Materiały do wykładu „Logiczne podstawy kognitywistyki”∗

Transkrypt

Andrzej Pietruszczak
Materiały do wykładu
„Logiczne podstawy kognitywistyki”∗
Cześć
˛ 9
1. Potoczne użycie słów ‘logiczne’ i ‘nielogiczne’ oraz ich użycie w logice
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Tę część zacznijmy od trochę szerszego omówienia zagadnienia, które było już poruszone w częściach 7 (s. 99) i 8 (przypis 6). Mianowicie, w sensie potocznym mówimy, że wypowiedź jest nielogiczna,
gdy jest sprzeczna, niespójna, czy też bezsensowna. Stąd  poprzez zaprzeczenie  w sensie potocznym
logicznymi wypowiedziami będą te, które są niesprzeczna, spójne, czy też po prostu sensowne. Zatem,
jaki widzimy, są to bardzo małe wymagania stawiane wypowiedziom. Przecież powinniśmy posługiwać
się wyłącznie spójnymi wypowiedziami (chociaż niektóre z nich mogą okazać się fałszywe). W senesie
potocznym niesprzeczność (spójność) danej wypowiedzi ma znaczyć tylko tyle, że jest możliwe zajście
opisywanej przez nią sytuacji.
W stosunku do rozumowań w sensie potocznym mówimy, że są one nielogiczne, gdy są niepoprawne
w tym znaczeniu, że przyjętych przesłanek nie wynika wniosek. A to ma znaczyć, że możliwa jest taka
sytuacja, w której wszystkie przesłanki okażą się prawdziwe, a wniosek nieprawdziwy. Zatem w sensie
potocznym rozumowanie jest logiczne, gdy taka sytuacja nie jest możliwa.
Widzimy, że w senie potocznym odwołujemy się do pojęć sytuacji oraz możliwości, które rozumiane
są intuicyjnie i nie mają precyzyjnego znaczenia. W związku z tym w logice przymiotnik ‘logiczne’ i
przysłówek ‘logicznie’ są używane w sensie «technicznym». Mają one znaczyć mniej więcej tyle, co: na
mocy samej struktury logicznej. Przy czym takie zwroty, jak ‘nielogiczne’, czy też ‘nielogicznie’ w
logice używa się tak, jak w języku potocznym.
Zatem w logice wynikanie logiczne ma być takim, które otrzymujemy na mocy struktury logicznej.
Gdy mówimy więc, że nie zachodzi wynikanie logiczne, to ma to znaczyć, że albo nie ma wynikania
nawet w sensie potocznym, albo że ono zachodzie, lecz nie jest oparte na samej strukturze logicznej.
W drugim przypadku mówimy, że mamy do czynienia z wynikaniem pozalogicznym. Zwrot ten ma być
odpowiednikiem używanego w anglojęzycznej literaturze przedmiotu terminu ‘non-logical’. Przykładowo, do wynikań pozalogicznych należą wszystkie wynikania entymematyczne, a w tym wszystkie wynikania analityczne nie będące wynikaniami logicznymi. A zatem nie ma nielogicznych wynikań. W sensie
potocznym wszystkie wynikania są logiczne.
Podobnie sprzeczność danej wypowiedzi w sensie logiki ma być związana wyłącznie z samą strukturą logiczną tej wypowiedzi. Chodzi o to, że z samej struktury logicznej wypowiedzi otrzymamy jej
nieprawdziwość. A to pociąga to, że nie jest możliwa sytuacja opisywana przez tę wypowiedź, czyli że ta
wypowiedź jest także nielogiczna w potocznym tego słowa znaczeniu. Sprzeczności, które nie są oparte
wyłącznie na logicznej strukturze wypowiedzi, będą również określane mianem pozalogicznych.
2. Wynikania analityczne w praktyce
Zacznijmy od przypomnijmy określenia pojęcia wynikania analitycznego. Przyjmujemy, że dla dowolnego niepustego zbioru zdań Π i dowolnego zdania κ stwierdzenie, iż
ze zbioru zdań Π wynika analitycznie zdanie κ
∗
c 2016 Prawa autorskie do całości materiałów do wykładu z „Logicznych podstaw kognitywistyki” ma wyłącznie autor.
117
118
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 9
ma znaczyć:
ze zbioru Π wynika zdanie κ albo logicznie, albo entymematycznie, gdzie wszystkie ukryte
przesłanki są zdaniami analitycznie prawdziwymi.
Zdaniami analitycznie nazywamy zaś takie zdania prawdziwe, których prawdziwość wypływa wyłącznie
z analizy znaczenia występujących w nich słów.
Powyższe określenie mówi, że w zakres pojęcia wynikania analitycznego składa się z wszystkie wynikań logicznych oraz tych wynikań entymematycznych (pozalogicznych), w których wszystkie ukryte
przesłanki są zdaniami analitycznymi. W praktyce oczywiście termin ‘wynikanie analityczne’ używamy
tylko w tym drugim przypadku.
W poprzedniej części podano następujący przykład pozalogicznego wynikania analitycznego:
Jan jest kawalerem
Jan nie jest żonaty
wynika analityczne
Przykład ten przedstawia wynikanie entymematyczne w tym senie, że jest oparte jest na jakiejś «ukrytej» w stu procentach pewnej przesłance. Jedną z takich przesłanek jest np. poniższe zdanie analitycznie
prawdziwe:
Żaden kawaler nie jest żonaty.
(1)
,2
01
6/2
01
7
Bierze się to stąd, że słowo ‘kawaler’ użyliśmy tu w znaczeniu: mężczyzna, który nigdy nie był żonaty.
Dodanie przesłanki w postaci zdania (1) daje następujące wynikanie logiczne:
yk
ła d
uL
PK
Żaden kawaler nie jest żonaty
Jan jest kawalerem
x
ły
do
w
Istotnie, powyższy układ podpada pod następujący niezawodny schemat wnioskowania:
Żaden S nie jest P-em
a jest S -em
a nie jest P-em
(s1)
x
M
a te
r ia
Dodajmy, że dla wynikania istotne było to, że dodana przesłanka jest zdaniem analitycznie prawdziwym, a przez to zachodzącym w każdej sytuacji. Zatem nie jest możliwa sytuacja, w której wyjściowa
przesłanka byłaby prawdziwa, a wniosek byłby fałszywy. Gwarantuje nam to właśnie niezawodność podanego schematu wnioskowania oraz to, że w każdej sytuacji dodana przesłanka jest prawdziwa.
