rozwiązania

Algebra liniowa i geometria analityczna,
Kolokwium nr 3, 25 stycznia 2011r.
Zadanie 1. Wyznaczyć trzy punkty przecięcia par prostych
x−1
y−1
z−1
x−1
y−1
z
l1 :
=
=
, l2 :
=
= ,
0
0
1
0
1
0
a następnie obliczyć pole trójkąta wyznaczonego przez te punkty.
l3 :
x−1
y
z
= = ,
0
1
1
Rozwiązanie. Niech A12 , A13 i A23 będą punktami przecięcia się odpowiednio prostych l1 i l2 , l1 i l3 oraz l2 i l3 .
Współrzędne punktu A12 spełniają układ równań
(
x−1
0
x−1
0
=
=
y−1
0
y−1
1
= z−1
1 ,
z
= 0.
Stąd A12 = (1, 1, 0). Podobnie wyznaczamy A13 = (1, 1, 1), A23 = (1, 0, 0). Pole trójkąta można teraz wyznaczyć,
korzystając z iloczynu wektorowego, lub zauważyć, że trójką A12 A13 A23 jest trójkątem prostokątnym i wtedy
1
1
P∆A12 A13 A23 = · 1 · 1 = .
2
2
Zadanie 2. Podać równanie parametryczne i kierunkowe prostej, która powstaje z przecięcia płaszczyzn
π1 : x + y + z + 3 = 0,
π2 : 2x − y + 2z + 1 = 0.
Ponadto wyznaczyć dwie inne płaszczyzny, których przecięciem jest powyższa prosta.
Rozwiązanie. Ponieważ szukana prosta należy do obu płaszczyzn π1 i π2 , to jej wektor kierunkowy jest prostopadły do obu wektorów normalnych n1 , n2 płaszczyzn π1 i π2 . Mamy
n1 × n2 = (3, 0, −3) = 3(1, 0, −1).
zatem za wektor kierunkowy można przyjąć wektor (1, 0, −1). Wystarczy teraz znaleźć dowolny punkt należący do
tej prostej, to znaczy dowolny punkt z przecięcia płaszczyzn π1 i π2 . Dla x = 0 równania płaszczyzn przyjmują
postać
y + z = −3,
−y + 2z = −1,
skąd y = − 35 , z = − 34 . Równaniem szukanej prostej jest
5 4
l : (x, y, z) = 0, − , −
+ (1, 0, −1)t.
3 3
Aby wyznaczyć dwie inne płaszczyzny, których przecięciem jest dana prosta, wystarczy wyznaczyć dwa dowolne
wektory prostopadłe do wektora kierunkowego prostej. Mogą to być na przykład wektory
n01 = (1, 0, 1),
n02 = (1, 2, 1).
Określmy teraz dwie płaszczyzny, których wektorami normalnymi są n01 i n02 , to znaczy
π10 : x + z + D1 = 0,
π20 : x + 2y + z + D2 = 0.
Do zakończenia potrzeba jeszcze dobrać parametry D1 i D2 w ten sposób, aby nowe płaszczyzny
zawierały prostą
5
4
l. W tym calu należy do równań płaszczyzn wstawić współrzędne punktu 0, − 3 , − 3 , otrzymując równania
4
− + D1 = 0,
3
skąd D1 = 43 , D2 =
−
10 4
− + D2 = 0,
3
3
14
3 .
Zadanie 3. Niech A = (1, 2, 3), B = (1, 1, 1), C = (0, 1, 0). Wyznaczyć równanie prostej, która zawiera wysokość
trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka B i wyznaczyć jej długość.
Rozwiązanie. Wyznaczmy najpierw równanie prostej przechodzącej przez punkty A i C. Może to być na przykład
x
y−1
z
l: =
= .
1
1
3
Znajdźmy teraz płaszczyznę π, która jest prostopadła do prostej l i zawiera punkt B. W tym celu zauważmy, że
szukana płaszczyzna ma wektor normalny równy wektorowi kierunkowemu prostej l. Stąd
π : x + y + 3z + D = 0.
Ponieważ B ∈ π, to D = −5, czyli
π : x + y + 3z − 5 = 0.
Wystarczy teraz znaleźć punkt przecięcia prostej l i płaszczyzny π. Prosta l ma równanie parametryczne
l:



x = t,
y = 1 + t,


z = 3t.
Zatem po wstawieniu do równania płaszczyzny, otrzymujemy
11t − 4 = 0,
skąd t =
4
11 .
Szukanym punktem l ∩ π jest
4 15 12
11 , 11 , 11
. Zatem prosta zawierająca wysokość trójkąta ABC opusz-
czoną z wierzchołka B jest prostą przechodzącą przez punkt B oraz
4 15 12
11 , 11 , 11
, to znaczy
7 −4 −1
t.
,
,
11 11 11
Długość wysokości jest oczywiście równa odległości powyższych punktów.
(x, y, z) = (1, 1, 1) +
Zadanie 4. Wyznaczyć punkt na prostej
l:
x
y+7
z−1
=
=
,
1
2
1
który leży najbliżej punktu (3, 2, 6).
Rozwiązanie. Uwaga. Zadanie to można rozwiązać niemal identycznie jak zadanie 3. Można również posłużyć się
iloczynem skalarnym wektorów
aby wyznaczyć
rzut punktu (3, 2, 6) na prostą l.
13 5 16
Szukanym punktem jest 3 , 3 , 3 .
Zadanie 5. Przez punkt przecięcia płaszczyzny
π :x+y+z−1=0
z prostą
l:



x = t,
y = 1,


z = −1,
poprowadzić prostą, która leży w płaszczyźnie π i jest prostopadła do prostej l.
Rozwiązanie. Wektor kierunkowy v szukanej prostej musi być prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny
π oraz do wektora kierunkowego prostej l. Stąd
v = (1, 1, 1) × (1, 0, 0) = (0, 1, −1).
Wystarczy jeszcze znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny π prostą l. Wstawiając równania parametryczne prostej
do równania płaszczyzny, otrzymujemy
t − 1 = 0.
Zatem t = 1 i π ∩ l = (1, 1, −1), co oznacza, że szukaną prostą jest


x = 1,

y = 1 + t,


z = −1 − t.