1. Hiperboliczna geometria dysku jednostkowego

ZADANIA Z METRYK HOLOMORFICZNIE NIEZMIENNICZYCH
Wersja z dnia 14 czerwca 2010
1.
Zadanie 1.1
Hiperboliczna geometria dysku jednostkowego
(Lemat Schwarza-Picka). Niech
z−w m(z, w) := , z, w ∈ D,
1 − zw
1
γ(z) :=
, z ∈ D.
1 − |z|2
Niech f ∈ O(D, D). Wykaza¢, »e
(a) m(f (z), f (w)) 6 m(z, w), z, w ∈ D.
(b) γ(f (z))|f 0 (z)| 6 γ(z), z ∈ D.
(c) Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne
(i) f ∈ Aut(D);
(ii) m(f (z), f (w)) = m(z, w), z, w ∈ D;
(iii) m(f (z0 ), f (w0 )) = m(z0 , w0 ) dla pewnych z0 , w0 ∈ D, z0 6= w0 ;
(iv) γ(f (z))|f 0 (z)| = γ(z), z ∈ D;
(v) γ(f (z0 ))|f 0 (z0 )| = γ(z0 ) dla pewnego z0 ∈ D.
Wykaza¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci funkcji m i γ .
(a) m ∈ C ∞ (D2 \ ∆), m2 ∈ C ∞ (D2 ), γ ∈ C ∞ (D).
(b) ln m(·, w) ∈ SH(D) ∩ H(D \ {w}), ln γ ∈ SH(D).
(c) limz,w→a m(z,w)
|z−w| = γ(a).
Zadanie 1.2.
z6=w
Zadanie 1.3.
Niech a, b, c ∈ D, a 6= b 6= c 6= a. Wykaza¢, »e
m(a, b) < m(a, c) + m(c, b).
Zadanie 1.4.
Niech Bm (a, r) := {z ∈ D : m(a, z) < r}, a ∈ D, r ∈ (0, 1). Wykaza¢, »e
Bm (a, r) = B
a(1−r 2 ) r(1−|a|2 )
1−r 2 |a|2 , 1−r 2 |a|2
,
a ∈ D, r ∈ (0, 1).
Dla s ∈ (0, 1) niech αs (t) := ts, t ∈ [0, 1]. Dla a, b ∈ D, a 6= b, niech αa,b := h−1
a,b ◦αha,b (b) ,
gdzie ha,b ∈ Aut(D) speªnia warunki ha,b (a) = 0 i ha,b (b) ∈ (0, 1). Wykaza¢, »e Ca,b := h−1
a,b (R) jest
jedynym okr¦giem przechodz¡cym przez a i b prostopadªym do T.
Zadanie 1.5.
Zadanie 1.6.
Niech
p(z, w) := inf{Lγ (α) : α ∈ Cp1 ([0, 1], D), α(0) = z, α(1) = w},
gdzie
Z
Lγ (α) :=
b
γ(α(t))|α0 (t)| dt,
α ∈ Cp1 ([a, b], D).
a
Wykaza¢, »e
(a) p : D × D → R+ jest odlegªo±ci¡ oraz p(z, w) > |z − w|, z, w ∈ D;
(b) p(z, w) = Lγ (αz,w ) = tgh−1 (m(z, w)) dla z, w ∈ D, z 6= w, gdzie
1 1+t
ln
,
2 1−t
oraz »e αa,b jest jedyn¡ γ -geodezyjn¡ dla (z, w);
(c) limz,w→a p(z,w)
|z−w| = γ(a).
tgh−1 (t) :=
t ∈ [0, 1),
z6=w
Zadanie 1.7.
Niech
µ
Z
L2 |D 3 A 7−→
A
γ 2 dL2 ∈ R+ .
(a) Udowodni¢, »e miara µ jest niezmiennicza wzgl¦dem grupy Aut(D).
1
z, w ∈ D,
2
ZADANIA Z METRYK HOLOMORFICZNIE NIEZMIENNICZYCH
(b) Udowodni¢, »e dla p-trójk¡ta T o wierzchoªkach a, b, c ∈ D zachodzi wzór
1
(π − (α + β + γ)),
4
gdzie α, β , γ s¡ wierzchoªkami trójk¡ta T .