Poprzednio podaliśmy, że jako inną analitycznie prawdziwą przesłanką wolno również dodać poniższe
zdanie warunkowe:
Jeżeli Jan jest kawalerem, to Jan nie jest żonaty
(2)
Wówczas otrzymujemy następujące wynikanie logiczne:
Jeżeli Jan jest kawalerem, to Jan nie jest żonaty
Jan jest kawalerem
x
Istotnie, całość podpada pod poniższy niezawodny schemat wnioskowania:
Jeżeli p, to q
p
q
x
(s2)
2.1. Problemy ze zdaniami analitycznymi
Pojawiają się problemy: Które zdania wolno zaliczyć do zdań analitycznie prawdziwych? Jak uzasadnić, że dane zdanie jest analitycznie prawdziwe? Rozwiązaniem problemu może być np. przyjęcie, że
analitycznie prawdziwym jest każde takie i tylko takie zdanie, które należy do jednej z trzech omówionych
dalej kategorii:
1. zdania logicznie prawdziwe;
2. definicyjne równoważności i równości związane ze znaczeniem pojęć;
3. zdania wynikające logicznie ze zbiorów zdań złożonych z definicyjnych równoważności lub równości
dla występujących w tych zdaniach pojęć.
119
Zapewne przyjęcie powyższego określenia ogranicza zakres stosowania potocznie rozumianego terminu ‘zdanie analitycznie prawdziwe’.
2.1.1. Zdania logicznie prawdziwe. Tautologie
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Pierwszą kategorię, tzw. zdań logicznie prawdziwych, stanowić mają wszystkie te i tylko zdania, które
podpadają pod schematy zdaniowe zwane tautologiami logicznymi, albo krótko tautologiami.
Tautologią nazwiemy taki schemat zdaniowy, który przy każdym poprawnym podstawieniu daje zdanie prawdziwe. Innymi słowy, każda tautologia jest schematem wyłączne zdań prawdziwych.
Tautologiami są przykładowo:
1. Jeżeli p, to p
2. Jeżeli p ∧ q, to p
3. Jeżeli p ∧ q, to q
4. Jeżeli p ∧ q, to q ∧ p
5. Każdy S jest S -em
(tylko w interpretacji matematycznej)
6. Jeżeli istnieje co najmniej jeden S , to każdy S jest S -em
(w dowolnej interpretacji)
Istotnie, w schematach 1–4 prawdziwość poprzednika pociąga prawdziwość następnika (prawdziwość
koniunkcji pociąga prawdziwość jej członów, oraz wartość logiczna koniunkcji nie zależy od kolejności
zdań składowych). Schemat 5 produkuje zdania prawdziwe tylko w interpretacji matematycznej, gdyż
nie wykluczamy tego, że nazwa generalna S jest być pusta. Schemat 6 jest już prawdziwy bez względu
na przyjętą interpretację (czy potoczną; czy matematyczną). Oczywiście, w interpretacji matematycznej
poprzednik nie jest potrzebny (lecz też nie przeszkadza).
Jak już na wstępie wspomnieliśmy, zdanie logicznie prawdziwe ma być takim i tylko takim zdaniem,
które podpada pod jakąś tautologię. Przyjmujemy taką terminologię, gdyż zadnia takie są prawdziwe
wyłącznie na mocy swojej struktury logicznej.
r ia
ły
do
w
Uwaga 2.1. Zgodnie z przyjętą definicją, wszystkie tautologie są schematami wyłącznie zdań logicznie
prawdziwych. Nie wolno zdefiniować tautologii odwołując się do zdań logicznie prawdziwych, gdyż w
przeciwnym razie popadniemy w «błędne koło» definicji. Mianowicie, wówczas pojęcie zdania logicznie
prawdziwego zdefiniowalibyśmy za pomocą pojęcia tautologii oraz to drugie pojęcie za pomocą pierwszego. Po prostu, pojęcie tautologii definiujemy odwołując się do pojęcia zdania prawdziwego.
⋄
M
a te
Mamy natychmiastowe twierdzenie:
Twierdzenie 2.1. 1. Dla dowolnych schematów zdaniowych ϕ i ψ poniższe trzy warunki są równoważne:
(a) schemat wnioskowania ϕ/ψ jest niezawodny,
(b) schemat zdaniowy ‘Jeżeli ϕ, to ψ’ jest tautologią,
(c) schemat zdaniowy ‘ϕ → ψ’ jest tautologią.
2. Dla dowolnych zdań π i κ poniższe trzy warunki są równoważne:
(a) π |= κ,
(b) ‘Jeżeli π, to κ’ jest logicznie prawdziwe,
(c) implikacja materialna ‘π → κ’ jest logicznie prawdziwa.
Dowód. Ad 1. „Od (a) do (b)” Załóżmy, że schemat wnioskowania ϕ/ψ jest niezawodny, czyli że nie istnieje postawienie, przy którym z ϕ otrzymamy zdanie prawdziwe, a z ψ zdanie nieprawdziwe. Wtedy przy
każdym podstawieniu prawdziwość ϕ pociąga prawdziwość ψ, tj. schemat ‘Jeżeli ϕ, to ψ’ jest tautologią.
„Od (b) do (c)” Załóżmy, że schemat zdaniowy ‘Jeżeli ϕ, to ψ’ jest tautologią, tj. przy każdym podstawieniu prawdziwość ϕ pociąga prawdziwość ψ. Weźmy dowolne podstawienie. Jeśli przy tym podstawieniu schemat ϕ da zdanie nieprawdziwe, to implikacja materialna ‘ϕ → ψ’ da zdanie prawdziwe,
gdyż implikacja materialna nie jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy ma prawdziwy poprzednik oraz
nieprawdziwy następnik. Jeśli zaś przy tym podstawieniu schemat ϕ da zdanie prawdziwe, to  zgodnie z
przyjętym założeniem  pociąga to prawdziwość następnika; czyli implikacja będzie prawdziwa. Zatem
przy każdym podstawieniu z ‘ϕ → ψ’ otrzymamy zdanie prawdziwe, czyli jest to tautologia.
