyższych rzędów
Definicja 4. Pochodną właściwą n - tego rzędu funkcji f w punkcie x0 definiujemy indukcyjnie
0
f (n) (x0 ) := f (n−1) (x0 )
dla
n = 2, 3, . . . ,
gdzie
f (1) (x0 ) = f 0 (x0 ) .
Ponadto przyjmujemy, że f (0) (x0 ) = f (x0 ).
4
Guillaume François Antoine de l’Hôspital (1661-1704), matematyk francuski
7
Twierdzenie 10. (Taylora 5 )
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu n − 1 włącznie w przedziale domkniętym o końcach
x0 i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między
x0 i x, że
f (x) = f (x0 )+
f 00 (x0 )
f (n−1) (x0 )
f (n) (c)
f 0 (x0 )
(x − x0 )+
(x − x0 )2 +· · ·+
(x − x0 )n−1 +
(x − x0 )n .
1!
2!
(n − 1)!
n!
(T)
Uwaga 4. Równość (T ) występującą w tezie Twierdzenia 16 nazywamy wzorem Taylora. Wzór
ten możemy również zapisać w postaci
f (x) = Tn−1 (x) + Rn (x),
gdzie
Tn−1 (x) :=
n−1 (k)
X
f (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k ,
a
Rn (x) :=
f (n) (c)
(x − x0 )n .
n!
Wówczas Tn−1 (x) nazywamy wielomianem Taylora, zaś Rn (x) n-tą resztą Lagrange’a.
Uwaga 5. Zauważmy, że dla n = 1, x0 = a i x = b wzór Taylora przyjmuje postać
f (b) = f (a) +
f 0 (c)
(b − a)
1!
skąd po prostych przekształceniach dostajemy tezę twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej. Zatem
łatwo zauważyć, że twierdzenie Taylora jest uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a.
Uwaga 6. Dla x0 = 0 wzór Taylora przyjmuje postać
f (x) = f (0) +
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n−1) (0) n−1 f (n) (c) n
x) +
x + ··· +
x
+
x ,
1!
2!
(n − 1)!
n!
i jest nazywany wzorem Maclaurina6 funkcji f .
Przykład 4. Rozważmy funkcję f : R → (0, +∞) o wzorze f (x) = ex .
Zauważmy, że
f (n) (x) = ex ,
dla każdego x ∈ R, n ∈ N ∪ {0} ,
a więc
f (n) (0) = 1,
5
6
dla każdego n ∈ N ∪ {0} .
Brook Taylor (1685-1731), matematyk angielski
Colin Maclaurin (1698-1746), matematyk szkocki
8
gdzie 0 < c < 1,
Wobec tego wzór Maclaurina (przy ustalonym dowolnie n) dla funkcji f przyjmuje postać
ex = 1 + x +
1
ec
1 2 1 3 1 4
x + x + x + ··· +
xn−1 + xn ,
2!
3!
4!
(n − 1)!
n!
dla pewnego c ∈ (0, 1).
W szczególności, dla x = 1 i n = 7, mamy
e=1+1+
1
1
1
1
1
ec
+ + + + + ,
2! 3! 4! 5! 6! 7!
dla pewnego c ∈ (0, 1), a więc
e≈1+1+
1
1
1
720 + 720 + 360 + 120 + 30 + 6 + 1
1957
1 1
+ +
+
+
=
=
= 2, 7180(5),
2 6 24 120 720
720
720
przy czym błąd jaki popełniamy nie przekracza
ec
ec
=
7!
5040
|R7 (1)| =
0<c<1
<
3
< 0, 001.
5040
Ekstrema lokalne
Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Definicja 5. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne [maksimum lokalne],
jeżeli istnieje taka δ > 0, że
f (x) ≥ f (x0 )
[f (x) ≤ f (x0 )]
dla każdego
x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) .
(1)
Jeżeli ponadto w (1) mamy nierówność ostrą, to mówimy o minimum [maksimum] właściwym.
Minima i maksima lokalne obejmujemy wspólną nazwą - ekstrema lokalne.
Twierdzenie 11. (Fermata 7 - warunek konieczny istnienia ekstremum)
Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 . Jeżeli f jest różniczkowalna
w punkcie x0 i ma ekstremum lokalne w punkcie x0 , to f 0 (x0 ) = 0 .
Uwaga 7. Implikacja odwrotna jest fałszywa !!!
Rozważmy bowiem funkcję o wzorze f (x) = x3 dla x ∈ R . Wtedy f 0 (x) = 3x2 , skąd
f 0 (x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
ale w punkcie x = 0 funkcja f nie ma ekstemum.
7
Pierre de Fermat (1601-1665), matematyk francuski
9
Również założenie istnienia pochodnej jest istotne. Funkcja f (x) = |x| ma bowiem w punkcie
x = 0 minimum lokalne, a nie jest w tym punkcie różniczkowalna.
Wniosek 1. Funkcja może mieć ekstremum lokalne tylko w tych punktach, w których jej pochodna jest równa zero, albo w których jej pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 12. ( I warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)
Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 . Jeżeli f jest różniczkowalna
w punkcie x0 , f 0 (x0 ) = 0 oraz istnieje taka δ > 0, że
f 0 (x) > 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 )
oraz
f 0 (x) < 0 dla x ∈ (x0 , x0 + δ) ,
[f 0 (x) < 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 )
oraz
f 0 (x) > 0 dla x ∈ (x0 , x0 + δ)] ,
to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum [minimum] lokalne właściwe.