µ(T ) =
Zadanie 1.8.
Udowodni¢, »e dla dowolnego t ∈ (0, 1) oraz α, β ∈ C zachodz¡ wzory
1
(1 − t2 )2 |α|2 + 2(3t2 − 1) Re(αβ) + |β|2 ,
4t
t2 T (t)|(1 − t2 )α + β|2 + (T (t) − t)|(1 − t2 )α − β|2
,
(L ln p)((0, t); (α, β)) =
4t(1 − t2 )2 T 2 (t)
(1)
(Lm)((0, t); (α, β)) =
(2)
gdzie T := tgh−1 .
Wykaza¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci funkcji m i p.
(a) m ∈
/ PSH(D2 ).
(b) ln p ∈ PSH(D2 ), ln p ∈ SPSH(D2 \ ∆).
Zadanie 1.9.
Zadanie 1.10.
Dla odlegªo±ci d : D × D → R+ niech
i
d (z, w) := inf{Ld (α) : α ∈ C([0, 1], D), α(0) = z, α(1) = w},
z, w ∈ D,
gdzie
Ld (α) := sup
N
nX
o
d(α(tj−1 ), α(tj )) : N ∈ N, 0 = t0 < · · · < tN = 1 ,
α ∈ C([0, 1], D).
j=1
Wykaza¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci operatorów Lm , Lp i Lγ .
(a) Lm (α) = Lp (α), α ∈ C([0, 1], D).
(b) m 6= mi = p = pi .
(c) Lm (α) < +∞ ⇔ Lp (α) < +∞ ⇔ L| | (α) < +∞, α ∈ C([0, 1], D).
(d) Lp (α) = Lγ (α), α ∈ Cp1 ([0, 1], D).
Zadanie 1.11.
Dla d ∈ {m, p} niech
Isom(d) := {f : D → D : d(f (z), f (w)) = d(z, w), z, w ∈ D}.
Zauwa»my, »e Isom(m) = Isom(p). Ponadto, niech
Isom(γ) := {f ∈ C 1 (D, D) : γ(f (z))|fR0 (z)(X)| = γ(z)|X|, z ∈ D, X ∈ C}.
Wykaza¢, »e dla f : D → D nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne
(i) f ∈ Isom(p);
(ii) f ∈ C 1 i f ∈ Isom(γ);
(iii) f ∈ Aut(D) lub f ∈ Aut(D).
Niech d : D × D → R+ speªnia warunki
(i) d(f (z), f (w)) = d(z, w), z, w ∈ D, f ∈ Aut(D);
(ii) d(0, s) = d(0, t) + d(t, s), 0 6 t 6 s < 1;
= 1.
(iii) limt→0+ d(0,t)
t
Wykaza¢, »e d = p.
Zadanie 1.12.
Zadanie 1.13.
Niech β ∈ C(D, [0, 1)) ∩ C 2 (D \ β −1 (0)) b¦dzie taka, »e
∆(ln β)(z) > 4β 2 (z),
z ∈ D \ β −1 (0)).
Wykaza¢, »e β = γ lub β < γ .
Zadanie 1.14 (Lemat Ahlforsa-Schwarza). Niech D ⊂ C b¦dzie dowolnym obszarem i niech β ∈
C(D, R+ ) ∩ C 2 (D+ ), gdzie D+ := {z ∈ D : β(z) > 0}. Zaªó»my ponadto, »e istnieje staªa C > 0 taka,
»e ∆(ln β) > Cβ 2 na D+ . Wykaza¢, »e dla dowolnej funkcji f ∈ O(D, D) zachodzi jeden z warunków
√
(a) (β ◦ f )|f 0 | < 2/√Cγ na D,
(b) (β ◦ f )|f 0 | = 2/ Cγ na D.
Korzystaj¡c z Lematu Ahlforsa-Schwarza udowodni¢
(a) Lemat Schwarza-Picka. (γ ◦ f )|f 0 | 6 γ, f ∈ O(D, D).
(b) Twierdzenie Liouville'a. Je±li f ∈ O(C) jest ograniczona, to f = const.