„Od (c) do (a)” Załóżmy, że schemat zdaniowy ‘ϕ → ψ’ jest tautologią, tj. przy każdym podstawieniu
otrzymamy z niego zdanie prawdziwe. Weźmy dowolne podstawienie. Jeśli przy tym podstawieniu schemat ϕ da zdanie prawdziwe, to  zgodnie z przyjętym założeniem  pociąga to prawdziwość następnika,
gdyż implikacja materialna ma być prawdziwa. A zatem nie istnieje postawienie, przy którym z ϕ otrzymamy zdanie prawdziwe, a z ψ zdanie nieprawdziwe, czyli schemat wnioskowania ϕ/ψ jest niezawodny.
120
Ad 2. „Od (a) do (b)” Załóżmy, że π |= κ, czyli że układ π/κ podpada pod jakiś niezawodny schemat
wnioskowania s(π)/s(κ). Wtedy, na mocy punktu 1, tautologią jest schemat zdaniowy ‘Jeżeli s(π), to s(κ)’.
Zatem zdanie warunkowe ‘Jeżeli π, to κ’ jest logicznie prawdziwe, gdyż podpada pod jakąś tautologię.
„Od (b) do (c)” Załóżmy, że zdanie ‘Jeżeli π, to κ’ jest logicznie prawdziwe, tj. podpada pod jakąś
tautologię ‘Jeżeli s(π), to s(κ)’. Wtedy, na mocy punktu 1, tautologią jest także schemat ‘π → κ’. Zatem
implikacja materialna ‘π → κ’ jest logicznie prawdziwa, gdyż podpada pod jakąś tautologię.
„Od (c) do (a)” Załóżmy, że implikacja ‘π → κ’ jest logicznie prawdziwa, tj. podpada pod jakąś
tautologię ‘s(π) → s(κ)’. Wtedy, na mocy punktu 1, niezawodny jest schemat wnioskowania s(π)/s(κ).
Zatem π |= κ, gdyż układ π/κ podpada pod jakiś niezawodny schemat wnioskowania.
CND
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Uwaga 2.2. Ogólnie mamy zasadnicze różnice w interpretacji zdań warunkowych języka naturalnego i
odpowiadających im interpretacji materialnych (por. s. 38 w części 3; s. 66, 67 i 69 w części 5, w tym
uwagę 4.7; s. 85 w części 6). Pamiętamy, że implikacja materialna jest fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy ma prawdziwy poprzednik i nieprawdziwy następnik. Zatem skoro Kopernik nie miał syna, więc
prawdziwa jest następująca implikacja materialna:
• Kopernik miał syna → Kopernik nie był ojcem
Zdanie warunkowe ma zaś wyrażać pewien związek zachodzący pomiędzy pomiędzy poprzednikiem a
następnikiem (wyraża to, że prawdziwość poprzednika pociąga prawdziwość następnika). Zatem odpowiadające powyższej implikacji zdanie warunkowe:
• Jeżeli Kopernik miał syna, to Kopernik nie był ojcem
nie tylko, że nie jest prawdziwe, lecz uznamy je nawet za sprzeczne (gdyż tu prawdziwość poprzednika
pociąga fałszywość następnika).
Powyższe twierdzenie pokazuje, że ta zasadnicza różnica interpretacyjna znika, gdy mamy do czynienia ze zdaniami logicznie prawdziwymi (odp. tautologiami). Wówczas zarówno zdania warunkowe,
jak i implikacje materialne wyrażają wynikanie logiczne następnika z poprzednika (odp. niezawodność
schematu wnioskowania: poprzednik/następnik).
⋄
Mamy też następujące uogólnienie twierdzenia 2.1 (a przez to i uwagi 2.2) na dowolną skończoną liczbę przesłanek. Dowód poniższego twierdzenia będzie w zasadnie powtórzeniem dowodu twierdzenia 2.1.
Przeprowadzimy go jednak «dla wprawy», przy okazji pokazując istotę koniunkcji zdań.
M
a te
r ia
Twierdzenie 2.2. 1. Dla dowolnych schematów zdaniowych ϕ1 , . . . , ϕn i ψ poniższe trzy warunki są
równoważne:
(a) schemat wnioskowania ϕ1 , . . . , ϕn /ψ jest niezawodny,
(b) schemat zdaniowy ‘Jeżeli ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn , to ψ’ jest tautologią,
(c) schemat zdaniowy ‘(π1 ∧ · · · ∧ πn ) → κ’ jest tautologią.
2. Dla dowolnych zdań π1 , . . . , πn , κ poniższe trzy warunki są równoważne:
(a) π1 , . . . , πn |= κ,
(b) zdanie warunkowe ‘Jeżeli π1 ∧ · · · ∧ πn , to κ’ jest logicznie prawdziwe,
(c) implikacja materialna ‘(π1 ∧ · · · ∧ πn ) → κ’ jest logicznie prawdziwa.
Dowód. Ad 1. „Od (a) do (b)” Załóżmy, że schemat wnioskowania ϕ1 , . . . , ϕn /ψ jest niezawodny, czyli
że nie istnieje postawienie, przy którym z ϕ1 , . . . , ϕn otrzymamy zdania prawdziwe, a z ψ zdanie nieprawdziwe. Wtedy także nie istnieje postawienie, przy którym z koniunkcji ‘ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ’ otrzymamy
zdanie prawdziwe, a z ψ zdanie nieprawdziwe. Stąd przy każdym podstawieniu prawdziwość koniunkcji
‘ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ’ pociąga prawdziwość ψ. Stąd schemat zdaniowy ‘Jeżeli ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn , to ψ’ jest tautologią.
