x do Z

Przykªadowe zadania na I kolokwium z topologii
1. Udowodni¢, »e funkcja
dH (E, F ) = max
jest metryk¡ na zbiorze
nych przedziaªów w
Wskazówka: Wyrazi¢
2. Dla ka»dego
x∈E y∈F
y∈F x∈E
X = {[a, b] : a, b ∈ R} wszystkich domkni¦tych i ograniczo-
R.
dH ([a, b], [a0 , b0 ])
n∈N
inf sup |x − y|, inf sup |x − y|
niech
dn
w prostszy sposób
b¦dzie metryk¡ na przestrzeni
1
d(x, y) =
min dn (x, y), n
2
n∈N
X
równie» jest metryk¡ na
ka»dego
3. Niech
X
X.
Rozstrzygn¡¢, czy
d
X.
Udowodni¢, »e
jest sªabsza b¡d¹ mocniejsza od
dn .
b¦dzie zbiorem tych miast Polski, w których jest dworzec PKP i PKS.
Okre±lmy funkcj¦
d(x, y) jako czas przejazdu mi¦dzy x i y szybszym ±rodkiem trans-
portu: poci¡giem lub autobusem. W czasie podró»y nie wolno nam zmienia¢ ±rodka
lokomocji. Zakªadamy, »e czasy przejazdu z
tak okre±lona funkcja
4. Dla
x, y ∈ Z+
d
jest metryk¡ na
i z
y
do
x
s¡ jednakowe. Czy
d
NWW(x, y)
.
NWD(x, y)
jest metryk¡ na zbiorze liczb caªkowitych dodatnich
Z+ .
b¦dzie ustalon¡, ±ci±le dodatni¡, ci¡gª¡ funkcj¡ rzeczywist¡. Okre±lmy
Z
d(x, y) = Udowodni¢, »e
6. Niech
y
niech
Udowodni¢, »e
f
do
X?
d(x, y) = ln
5. Niech
x
d
jest metryk¡ na
X = (− π2 , π2 ).
Okre±lmy
R.
Czy
y
x
f (u)du .
d
jest równowa»na metryce euklidesowej?
d:X ×X →R
wzorem:
d(x, y) = |tg x − tg y| .
•
•
Udowodni¢, »e
d
jest metryk¡ na
X.
Scharakteryzowa¢ ci¡gi podstawowe w
(X, d).
Wskazówka: Mo»na skorzysta¢ z poj¦cia bycia podstawowym w
•
Czy przestrze«
•
Scharakteryzowa¢ zbiory domkni¦te w
(X, d)
R
z metryk¡ euklidesow¡
jest zupeªna?
(X, d).
X = (0, ∞) i niech d(x, y) = |x2 − y 2 | b¦dzie metryk¡ na X . Okre±lmy
f : X → X wzorem f (x) = x2 . Czy f jest ci¡gªa? Czy jest jednostajnie ci¡gªa?
7. Niech
Czy jest lipschitzowska?
(X, d)
f i g s¡
8. Niech
je±li
g◦f
f ◦g i g◦f
ci¡gªe, to równie»
s¡ ci¡gªe, to równie»
9. Niech
f : X → X , g : X → X . Czy
ci¡gªe? Czy przeciwnie, je±li f ◦ g i
b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡, i niech
f
i
g
s¡
s¡ ci¡gªe?
(X, d) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡.
Na
X2
wprowadzamy metryk¡ taksów-
kow¡:
dt ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d(x1 , y1 ) + d(x2 , y2 ) .
Rzutem
rzutem na pierwsz¡ wspóªrz¦dn¡ )
(±ci±lej
2
nazywamy odwzorowanie
π :
X → X dane wzorem π((x1 , x2 )) = x1 . Czy odwzorowanie π jest ci¡gªe? Czy
2
obraz π(G) zbioru otwartego G ⊆ X jest otwarty w X ? Czy obraz π(F ) zbioru
2
domkni¦tego F ⊆ X jest domkni¦ty w X ?
10. Niech
X = C([0, 1]) × [0, 1]
b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡ z metryk¡
Z
1
|f (u) − g(u)| du + |t − s| .
d((f, t), (g, s)) =
0
Niech
ϕ:X→R
b¦dzie okre±lona wzorem
Z
t
f (u)du .
ϕ(f, t) =
0
Czy
ϕ
jest funkcj¡ ci¡gª¡?
X
równe 0,
11. Niech
b¦dzie zbiorem ci¡gów rzeczywistych, które od pewnego miejsca s¡ stale
tj.:
X = a ∈ RN : ∃k∈N ∀n≥k an = 0 .
Rozwa»my w
X
metryk¦ supremum
d∞ (a, b) = sup |an − bn |
n∈N
oraz metryk¦ suma:
d1 (a, b) =
X
|an − bn | .
n∈N
W przestrzeni
C([0, 1])
C([0, 1])
rozwa»amy metryk¦ supremum
dsup .
Niech
ϕ : X →
b¦dzie dane wzorem
ϕ(a) = f ,
gdzie
f (x) =
X
an x n .
n∈N
Czy
ϕ
ϕ
powiedzi zmieniªyby si¦, gdyby
[0, 1]
zast¡pi¢ innym odcinkiem?
R3 rozwa»amy metryk¦ euklidesow¡,
ϕ : R3 → C([0, 1]) b¦dzie dane wzorem
12. W
ϕ(a, b, c) = f ,
Czy
ϕ
(X, d∞ ) w (C([0, 1]), dsup )? Czy
(X, d1 ) w (C([0, 1]), dsup )? Czy od-
jest funkcj¡ ci¡gª¡ z przestrzeni metrycznej
jest funkcj¡ ci¡gª¡ z przestrzeni metrycznej
gdzie
jest funkcj¡ ci¡gª¡? Czy obraz
ϕ
w
C([0, 1])
metryk¦ supremum.
f (x) = ax2 + bx + c .
jest domkni¦ty?
Niech
(xkn ) ci¡gu (xn ) zawiera podci¡g (xkln ) zbie»ny
do z , to sam ci¡g (xn ) jest zbie»ny do z . Poda¢ przykªad niezbie»nego ci¡gu (xn ),
którego ka»dy podci¡g (xkn ) zawiera podci¡g (xkl ) zbie»ny.
n
13. Udowodni¢, »e je±li ka»dy podci¡g
14. W przestrzeni
C([0, 2π])
funkcji ci¡gªych na odcinku
supremum. Znale¹¢ domkni¦cie zbioru
Wskazówka:
sin a − sin b = 2 cos
15. Rozwa»my zbiór
a+b
2
sin
{fn : n ∈ N},
[0, 2π] rozwa»amy metryk¦
fn (x) = sin(nx).
gdzie
a−b
.
2
√
X = a + b 2 : a, b ∈ Q .
Okre±lamy
√
√
d(a + b 2, a0 + b0 2) = |a − a0 | + |b − b0 | .
Czy (X, d) jest przestrzeni¡ metryczn¡? Jakie jest uzupeªnienie (X, d)? Czy funkcja
f (x) = x jest ci¡gªa z (X, d) w (R, de )? (de oznacza metryk¦ euklidesow¡)