P ((X, Y ) ∈ [a, b] × {yj})

Rozważmy wektor losowy (X, Y ) o rozkladzie dyskretno-ciag
, lym
Z b
P (X ∈ [a, b] , Y = yj ) = P ((X, Y ) ∈ [a, b] × {yj }) =
fj (x) dx.
a
Z powyższej formuly mamy nastepuj
ace
rozklady brzegowe.
,
,
1. Rozklad brzegowy zmiennej X
P (X ∈ [a, b])
n
X
=
P (X ∈ [a, b] , Y = yj )
j=1
n Z b
X
=
Z
fj (x) dx =
a
j=1
n
bX
Czyli zmienna X ma rozklad ciag
fX (x) =
, ly o gestości
,
2. Rozklad brzegowy zmiennej Y
P (Y = yj )
fj (x) dx.
a j=1
Pn
j=1
fj (x) .
= P (X ∈ (−∞, +∞) , Y = yj )
Z +∞
=
fj (x) dx.
−∞
Czyli zmienna Y ma rozklad dyskretny P (Y = yj ) = qj =
R +∞
−∞
fj (x) dx.
Zajmijmy sie, teraz rozkladami warunkowymi.
1. Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe mamy
P (X ∈ [a, b] |Y = yj )
=
=
P (X ∈ [a, b] , Y = yj )
P (Y = yj )
Rb
f (x) dx
a j
.
qj
Czyli gestość
warunkowa wyraża sie, za pomoca, wzoru
,
fX (x|Y = yj ) =
fj (x)
fj (x)
.
= R +∞
qj
fj (x) dx
−∞
2. Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe mamy
P (Y = yj |X ∈ [a, b])
=
=
P (X ∈ [a, b] , Y = yj )
P (X ∈ [a, b])
Rb
f (x) dx
a j
.
Rb
f
(x)
dx
X
a
Jeżeli funkcje fj i fX sa, ciag
, le a przedzial [a, b] jest bardzo maly, [a, b] =
[x − ε, x + ε] , gdzie ε > 0, ε ≈ 0, to mamy
Z b
fj (x) dx ≈ [b − a] fj (x) = 2εfj (x) ,
Z
a
b
fX (x) dx
≈ [b − a] fX (x) = 2εfX (x) .
a
1
Stad
, otrzymujemy
P (Y = yj |X ∈ [x − ε, x + ε]) ≈
2εfj (x)
fj (x)
=
.
2εfX (x)
fX (x)
Przechodzac
, do granicy ε → 0, dostajemy
P (Y = yj |X = x) =
fj (x)
fj (x)
.
= Pn
fX (x)
j=1 fj (x)
2