„Od (b) do (c)” Załóżmy, że schemat zdaniowy ‘Jeżeli ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn , to ψ’ jest tautologią, tj. przy
każdym podstawieniu prawdziwość koniunkcji ‘ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ’ pociąga prawdziwość ψ. Weźmy dowolne
podstawienie. Jeśli przy tym podstawieniu schemat ‘ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ’ da zdanie nieprawdziwe, to implikacja
materialna ‘(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ) → ψ’ da zdanie prawdziwe, gdyż implikacja materialna nie jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy ma prawdziwy poprzednik oraz nieprawdziwy następnik. Jeśli zaś przy tym
podstawieniu schemat ‘ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ’ da zdanie prawdziwe, to  zgodnie z przyjętym założeniem  pociąga to prawdziwość następnika; czyli implikacja będzie prawdziwa. Zatem przy każdym podstawieniu
z ‘(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ) → ψ’ otrzymamy zdanie prawdziwe, czyli jest to tautologia.
„Od (c) do (a)” Załóżmy, że schemat zdaniowy ‘(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ) → ψ’ jest tautologią, tj. przy każdym
podstawieniu otrzymamy z niego zdanie prawdziwe. Weźmy dowolne podstawienie. Jeśli przy tym podstawieniu schemat ‘ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ’ da zdanie prawdziwe, to  zgodnie z przyjętym założeniem  pociąga
to prawdziwość następnika, gdyż implikacja materialna ma być prawdziwa. A zatem nie istnieje posta-
121
wienie, przy którym z ‘ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn ’ otrzymamy zdanie prawdziwe, a z ψ nieprawdziwe. Stąd nie istnieje
postawienie, przy którym z ϕ1 , . . . , ϕn ’ otrzymamy zdania prawdziwe, a z ψ nieprawdziwe, czyli schemat
wnioskowania ϕ1 , . . . , ϕn /ψ jest niezawodny.
Ad 2. „Od (a) do (b)” Załóżmy, że π1 , . . . , πn |= κ, czyli że układ π1 , . . . , πn /κ podpada pod jakiś
niezawodny schemat wnioskowania s(π1 ), . . . s(πn )/s(κ). Wtedy, na mocy punktu 1, tautologią jest schemat
‘Jeżeli s(π1 ) ∧ · · · ∧ s(πn ), to s(κ)’. Zatem zdanie ‘Jeżeli π1 ∧ · · · ∧ πn , to κ’ jest logicznie prawdziwe, gdyż
podpada pod jakąś tautologię.
„Od (b) do (c)” Załóżmy, że zdanie ‘Jeżeli π1 ∧ · · · ∧ πn ’ jest logicznie prawdziwe, tj. podpada pod
jakąś tautologię ‘Jeżeli s(π1 )∧· · · ∧s(πn ), to s(κ)’. Wtedy, na mocy punktu 1, tautologią jest także schemat
‘(s(π1 ) ∧ · · · ∧ s(πn ) → s(κ)’. Zatem implikacja materialna ‘(π1 ∧ · · · ∧) → κ’ jest logicznie prawdziwa,
gdyż podpada pod jakąś tautologię.
„Od (c) do (a)” Załóżmy, że implikacja ‘(π1 ∧ · · · ∧) → κ’ jest logicznie prawdziwa, tj. podpada
pod jakąś tautologię ‘(s(π1 ) ∧ · · · ∧ s(πn ) → s(κ)’. Wtedy, na mocy punktu 1, niezawodny jest schemat
wnioskowania s(π1 ), . . . , s(πn )/s(κ). Zatem π1 , . . . , πn |= κ, gdyż układ π1 , . . . , πn /κ podpada pod jakiś
niezawodny schemat wnioskowania.
CND
2.1.2. Definicyjne równoważności i równości
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Na ostatniej stronie części 1 (s. 13) napisaliśmy, że „[w] funkcji performatywnej zaś interesują [logikę]
jedynie definicje, które z reguły są przekształcane na tzw. zdania równościowe albo równoważności. Np.
są używany zdania:
— Stryj to brat ojca.
— Ktoś jest stryjem kogoś wtedy i tylko wtedy, gdy ten ktoś jest bratem ojca tego kogoś.
Używając zaś zmiennych zamiast zaimków osobowych, to drugie sformułowanie zapiszemy jako:
— x jest stryjem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest bratem ojca y-a.
W pierwszym przypadku chcemy w tak prosty sposób wyrazić to, że we wszystkich kontekstach zwrot
‘brat ojca’ może być zastępowany przez słowo ‘stryj’ ” (s. 13).
W drugim przypadku korzystamy zaś z interpretacji zdań postaci ‘p wtedy i tylko wtedy, gdy q’. Mianowicie, zdania tego typu głoszą, że prawdziwość zdania p pociąga prawdziwość zdania q oraz odwrotnie.
I istotnie, to, że dana osoba jest stryjem drugiej pociąga to, że ta pierwsza jest bratem ojca tej drugiej,
skoro słowo ‘stryj’ znaczy ‘brat ojca’. Z tego samego powodu także to, że dana osoba jest stryjem drugiej
pociąga to, że ta pierwsza jest stryjem tej drugiem. Zatem podane zdanie równoważnościowe (obustronnie warunkowe) jest prawdziwe, gdyż jest tak, jak ono głosi. Co więcej, jest ono analitycznie prawdziwe,
gdyż jego prawdziwość wypływa z znaczenia słowa ‘stryj’ oraz ze znaczenia spójnika zdaniowego ‘wtedy
i tylko wtedy, gdy’.1
Zatem, aby nie odwoływać się do pojęcia znaczenia2 , będziemy stosować definicje w postaci odpowiednich zdań obustronnie warunkowych. Nazywać je będziemy definicyjnymi równoważnościami. Ogólnie zasada ich budowy jest prosta.
I tak, gdy nazwa generalna S ma znaczyć to samo, co deskrypcja pluralna D, to wprowadzamy następującą definicyjną równoważność:
Coś jest S -em wtw to coś jest D-em.
To zadnie jest jednak ogólne, pomimo tego, że zawiera zaimek ‘coś’. Zatem w kwantyfikatorowym zapisie
formalnym będzie miało następującą postać, gdyż równoważność jest niezależna od wyboru x-a:
∀x(x jest S -em wtw x jest D-em).
