ŒRODKI CIĘŻKOŒCI

5. WYZNACZANIE ŚRODKÓW CIĘŻKOŚCI
Zadanie 5.1
Konstrukcja przestrzenna tworząca szkielet krzesła, złożona jest z jedenastu jednorodnych,
równych prętów o długości a i ciężarze G każdy rys. 5.1.1. Kąty pomiędzy prętami w
narożach są proste. Wyznaczyć położenie środka ciężkości konstrukcji podając jego
współrzędne prostokątne.
z
a
11
10
a
a
a
9
a
a
a
8
4
x
a
a
7
a
a
Rys. 5.1.1
6
5
1
y
3
2
Rys. 5.1.2
Rozwiązanie
Przyjmujemy układ współrzędnych 0,x,y,z (rys. 5.1.2) prowadząc osie wzdłuż prętów
konstrukcji. Dla ułatwienia numerujemy pręty kolejno o 1 do 11 i na każdym z nich
zaznaczamy jego środek ciężkości którego współrzędne są oczywiste
Ciężar całej konstrukcji wynosi 11G.
Z twierdzenia o momentach statycznych wyznaczamy kolejno xC, yC i zC
xC =
xC =
∑ xi ⋅ Gi
∑ Gi
=
5,5
a = 0,5a ,
11
a
a
a
+ G 7 0 + G 8 + G 9 a + G 10 0 + G 11
2
2
2
11G
G 1a + G 2 a + G 3 0 + G 4 0 + G 5 a + G 6
co można było przewidzieć ze wzglądu na płaszczyznę symetrii konstrukcji.
yC =
yC =
∑ yi ⋅ Gi
∑G
=
G1 0 + G 2a + G 3a + G 4 0 + G 5
i
a
a
+ G 6 a + G 7 + G 8 0 + G 9 0 + G 10 0 + G 11 0
2
2
=
11G
4
a
11
a
a
 a
 a
 a
 a
G 1  −  + G 2  −  + G 3  −  + G 4  −  + G 9 + G 10 + G 11 a
2
2
∑ xi ⋅Gi =  2   2   2   2 
zC =
11G
∑ Gi
z C = 0.
Zadanie 5.2
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku 5.2.a.
Rys.5.2.a
Rys.5.2.b
Przyjmujemy układ odniesienia, względem którego będziemy wyznaczali współrzędne środka
ciężkości (rys.5.2.b). Położenie układu odniesienia może być dowolne, starajmy się jednak
ułatwić sobie dalszą pracę. Osie skierujmy wzdłuż boków figur, wzdłuż osi symetrii jeżeli
figura je posiada, itp. Następnie dzielimy naszą figurę na figury proste, w tym przypadku dwa
prostokąty I i II, (rys.5.2.b). Zaznaczamy środki ciężkości tych prostokątów symbolami C1 i
C2, a ich współrzędne w przyjętym układzie odniesienia i pola powierzchni wynoszą
A1 = 2 6 = 12;
x1 = 1;
y1 = 5;
A2 = 2⋅6 = 12;
x2 = 3;
y2 = 1.
Wstawiamy do wzoru na współrzędne środka ciężkości (twierdzenie o momentach
statycznych)
xC =
yC =
∑A
⋅ xi
A
∑A
xC = 2;
i
i
A
⋅ yi
=
A1 ⋅ x1 + A 2 ⋅ x 2 12 ⋅ 1 + 12 ⋅ 3
=
= 2;
A
24
=
A1 ⋅ y1 + A 2 ⋅ y 2 12 ⋅ 5 + 12 ⋅ 1
=
=3
A
24
yC = 3
Nanosimy ten punkt na rysunek 5.2.b, oznaczamy go C.
Zadanie 5.3
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury przedstawionej na rysunku 5.3.a powstałej
przez wycięcie z ćwiartki koła o promieniu a połówki koła o promieniu a/2.
Rys.5.3.a
Rys.5.3.b
Rozwiązanie:
Przyjmujemy układ osi 0xy rys. 5.3.b i zaznaczmy orientacyjnie położenie środków ciężkości
C1 i C2 figur składowych. W obliczeniach potraktujemy moment statyczny danej figury jako
różnicę momentów statycznych figur składowych.
A1 ⋅ x1 − A 2 ⋅ x 2
;
A
A ⋅ y − A2 ⋅ y2
yc = 1 1
A
xc =
Przygotowanie danych do wstawienia
Powierzchnia pola figury
A=
π⋅a2 π⋅a2 π⋅a2
−
=
4
8
8
powierzchnia ćwiartki koła
A1 =
π⋅a2
;
4
powierzchnia półkola
A2 =
π⋅a2
;
8
współrzędne środka ciężkości ćwiartki koła
2
2 sin 45
2
2 4a
x 1 = OC1 ⋅ cos 45o = a
cos 45o = a 2
=
π
3
3 π 2
3π
4
4
o
y1 = x 1 =
4a
;
3π
współrzędne środka ciężkości półkola
a
x2 = ;
2
2 a sin 90 o 2 a
y2 =
=
,
32 π
3π
2
Wstawiając do wzorów
π⋅ a 2 4 a π⋅ a 2 a
⋅
−
⋅
 8 1
xc = 4 3 π 2 8 2 =  − ⋅a
π⋅a
 3π 2 
8
π ⋅ a 2 4 a π ⋅ a 2 2a
⋅
−
⋅
4
3
8
3π = 2
π
yc =
2
π
π⋅a
8
Zadanie 5.4
Dla figury o wymiarach jak na rysunku 5.4.a wyznaczyć położenie środka ciężkości.
Wymiary podano w metrach.
Rys.5.4.a
Rys.5.4.b
Rozwiązanie
Przyjmujemy układ odniesienia względem którego będziemy określać współrzędne środka
ciężkości danej figury.
Figurę dzielimy na trzy figury proste: prostokąt o bokach 2 × 4 m, trójkąt równoramienny o
ramionach równych 2 m i półkole o promieniu 1 m. W każdym ze środków ciężkości figur
prostych zaznaczamy orientacyjnie centralny układ odniesienia, rys. 5.4.b
Pola powierzchni składowych figur
A1 = 8;
x1 = -1;
y1 = 2
A2 = 2;
1
x2 = ⋅ 2
3
y2 =
A3 = π/2
x3 =
4 1
⋅
3 π
1
⋅2
3
y3 = 3
A = A1 + A2 + A3 = 8 + 2 +π/2 = 10 +π/2
Wstawiamy do wzoru na współrzędne środka ciężkości (twierdzenie o momentach
statycznych)
xC =
yC =
∑ Ai ⋅ x i
=
A
∑ A i ⋅ yi
A
=
A1 ⋅ x1 + A 2 ⋅ x 2 + A 3 ⋅ x 3
=
A
A1 ⋅ y1 + A 2 ⋅ y 2 + A 3 ⋅ y3
=
A
2 π 4
+ ⋅
3 2 3π = −0,52;
10 + π / 2
8 ⋅ (−1) + 2 ⋅
2 π
+ ⋅3
3 2 = 1,9
10 + π / 2
8⋅ 2 + 2⋅