Uwaga 8. Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz f 0 (x0 ) 6= 0 lub
f jest ciągła w punkcie x0 , zaś f 0 (x) > 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) lub f 0 (x) < 0 dla
x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ), to funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x0 .
Twierdzenie 13.( II warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)
Załóżmy, że funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu x0 ma w punkcie x0 skończoną
pochodną f (n) (x0 ) przy pewnym n > 1 oraz f 0 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 i f (n) (x0 ) 6= 0.
(i) Jeżeli n jest liczbą parzystą, to funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne właściwe, przy
czym, gdy f (n) (x0 ) < 0, to jest to maksimum, a gdy f (n) (x0 ) > 0 minimum.
(ii) Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja f nie ma w punkcie x0 ekstremum lokalnego.
Funkcje wypukłe, funkcje wklęsłe, punkty przegięcia wykresu funkcji
Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a, b), gdzie −∞ ≤ a < b ≤ +∞.
Definicja 6. Funkcję f nazywamy wypukłą [wklęsłą] na przedziale (a, b), jeżeli
^
^
f ((1 − λ) x1 + λx2 ) ≤ (1 − λ) f (x1 ) + λf (x2 ) .
a<x1 <x2 <b
0<λ<1
"
#
^
^
a<x1 <x2 <b
0<λ<1
f ((1 − λ) x1 + λx2 ) ≥ (1 − λ) f (x1 ) + λf (x2 )
10
(2)
Jeżeli w warunku (2) nierówność jest ostra, to funkcję f nazywamy ściśle wypukłą [ściśle wklęsłą].
Twierdzenie 14. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale (a, b).
(i) Jeżeli f 00 (x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest ściśle wypukła na (a, b).
(ii) Jeżeli f 00 (x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest ściśle wklęsła na (a, b).
(ii) Jeżeli f 00 (x) ≥ 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wypukła na (a, b).
(iv) Jeżeli f 00 (x) ≤ 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b).
Definicja 7. Załóżmy, że funkcja f , określona w otoczeniu punktu x0 , jest ciągła w punkcie x0 .
Punkt (x0 , f (x0 )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f , jeżeli istnieje taka
δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (x0 − δ, x0 ) oraz ściśle wklęsła na przedziale
(x0 , x0 + δ) lub odwrotnie.
Twierdzenie 15. (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji)
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0 . Jeżeli (x0 , f (x0 )) jest punktem
przegięcia wykresu funkcji f oraz f 00 (x0 ) istnieje, to f 00 (x0 ) = 0.
Twierdzenie 16. (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji)
Załóżmy, że f jest dwukrotnie różniczkowaną funkcją określoną przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz f 00 (x0 ) = 0. Jeżeli istnieje taka δ > 0, że
f 00 (x) > 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 )
oraz
f 00 (x) < 0 dla x ∈ (x0 , x0 + δ) ,
f 00 (x) < 0 dla x ∈ (x0 − δ, x0 )
oraz
f 00 (x) > 0 dla x ∈ (x0 , x0 + δ) ,
lub
to punkt (x0 , f (x0 )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f .
Asymptoty wykresu funkcji
• Asymptoty pionowe
Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f , jeżeli
lim f (x) = +∞
x→a+
lub
11
lim f (x) = −∞.
x→a+
Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji f , jeżeli
lim f (x) = +∞
lub
x→a−
lim f (x) = −∞.
x→a−
Prosta x = a jest asymptotą pionową obustronną lub krótko asymptotą pionową wykresu funkcji
f , jeżeli jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną.
• Asymptoty ukośne
Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną prawostonną wykresu funkcji f , jeżeli
lim (f (x) − Ax − B) = 0.
x→+∞
Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną lewostonną wykresu funkcji f , jeżeli
lim (f (x) − Ax − B) = 0.
x→−∞
Twierdzenie 17. Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną prawostonną wykresu funkcji f
wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x)
x→+∞ x
A = lim
B = lim (f (x) − Ax) .
oraz
x→−∞
Prawdziwe jest też analogiczne twierdzenie o asymptotach ukośnych lewostronnych.
f (x)
x→+∞ x
Uwaga 9. Jeżeli lim f (x) = B, to A = lim
x→+∞
= 0, a więc prosta y = B jest prawostonną
asymptotą ukośną wykresu funkcji f równoległą do osi OX i nazywamy ją wtedy asymptotą poziomą
prawostronną wykresu funkcji f .
W przypadku asymptop ukośnych lewostronnych jest analogicznie.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
1. Dziedzina funkcji.
2. Zachowanie się funkcji na końcach przedziałów określoności.
3. Własności szczególne funkcji (parzystość, nieparzystość, okresowość funkcji).
4. Szczególne punkty wykresu funkcji (punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych).
5. Przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.
12
6. Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punkty przegięcia wykresu funkcji.
7. Asymptoty wykresu funkcji.
8. Zbiór wartości funkcji.
9. Tabelka i wykres funkcji.
Przykład 5. Zbadać przebieg zmienności funkcji f określonej wzorem
f (x) =
x3
.
(x − 1)2
13