Przykładowo, to, że słowo ‘kawaler’ znaczy ‘mężczyzna, który nigdy nie był żonaty’ jest wyrażane
przez definicyjną równoważność (zdanie analitycznie prawdziwe):
Ktoś jest kawalerem wtw ten ktoś jest mężczyzną, który nigdy nie był żonaty.
A w zapisie formalnym:
∀x(x jest kawalerem wtw x jest mężczyzną, który nigdy nie był żonaty).
1
(3)
Nie jest tutaj istotne znaczenie zwrotu ‘brat ojca’. Ważne jest tylko to, aby słowo ‘stryj’ rozumieć jako: brat ojca. Istotne
jest także jednak znaczenie użytego spójnika zdaniowego ‘wtedy i tylko wtedy, gdy’. Przecież, gdybyśmy użyli np. spójnika ‘i’,
to całe zdanie mogłoby się przekształcić w zdanie fałszywe.
Dalej przyjmujemy, że ‘wtw’ jest skrótem dla spójnika ‘wtedy i tylko wtedy, gdy’. Podobnie w angielskojęzycznej literaturze
przedmiotu skrót ‘iff ’ jest używany dla ‘if and only if ’ (‘jeżeli i tylko jeżeli’; odpowiednik polskiego ‘wtedy i tylko wtedy, gdy’).
2
Co pozwala nam unikać zajmowania się teorią znaczenia, a w tym uniknąć pytania: Co znaczy słowo ‘znaczy’?
122
Podobnie, jeśli dwuargumentowe relacyjne pojęcie R jest ma znaczyć to samo, co relacyjna deskrypcja
pluralna D, to wprowadzamy następującą definicyjną równoważność:
Coś jest R-em czegoś wtw to coś jest D-em tego czegoś.
∀x∀y(x jest R-em y-a wtw x jest D-em y-a).
Korzystając z użytego już przykładu, to, że słowo ‘stryj’ znaczy ‘brat ojca’ jest wyrażane przez definicyjną równoważność (zdanie analitycznie prawdziwe):
Ktoś jest stryjem kogoś wtw ten ktoś jest bratem ojca tego kogoś.
∀x∀y(x jest stryjem x-a wtw x jest bratem ojca x-a).
(4)
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Analogicznie będziemy postępować dla pojęć relacyjnych, które mają więcej niż dwa argumenty.
Przy ogólnym podejściu także widzimy, że wszystkie definicyjne równoważności są zdaniami analogicznie prawdziwymi. Pokazujemy to identycznie, jak dla definicyjnej równoważności związanej ze
słowem ‘stryj’. Istotnie, gdy nazwa generalna S ma znaczyć to samo co pluralna deskrypcja D, to to, że x
jest S -em pociąga to, że x jest D-em oraz odwrotnie. Zatem podane zdanie równoważnościowe (obustronnie warunkowe) jest prawdziwe, gdyż jest tak, jak ono głosi. Co więcej, jest ono analitycznie prawdziwe,
gdyż jego prawdziwość wypływa z znaczenia nazwy S oraz ze znaczenia spójnika zdaniowego ‘wtedy i
tylko wtedy, gdy’. Analogicznie będzie dla pojęć relacyjnych.
Pozostają do omówienia tzw. definicyjne równości. Nie będzie nam tu chodzić takie zdania, jak poprzednio wymienione zdanie ‘Stryj to brat ojca’. Wprowadzanie takich definicji jest po prostu zbędne,
gdyż nie dają one niczego nowego. Wystarczą definicyjne równoważności.
Równości definicyjne związane są z «prawdziwymi identycznościami», czyli takimi, które budowane
są za pomocą symbolu identyczności ‘=’. Związane one będą ze stosowaniem skrótów dla skutecznych
deskrypcji singularnych, czyli takich, które oznaczają dokładnie jeden obiekt (por. s. 52 w części 4 oraz
s. 55–58 w części 5). W taki sposób wprowadzamy nowe nazwy indywidualne.
I tak, gdy nazwa indywidualna a ma być skrótem skuteczniej deskrypcji singularnej d, to wprowadzamy następującą definicyjną równość (identyczność):
a≔d
Wprowadzamy «identyczność z dwukropkiem» po to, aby aby zaznaczyć, że tę identyczność mamy po
prostu «z definicji» oraz że to a jest zdefiniowane przez d, a nie odwrotnie. Poza tym jest to «normalna
identyczność», czyli mówiąca, że oba wyrażenia a i d mają wskazywać na ten sam obiekt, czyli że wprowadzona nazwa a ma oznaczać ten sam obiekt, co singularna deskrypcja d. Widzimy więc, że podaną
równość (identyczność) musimy uznać za zdanie analitycznie prawdziwe.
Mamy następujące przykłady (występujące już w części 4).
0 ≔ najmniejsza liczba naturalna,
Księżyc ≔ (jedyny) naturalny satelita Ziemi.
Moglibyśmy użyć również utworzyć orzeczenie imienne ‘jest d-em’ i zamiast równości definicyjnej użyć
dwóch poniższych zdań (w drugim użyć identyczności):
a jest d-em,
∀x(jeśli x jest d-em, to x = a).
(†)
Oba zdania razem głoszą, że a jest jedynym d-em (drugie: cokolwiek jest d-em, jest identyczne z a).
Przykładowo mamy:
Księżyc jest naturalnym satelitą Ziemi,
∀x(jeśli x jest naturalnym satelitą Ziemi, to x = a).
Ten drugi sposób związany jest z ogólnym podejściem, które najpierw przedstawimy na przykładzie.
Zamiast deskrypcji singularnej d rozważamy formułę ‘x jest d-em’, która ma spełniać dwa warunki mówiące, że istnieje dokładnie jeden d:
∃x x jest d-em,
∀x∀y(jeśli x jest d-em ∧ y jest d-em, to x = y).
123
To zaś pozwala nam wprowadzić definicyjną równość postaci:
a ≔ jedyny x taki, że x jest d-em.
A to pozwala na używanie zdań postaci (†).