(c) Maªe Twierdzenie Picarda. Je±li f ∈ O(C, C \ {0, 1}), to f = const.
Zadanie 1.15.
ZADANIA Z METRYK HOLOMORFICZNIE NIEZMIENNICZYCH
3
(d) Twierdzenie Landaua. Dla dowolnych a0 ∈ C, a1 ∈ C∗ istnieje R > 0 takie, »e dla dowolnych
r > 0, f ∈ O(rD, C \ {0, 1}), f (0) = a0 , f 0 (0) = a1 , mamy r 6 R.
(e) Twierdzenie Schottky'ego. Dla dowolnych a0 ∈ C, θ ∈ (0, 1) istnieje M > 0 takie, »e dla
dowolnych r > 0, f ∈ O(rD, C \ {0, 1}), f (0) = a0 , mamy |f (z)| 6 M , |z| 6 θr.
2.
Pseudoodlegªo±¢ Carathéodory'ego i pseudometryka Carathéodory'ego-Reiffena
Zadanie 2.1.
Udowodni¢, »e dla dowolnego obszaru D ⊂ Cn
cD (z, w) = 2p(0, 12 dD (z, w)),
z, w ∈ D,
gdzie dD (z, w) := sup{|f (z) − f (w)| : f ∈ O(D, D)}.
Zadanie 2.2. Niech H+ := {z ∈ C : Re z > 0}. Wykaza¢, »e
z − w
c∗H+ (z, w) = ,
z+w
Zadanie 2.3
(Lemat Borela-Carathéodory'ego). Niech funkcja f ∈ O(D) b¦dzie taka, »e f (0) = 0 i
Re f 6 1 na D. Wykaza¢, »e
|f (z)| 6
Zadanie 2.4.
z, w ∈ H+ .
Niech
2|z|
,
1 − |z|
z ∈ D.
(
z,
ϕ(z) :=
z,
gdy Im z > 0
, z ∈ D.
gdy Im z 6 0
(a) Wykaza¢, »e m(ϕ(z), ϕ(w)) 6 m(z, w), z, w ∈ D, a równo±¢ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
(Im z)(Im w) > 0.
√
√
(b) Dla 0 < ε << 1 niech C1 := ∂B( 1 + ε2 eiπ/4 , ε), C2 := ∂B( 1 + ε2 e3iπ/4 , ε). Wykaza¢, »e
istnieje hj ∈ Aut(D) taki, »e hj (Cj ∩ D) = (−1, 1), j = 1, 2.
(c) Niech fj := ϕ ◦ hj , j = 1, 2, f3 := ϕ. Wykaza¢, »e
∀z,w∈D ∃j∈{1,2,3} : m(fj (z), fj (w)) = m(z, w).
W szczególno±ci, (f1 , f2 , f3 ) : D → D3 jest c-izometri¡, ale fj ∈
/ O(D, D) ∪ O(D, D), j = 1, 2, 3.
2
2
Zadanie 2.5. Dla z = (z1 , z2 ) ∈ C niech kzk1 := |z1 | + |z2 | i niech D := {z ∈ C : kzk1 < 1}.
(a) Ustalmy a = (a1 , a2 ) ∈ D∗ oraz λ, z1 , w1 takie, »e λa ∈ D, (z1 , a2 ) ∈ D oraz (w1 , a2 ) ∈ D.
Wykaza¢, »e
c∗D (a, λa) = m(kak1 , λkak1 ),
z
w1 1
,
.
c∗D ((z1 , a2 ), (w1 , a2 )) = m
1 − |a2 | 1 − |a2 |
(b) Ustalmy a ∈ D i zaªó»my, »e istniej¡ staªe ρ > 0 i r ∈ (0, 1) oraz z ∈ D takie, »e Bc∗D (a, r) =
Bk k1 (z, ρ). Wykaza¢, »e a = 0.
Niech D := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : max{|z1 |, |z2 |, 2|z1 z2 |} < 1}.
(a) Wykaza¢, »e dla dowolnego z ∈ D
sup{|Q(z)| : Q wielomian jednorodny, kQkD 6 1} = max{|z1 |, |z2 |, 23 (|z1 | + |z2 |), 2|z1 z2 |} =: HD .
