Zestaw 01

Fizyka dla Informatyki Stosowanej
Zestaw nr 1
0. Powtórzyć (przed ćwiczeniami !) podstawowe wiadomości o dzialaniach na wektorach
i liczeniu pochodnych.
1. Udowodnić trzy spośród nastepuj
acych
tożsamości wektorowych, slusznych dla dowolι
ι
~
~
~
~
nych wektorów A, B, C i D:
~ × B)
~ 2 + (A
~ · B)
~ 2 = (A)
~ 2 (B)
~ 2
1. (A
~ · (B
~ × C)
~ =C
~ · (A
~ × B)
~ =B
~ · (C
~ × A)
~ =
2. A
~ · (C
~ × B)
~ = −C
~ · (B
~ × A)
~ = −B
~ · (A
~ × C)
~
−A
~ × (B
~ × C)
~ = (A
~ · C)
~ B
~ − (A
~ · B)
~ C
~
3. A
~ × (B
~ × C)
~ +B
~ × (C
~ × A)
~ +C
~ × (A
~ × B)
~ = 0
4. A
~ × B)
~ · (C
~ × D)
~ = (A
~ · C)
~ (B
~ · D) − (A
~ · D)
~ (B
~ · C)
5. (A
~ × B)
~ × (C
~ × D)
~ = [A
~ · (B
~ × D)]
~ C
~ − [A
~ · (B
~ × C)]
~ D
~
6. (A
~ × (B
~ × (C
~ × D))
~ = (B
~ · D)(
~ A
~ × C)
~ − (B
~ · C)(
~ A
~ × D)
~
7. A
~ × B)
~ · (C
~ × D)
~ + (B
~ × C)
~ · (A
~ × D)
~ + (C
~ × A)
~ · (B
~ × D)
~ = 0
8. (A
Przeliczenia wykonać w ukladzie kartezjańskim. W przypadkach (3)–(8) wygodnie jest
użyć tensora Levi-Civity, ale rachunek bezpośredni też jest oczywiście dopuszczalny.
Tożsamość (3) bedzie
potrzebna na wykladzie.
ι
2. Polożenie punktu materialnego na osi x dane jest wzorem x(t) = At − Bt3 . Znaleźć
predkość
i przyspieszenie punktu w dowolnej chwili czasu, polożenie punktu w chwili
ι
t = 0s oraz t = 2s, przemieszczenie punktu w dwóch pierwszych sekundach ruchu,
predkość
średniaι w dwóch pierwszych sekundach ruchu, drogeι przebytaι przez punkt w
ι
dwóch pierwszych sekundach ruchu. Przyjać,
że A = 2 ms , B = 1 sm3 .
ι
t
3. Polożenie punktu materialnego na osi x dane jest wzorem x(t) = At+B
, gdzie A i B
to dodatnie stale. Znaleźć predkość
i przyspieszenie punktu w dowolnej chwili czasu,
ι
maksymalnaι odleglość, na jakaι oddali sieι punkt od polożenia poczatkowego,
maksyι
s
1
,
B
=
1
.
malnaι predkość
punktu
materialnego.
Przyj
ać,
że
A
=
5
ι
ι
m
m
4. Polożenie punktu materialnego w plaszczyźnie xy dane jest ukladem równań x =
b sin(ωt), y = c cos(2ωt), gdzie b, c i ω to dodatnie stale. Zbadać charakter ruchu tego
punktu (czy ruch jest okresowy, czy jest ograniczony przestrzennie), znaleźć równanie
toru, określić minimalnaι i maksymalnaι wartość dlugości wektora predkości.
ι
5. Polożenie punktu materialnego w plaszczyźnie xy dane jest wzorami x(t) = v0 t, y(t) =
h − 21 gt2 i z(t) = 0, gdzie g ≈ 10 sm2 , v0 = 1 ms , h = 5m. Jakiej sytuacji fizycznej to
odpowiada ? Znaleźć predkość
i przyspieszenie punktu w dowolnej chwili t, polożenie
ι
punktu w chwili t = 0 oraz t = 1s, przemieszczenie punktu w pierwszej sekundzie
ruchu, predkość
średniaι w pierwszej sekundzie ruchu. Podać wzór na drogeι przebytaι
ι
przez punkt w pierwszej sekundzie ruchu.
6. Wektory polożenia dwóch punktów materialnych w plaszczyźnie xy dane saι wzorami
~r1 (t) = (0, 1) + t(0, 1) + t2 (1, 1), ~r2 (t) = (3, 0) + t(−1, 2) + t2 (1, 1). Jak wyglada
ruch
ι
drugiego punktu materialnego z punktu widzenia pierwszej czastki
?
Znaleźć
pr
edkość
ι
ι
~v21 i przyspieszenie ~a21 drugiego punktu materialnego wzgledem
pierwszego. W jakiej
ι
chwili t odleglość miedzy
punktami bedzie
najmniejsza i ile bedzie
wynosić ?
ι
ι
ι
7. Ruch punktu materialnego opisuja,ι we wspólrzednych
biegunowych, nastepuj
ace
równania:
ι
ι
ι
ρ = ρ0 ct, φ = ct, gdzie ρ0 i c saι stalymi dodatnimi. Znaleźć
(a) tor punktu (i naszkicować go dla ρ0 = 1 m
),
π
(b) radialnaι i transwersalnaι skladowaι wektora predkości
oraz dlugość wektora predkości,
ι
ι
(c) radialnaι i transwersalnaι skladowaι wektora przyśpieszenia oraz dlugość wektora
przyśpieszenia,
(d) skladowe kartezjańskie wektora predkości,
ι
(e) skladowe kartezjańskie wektora przyśpieszenia.
Polecam notebooki z mojej strony:
• http://users.uj.edu.pl/˜golak/F16-17/przyklad krzywej Lissajous1.nb
• http://users.uj.edu.pl/˜golak/F16-17/przyklad krzywej Lissajous2.nb
Jacek Golak