Zamiast formuły postaci ‘x jest d-em’ można wziąć dowolną formułę F x, która ma zmienną wolną
‘x’ i spełnia warunki:
∃x F x,
∀x∀y(jeśli F x ∧ Fy, to x = y).
To zaś pozwala nam wprowadzić definicyjną równość postaci:
a ≔ jedyny x taki, że F x.
oraz używać zdań
Fa,
∀x(jeśli F x, to x = a).
(†)
Możemy to jeszcze uogólnić na symbole wyznaczające funkcje (matematyczne), gdy mamy do czynienia z formułą Fzx o dwóch zmiennych spełniającą warunki:
∀z∃x Fzx,
,2
01
6/2
01
7
∀z∀x∀y(jeśli Fzx ∧ Fzy, to x = y).
To zaś pozwala nam wprowadzić dla dowolnego z definicyjną równość postaci:
yk
ła d
uL
PK
f (z) ≔ jedyny x taki, że Fzx.
oraz używać zdań
Fa,
(†)
ły
do
w
∀x(jeśli F x, to x = a).
2.1.3. Zdania wynikające logicznie z definicyjne równoważności lub równości
M
a te
r ia
Trzecim rodzajem zadań analitycznie prawdziwych mają być te i tylko te zdania, które wynikają logicznie z jakich zbiorów złożonych z samych definicyjnych równoważności i/lub równości.
Istotnie, zdania tego typu możemy zaliczyć do zdań analitycznie prawdziwych, gdyż  po pierwsze 
są prawdziwe, gdyż logicznie wynikają ze zdań prawdziwych. Po drugie zaś o prawdziwości takich zadań przekonaliśmy się dzięki znaczeniom wyrażeń występujących w przesłankach oraz niezawodności
pewnego schematu wnioskowania, a ta związana jest wyłącznie ze znaczeniem występujących w tym
schemacie stałych logicznych, które też są wyrażeniami językowymi.
W analogiczny sposób uzasadnimy następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.3. Jeśli ze zbioru zdań Π wynika logicznie zdanie κ oraz wszystkie zdania w zbiorze Π
są analitycznie prawdziwe, to zdanie κ także jest analitycznie prawdziwe.
Innymi słowy, ze zbiorów zdań analitycznie prawdziwych logicznie wynikają tylko zdania analitycznie prawdziwe.
Dowód. Załóżmy, że Π |= κ oraz że wszystkie zdania w zbiorze Π są analitycznie prawdziwe. Zatem
zdanie κ jest także prawdziwe. Pozostaje zatem do pokazania, że κ jest analitycznie prawdziwe.
Skoro Π |= κ, więc układowi Π/κ odpowiada pewien logicznie poprawny schemat wnioskowania
s(Π) |= s(κ), gdzie s(Π) ma być zbiorem złożonym ze schematów wszystkich przesłanek należących do
Π, a s(κ) ma być schematem wniosku κ. Zdanie κ jest więc analitycznie prawdziwe, gdyż o jego prawdziwości przekonaliśmy się dzięki analitycznej prawdziwości zdań z grupy Π (czyli znaczeniom wyrażeń
występujących w zdaniach w grupie Π) oraz niezawodności podanego schematu, a ta związana jest ze
znaczeniem występujących w tym schemacie stałych logicznych, które też są wyrażeniami językowymi.
Analogiczny dowód można przeprowadzić przyjmując, że każde zdanie analitycznie prawdziwe albo
jest jedną z definicyjnych równoważności lub równości, albo logicznie z nich wynika. Mianowicie, każdą
z analitycznie prawdziwych przesłanek trzeba powiązać z odpowiednim niezawodnym schematem wnioskowania, który wyraża jej wynikanie z odpowiednich definicyjnych równoważności lub równości. Zatem
stosując odpowiednie rozumowania logicznie poprawne końcowy wniosek wyprowadzimy z samych tych
definicyjnych równoważności lub równości.
CND
124
Pokażemy teraz, że oba zdania (1) i (2) wynikają logiczne z definicyjnej równoważności związanej z
użytym znaczeniem słowa ‘kawaler’, czyli że:
(3) |= (1) oraz (3) |= (2).
Zatem zdania (1) i (2), jako wynikające logicznie z definicyjnej równoważności wolno nam uznać za
analitycznie prawdziwe. Oba wynikania wykażemy poprzez dedukcję przeprowadzoną na odpowiednich
schematach zdaniowych.
Dla (3) |= (1) zastosujemy następujący niezawodny schemat wnioskowania:
∀x(x jest S -em wtw x jest M-em, który nigdy nie był P-em )
Żaden S nie jest P-em
x
(s3)
Dedukcyjnie wykażemy jego niezawodność. Istotnie, załóżmy, że przesłanka jest prawdziwa. Skoro wniosek jest ogólny, więc zastosujemy regułę uogólniania. W przypadku, gdy nie ma żadnego S -a, to wniosek
też jest prawdziwy. Załóżmy więc, że istnieje co najmniej jeden S i wybierzmy dowolnego z nich oznaczając go przez ‘u’. Zatem: u jest S -em. Mamy pokazać, że u nie jest P-em.
Skoro nasza przesłanka jest prawdziwa dla dowolnego x-a, więc jest też prawdziwa dla u. Mamy więc
wniosek pośredni:
u jest S -em wtw u jest M-em, który nigdy nie był P-em
Stosujemy więc poprawne rozumowanie:
podpadające pod niezawodny schemat:
,2
01
6/2
01
7
u jest S -em wtw u jest M-em, który nigdy nie był P-em
u jest S -em
u jest M-em, który nigdy nie był P-em
x
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
p wtw q
p
x
q
Następnie stosujemy następujące rozumowanie oparte na poniższym schemacie:
(s5)
x
a te
r ia
a jest M-em, który nigdy nie był P-em
a nie jest P-em
(s4)
M
przedstawiające wynikanie logiczne związane ze stałą logiczną dotyczącą czasu. Mamy więc: u nie jest
P-em. Skoro u był dowolnie wybranym S -em, więc to uogólniamy na wszystkie S -y otrzymując wniosek:
żaden S nie jest P-em.
