Zadanie 20 (kombinatoryka i rachunek prawdopodobienstwa)

Zadanie 20 (kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa)
Z talii 52 kart do gry losujemy 9, z nich kolejno losujemy dwie (bez zwracania).) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że
druga z wylosowanych kart jest waletem.
Rozwiazanie.
Przedstawie rozwiazanie omawiane w jednej z grup. Wśród wylosowanych kart może znaleźć sie
4·(48)
6(48)
4(48)
(48
(4)(48)
(48
9)
5)
0 , 1 , 2 , 3 lub 4 walety. Prawdopodobieństwa tych zdarzeń to 52
, 528 , 2 52 7 = 527 , 526 i 52
. W pierwszym
(9) (9)
(9)
(9)
(9)
(9)
przypadku prawdopodobieństwo wylosowania waleta w drugim losowaniu równe jest 0 , w drugim — 98 · 81 = 19 , w trzecim
—
7
9
·
2
8
+
2
9
·
1
8
=
2
9
, w czwartym —
6
9
·
3
8
+
3
9
·
2
8
=
3
9
, w piatym —
5
9
·
4
8
+
4
9
·
3
8
=
4
9
wylosowania w końcu waleta równe jest
6·(48)
4·(48)
4·(48
(48
(48
(48) 9)
5)
43·42
8)
· 19 + 527 · 29 + 526 · 39 + 52
· 94 = 9· 552 4 · 43·42·41
52 · 0 +
52
6·7·8 + 12 · 6·7 + 12 ·
(9)
(9)
(9)
(9)
(9)
(9)
(48) (48) = 18· 552 43 · 41 + 24 · 43 + 4 · 43 + 8 = 18· 552 43 · 69 + 8 =
(9)
(9)
48·47·46·45·44·1·2·3·4·5·6·7·8·9·2975
= 18·1·2·3·4·5·52·51·50·49·48·47·46·45·44
=
. Wobec tego prawdopodobieństwo
43
6
+4 =
6·7·8·9·2975
18·52·51·50·49
=
24 ·33 ·52 ·72 ·17
22 ·33 ·52 ·72 ·13·17
=
1
13
.
Otrzymana liczba jest „przypadkiem” równa prawdopodobieństwu wylosowania waleta z pelnej talii kart w jednym losowaniu! Omówimy ten „zbieg okoliczności” nieco dokladniej.
Przypomnijmy, że prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem B nazywamy liczbe P (A|B) =
P (A∩B)
P (B)
. Oczywiście zakladamy w tej definicji, że P (B) > 0 .
Jeśli zdarzenia B1 , B2 , . . . , Bn spelniaja dwa warunki: jeśli i 6= j , to Bi ∩ Bj = ∅
i
B 1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ . . . ∪ B n = Ω ,
to dla każdego A ⊂ Ω zachodzi wzór (na prawdopodobieństwo calkowite)
P (A) = P (A|B1 )P (B1 ) + P (A|B2 )P (B2 ) + · · · + P (A|Bn )P (Bn ) .
W rozpatrywanym przykladzie przyjmiemy, że B0 jest zdarzeniem wśród dziewieciu wylosowanych kart nie waleta, B1 —
wśród dziewieciu wylosowanych kart jest jeden walet, B2 — wśród dziewieciu wylosowanych kart sa dwa walety, B3 —
wśród dziewieciu wylosowanych kart sa trzy walety, B4 — wśród dziewieciu wylosowanych kart sa cztery walety. Zdarzenie
A to: druga z wylosowanych spośród dziewieciu kart jest waletem. Zaczeliśmy rozwia zanie od stwierdzenia, że
4·(48)
6(48)
4(48)
(48
(4)(48)
(48
9)
5)
P (B0 ) = 52
, P (B1 ) = 528 , P (B2 ) = 2 52 7 = 527 , P (B3 ) = 526 , P (B4 ) = 52
.
(9)
(9)
(9)
(9)
(9)
(9)
Nastepnie pracowicie wyliczyliśmy, że
P (A|B0 ) = 0 , P (A|B1 ) =
1
9
, P (A|B2 ) =
2
9
, P (A|B3 ) =
3
9
, P (A|B4 ) =
4
9
.
Zakończyliśmy podstawiaja c do wzoru na prawdopodobieństwo calkowite (nie wspominaja c nawet jego nazwy).
Do tej pory w ogóle nie opisaliśmy przestrzeni Ω . Oczywiście nie ma uniwersalnej metody jej określenia. Można
przyja ć, że zdarzeniami elementarnymi sa pary zlożone z nieuporza dkowanej dziewia tki kart (dziewiecioelementowego
zbioru kart) i uporza dkowanej pary kart wybranych z dziewia tki. Dziewiecioelementowych podzbiorów zbioru zlożonego
z 52 kart jest 52
9 , z każdego z nich można wybrać pare uporza dkowana na 9 · 8 = 72 sposoby, zatem zdarzeń ele
mentarnych jest 52
9 · 72 = 264893428800 , wiec nie bedziemy ich wszystkich wypisywać, jednak podamy dwa przyklady.
Zdarzenie elementarne wygla dać może np. tak: {2♣, K♣, D♥, W ♠, 4♦, 7♦, K♠, A♥, A♠}, (4♦, K♠) , a troche inne np.
tak {2♣, K♣, D♥, W ♠, 4♦, 7♦, K♠, A♥, A♠}, (7♦, W ♠) . Pierwsze nie sprzyja zdarzeniu A , a drugie sprzyja. Sprzyjaja zdarzeniu A zdarzenia elementarne kończa ce sie jednym z symboli W ♣ , W ♠ , W ♥ , W ♦ , co oznacza, że ostatnia
wylosowana karta jest walet jakiegoś koloru. Jest jasne, że zdarzeń „kończa cych sie waletem” jest tyle samo, co zdarzeń
„kończacych sie królem” lub np. trójka . Mamy wiec trzynaście zdarzeń parami wykluczaja cych sie i równoprawdopodobnych,
zatem prawdopodobieństwo każdego z nich równe jest
1
13
. Tym razem otrzymaliśmy wynik od razu, bez śladu jakichkolwiek
rachunków.
Widać wiec, że w tym przypadku zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo calkowite niczego nie upraszcza, przeciwnie komplikuje. To samo dotyczy tzw. drzewka. Zreszta używanie drzewek to po prostu inna forma używania prawdopodobieństwa warunkowego, w tym wzoru na prawdopodobieństwo calkowite.
Dodajmy jeszcze, że prawdopodobieństwo tego, że losuja c jedna karte z talii wylosujemy waleta jest równe
1
13
z tego
samego powodu: jest trzynaście parami wykluczaja cych sie zdarzeń, których prawdopodobieństwa sa równe. Oczywiście,
gdybyśmy pytali np. o siedemnasta wylosowana karte rezultat bylby taki sam i argumentacja również.