(b) Niech
Zadanie 2.6.
P (z1 , z2 ) := a(z1 + z2 ) − b(z12 + z22 ) + cz1 z2 , (z1 , z2 ) ∈ C2 ,
gdzie b, c > 0, 5b < 2c < 4(b + 1) i a := 16 (4 + 5b − 2c). Wykaza¢, »e kP kD = 1 i »e P ( 23 , 23 ) >
HD ( 32 , 23 ).
Zadanie 2.7.
Mówimy, »e obszar Reinhardta D ⊂ Cn speªnia warunek sto»ka, je±li
∃x0 ∈Rn ∀t>0 ∀x∈log D x0 + t(x − x0 ) ∈ log D.
Niech D :=
D(αj , Cj ), gdzie D(αj , Cj ) := {(z1 , . . . , zn ) ∈ Cn : |z1 |α1 . . . |zn |αn < eCj }, αj =
T
j
j
n
(α1 , . . . , αn ) ∈ (R+ )∗ , Cj ∈ R, j = 1, . . . , N . Ponadto zakªadamy, »e D 6= j6=k D(αj , Cj ) dla k =
1, . . . , N . Wykaza¢, »e obszar D speªnia warunek sto»ka wtedy i tylko wtedy, gdy

 1
 1
α
α
C1
 

..  .
rank  ...  = rank  ...
. 
j
TN
j=1
αN
αN
CN
j
4
ZADANIA Z METRYK HOLOMORFICZNIE NIEZMIENNICZYCH
3.
Pseudoodlegªo±¢ Kobayashiego i pseudometryka Kobayashiego-Roydena
Zadanie 3.1.
Niech D := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 z2 | < 1, |z2 | < R} dla pewnego R > 1. Wykaza¢, »e
k̃D ((1, 0), (0, 1)) > k̃D ((1, 0), (0, 0)) + k̃D ((0, 0), (0, 1)).
Dla ε <
kD (0, ·) 6= p(0, hD (·)).
Zadanie 3.2.
1
4
niech D := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | < 1, |z2 | < 1, |z1 z2 | < ε}. Wykaza¢, »e
Niech D := B2 \ {( 21 , 0)}, z := (0, 0), w := ( 41 , 0). Wykaza¢, »e nie istnieje dysk
ekstremalny dla pary (z, w).
Zadanie 3.3.
Dla ε > 0 niech Dε := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : ε(|z1 |2 + |z2 |2 ) + |z12 − z23 |2 < 1}. Wykaza¢, »e Dε
jest jednospójnym obszarem silnie pseudowypukªym, 0 ∈ Dε , i takim, »e κDε (0, ·) ∈
/ PSH(C2 ).
Zadanie 3.4.
Zadanie 3.5.
Niech D := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : min{|z1 |, |z2 |} < 1}. Wykaza¢, »e κD (0; ·) = 0.
Zadanie 3.6.
Niech D := {(z1 , z2 ) ∈ D2 : |z1 | =
6 |z2 | ∨ |z1 | < 12 }. Wykaza¢, »e 1 < κD (0; (1, 1)).
Zadanie 3.7.
Niech D := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | < 1, |z2 | < 1, |z1 z2 | < a2 }, a ∈ (0, 12 ). Wykaza¢, »e
lim sup
a0 →(0,0)
X 0 →(a,a)
06=λ→0
kD (a0 , a0 + λX 0 )
< κD (0; (a, a)).
|λ|
Niech D ⊂ Cn b¦dzie obszarem i niech
(a) kD = ∫ κD ,
i
.
(b) kD = kD
Wykaza¢, »e z (a) wynika (b).
Zadanie 3.8.
Zadanie 3.9.
Niech π : D̃ → D b¦dzie nakryciem holomorcznym. Wykaza¢, »e
κD (z; X) = κD̃ (z̃; Y ),
z ∈ D, X ∈ Cn ,
gdzie z̃ ∈ D̃ speªnia warunek π(z̃) = z oraz π 0 (z̃)Y = X .
Zadanie 3.10.
Niech D ⊂ Cn b¦dzie obszarem wypukªym. Wykaza¢, »e k̃D = kD .