Dla (3) |= (2) użyjemy następującego niezawodnego schematu wnioskowania:
∀x(x jest S -em wtw x jest M-em, który nigdy nie był P-em )
Jeżeli a jest S -em, to a nie jest P-em
x
(s6)
Dedukcyjnie wykażemy jego niezawodność. Istotnie, załóżmy, że przesłanka jest prawdziwa. Jak już kilkakrotnie wspominaliśmy, dla wyprowadzenia zdań warunkowych stosujemy następującą regułę konstrukcji dedukcji: przyjmujemy dodatkowe założenie, że zachodzi poprzednik. Korzystając z niego i przesłanek
wyjściowych wyprowadzamy następnik zdania warunkowego. Zatem w tym przypadku przyjmijmy dodatkowe założenie: a jest S -em. Mamy pokazać, że a nie jest P-em. Robimy to jednak tak samo, jak
poprzednio dla wniosku ‘u nie jest P-em’.3 Zatem wyprowadziliśmy zdanie warunkowe, skoro z jego
poprzednika doszliśmy do jego następnika.
Analogiczni można wykazać, że z (3) logicznie wynika następujące uogólnienie zdania (2):
Jeżeli ktoś jest kawalerem, to nie jest żonaty.
To ogólne zdanie warunkowe ma następującą postać kwantyfikatorową:
∀x(jeżeli x jest kawalerem, to ¬ x jest żonaty).
(5)
Pokażemy, że (3) |= (5) opierając się na następującym niezawodnym schemacie wnioskowania:
∀x(x jest S -em wtw x jest M-em, który nigdy nie był P-em)
∀x(jeżeli x jest S -em, to x nie jest P-em)
3
x
(s7)
Poprzednio chodziło nam o otrzymanie wniosku, który należało uogólnić. Teraz zaś chodzi nam o wyprowadzenie następnika zdania warunkowego.
125
Po prostu, przeprowadzimy podobną analizę jak dla (s6), biorąc dowolny obiekt u w miejsce a. Następnie
zastosujemy regułę uogólniania. Zatem zakładamy, ze prawdziwa jest przesłanka. wybieramy dowolny
obiekt i oznaczamy go przez ‘u’. Mamy pokazać, że jeżeli u jest S -em, to u nie jest P-em. Zatem przyjmijmy dodatkowe założenie: u jest S -em. Mamy pokazać, że u nie jest P-em. Robimy to jednak tak samo,
jak dla (s6). Zatem wyprowadzimy zdanie warunkowe ‘jeżeli u jest S -em, to u nie jest P-em’, gdyż z
jego poprzednika doszliśmy do jego następnika. Skoro u był dowolnym obiektem, więc to uogólniamy do
postaci: ∀x(jeżeli x jest S -em, to x nie jest P-em).
Skoro (3) |= (5), więc zdanie (5) także jest analitycznie prawdziwe i wolno je dodać jako przesłankę:
Jeżeli ktoś jest kawalerem, to nie jest żonaty
Jan jest kawalerem
x
,2
01
6/2
01
7
∀x(jeżeli x jest S -em, to ¬ x jest P-em)
a jest S -em
x
(s8)
¬ a jest P-em
Zatem załóżmy, że prawdziwe są przesłanki. Skoro pierwsza jest prawdziwa dla dowolnego x-a, więc
także jest prawdziwe dla a, czyli mamy: jeśli a jest S -em to ¬ a jest P-em. Przeprowadzamy więc wnioskowanie oparte na schemacie (s2). Otrzymujemy końcowy wniosek.
Jako dodatkową przesłankę wolno też przyjąć szczególny przypadek definicyjnej równoważności (3):
Jan jest kawalerem wtw Jan jest mężczyzną, który nigdy nie był żonaty.
(6)
Jest to zdanie analitycznie prawdziwe, skoro (3) |= (6), a w zapisie schematycznym:
yk
ła d
uL
PK
a jest S -em wtw a jest M-em, który nigdy nie był P-em)
(s9)
x
x
M
a te
r ia
ły
do
w
Mamy wynikanie logiczne:
Jan jest kawalerem wtw Jan jest mężczyzną, który nigdy nie był żonaty
Jan jest kawalerem
które oparte jest na niezawodnym schemacie wnioskowania:
a jest S -em wtw a jest M-em, który nigdy nie był P-em
a jest S -em
x
(s10)
a nie jest P-em
Wykazujemy tę niezawodność stosując wnioskowania oparte na schematach (s4) i (s5) (por. s. 124).
Oczywiści, jako dodatkową przesłankę wolno wziąć definicyjną równoważność (3):
∀x(x jest kawalerem wtw x jest mężczyzną, który nigdy nie był żonaty)
Jan jest kawalerem
x
a jest S -em
x
¬ a jest P-em
Od przesłanek do wniosku możemy dość na kilka sposobów. Pierwszy: najpierw stosujemy (s3), a potem (s1). Drugi: najpierw stosujemy (s6), a następnie wnioskowanie o schemacie (s2). Trzeci: najpierw
stosujemy (s7), a potem (s8). Czwarty: najpierw stosujemy (s9), a potem (s10).
Określenie wynikania analitycznego pozwala nam brać jako dodatkowe przesłanki dowolne zdania
analitycznie prawdziwe, a nie tylko definicyjne równoważności. Jednakże powinniśmy umieć wykazać
to, że przyjęte przesłanki istotnie są analitycznie prawdziwe. Szczególnie jest to istotne, gdy tymi dodatkowymi przesłankami są zdania warunkowe. Mianowicie, stosowanie takich dodatkowych przesłanek
jest redundantne, gdyż mamy następujący związek wyznaczający jednoznaczność pomiędzy zachodzeniem wynikania analitycznego a analityczną prawdziwością zdania warunkowego. Związek ten wyraża
twierdzenie analogiczne do twierdzenia 2.2(1), w którym jedynie zmieniamy słowo ‘logiczne’ (odp. ‘logicznie’) na ‘analityczne’ (odp. ‘analitycznie’):
126
Twierdzenie 2.4. Dla dowolnych zdań π1 , . . . , πn , κ poniższe trzy warunki są równoważne:
(a) z π1 , . . . , πn wynika analitycznie κ,
(b) zdanie warunkowe ‘Jeżeli π1 ∧ · · · ∧ πn , to κ’ jest analitycznie prawdziwe,
(c) implikacja materialna ‘(π1 ∧ · · · ∧ πn ) → κ’ jest analitycznie prawdziwa.
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Dowód. Na początek zauważmy, że jeśli w punkcie (a) mamy do czynienia z wynikaniem logicznym
(każde takie wynikanie jest też analityczne), to  na mocy twierdzenia 2.2  również w punktach (b) i
(c) będzie mowa o logicznej prawdziwości odpowiednich zdań. Na mocy tego samego twierdzenia, jeśli
w punkcie (b) mamy do czynienia z logiczną prawdziwością zdania (każde zdanie logicznie prawdziwe
jest analitycznie prawdziwe), to również w punkcie (a) jest mowa o wynikaniu logicznym, a w punkcie (c)
jest mowa o logicznej prawdziwości. Podobnie jest, gdy takie założenie uczynimy o punkcie (c). Zatem
możemy założyć, że w punkcie (a) zachodzi pozalogiczne wynikanie analityczne, a w punktach (b) i (c)
pozalogiczna prawdziwość analityczna.
„Od (a) do (b)” Załóżmy, że z π1 , . . . , πn wynika analitycznie κ, czyli że istnieje zbiór Ω zdań analitycznie prawdziwych takich, że ze zbioru zdań Ω∪{π1 , . . . , πn } wynika logicznie zdanie κ. Mamy więc również
s(Ω) ∪ {s(π1 ), . . . , s(πn )} |= s(κ), gdzie s(Ω) ma być zbiorem złożonym ze schematów wszystkich dodatkowych przesłanek należących do Ω, s(π1 ), s(πn ) mają być schematami wyjściowych przesłanek π1 , . . . , πn ,
a s(κ) ma być schematem wniosku κ. Wystarczy zatem pokazać, że s(Ω) |= Jeżeli s(π1 )∧· · ·∧s(πn ), to s(κ).
Istotnie, weźmy dowolne podstawienie, przy którym prawdziwe są wszystkie przesłanki z s(Ω). Skoro
wniosek jest zdaniem warunkowych, więc stosujemy regułę dedukcji polegającą na tym, że korzystamy z
dodatkowego założenia, że przy wybranym podstawieniu prawdziwy jest poprzednik dowodzonego zdania warunkowego. Zatem prawdziwa ma być koniunkcja ‘s(π1 )∧· · ·∧s(πn )’. A stąd prawdziwe są wszystkie
jej składniki s(π1 ), . . . , s(πn )’. Stosując więc wyjściowy schemat otrzymujemy prawdziwość następnika
s(κ). Zatem należy uznać, że prawdziwe jest zdanie warunkowe ‘Jeżeli s(π1 ) ∧ · · · ∧ s(πn ), to s(κ)’.
Skoro układ podpada pod jakiś niezawodny schemat wnioskowania, więc Ω |= Jeżeli π1 ∧· · ·∧πn , to κ.
Na mocy twierdzenia 2.3 otrzymujemy zaś, że zdanie warunkowe ‘Jeżeli π1 ∧· · ·∧πn , to κ’ jest analitycznie
prawdziwe, skoro wynika logicznie ze zbioru Ω zdań analitycznie prawdziwych.
„Od (b) do (c)” Ze zdania warunkowego ‘Jeżeli π1 ∧ · · · ∧ πn , to κ’ wynikanie logiczne implikacja
materialna ‘(π1 ∧ · · · ∧ πn ) → κ’, gdyż mamy następujący niezawodny schemat:
Jeżeli p1 ∧ · · · ∧ pn , to q
(p1 ∧ · · · ∧ pn ) → q
x
Załóżmy, że przesłanka jest prawdziwa. Wtedy jeśli koniunkcja ‘p1 ∧ · · · ∧ pn ’ nie jest prawdziwa, to
implikacja materialna jest prawdziwa. Jeśli zaś koniunkcja ta jest prawdziwa, to z prawdziwości przesłanki
otrzymujemy prawdziwość q.
„Od (c) do (a)” Gdy implikacja materialna ‘(π1 ∧· · ·∧πn ) → κ jest analitycznie prawdziwa, to możemy
jej użyć jako dodatkowej przesłanki, otrzymując następujące wynikanie logiczne:
(π1 ∧ · · · ∧ πn ) → κ
π1
..
.
πn
κ
x
podpadające pod niezawodny schemat:
(p1 ∧ · · · ∧ pn ) → q
p1
..
.
pn
q
x
Istotnie, jeśli wszystkie przesłanki są prawdziwe, to prawdziwa jest też koniunkcja p1 ∧ · · · ∧ pn . Skoro
CND
jednak pierwsza przesłanka jest prawdziwa, więc prawdziwe jest też q.4
4
Oczywiście, można uzyskać podobne przejście „od (b) do (a)” biorąc zamiast analitycznie prawdziwej implikacji materialnej analitycznie prawdziwe zdanie warunkowe, gdyż otrzymamy analogiczny niezawodny schemat wnioskowania.
127
Oczywiście, z twierdzenia 2.4 otrzymujemy też przypadek dla n = 1:
Wniosek 2.1. Dla dowolnych zdań π1 , . . . , πn , κ poniższe trzy warunki są równoważne:
(a) z π wynika analitycznie κ,
(b) zdanie warunkowe ‘Jeżeli π, to κ’ jest analitycznie prawdziwe,
(c) implikacja materialna ‘π → κ’ jest analitycznie prawdziwa.
2.2. Przykłady wynikań analitycznych
Branie dodatkowych przesłanek może być jednak niepotrzebnie uciążliwe. Możemy nie stosować się
dosłownie do określenia wynikania analitycznego. Zamiast tego możemy  według potrzeb  wprost zastosować zastępowanie definicyjne w przesłankach i/lub we wniosku. Następie po takiej zamianie pokazujemy, że zachodzi wynikanie logiczne. Zatem, w gruncie rzeczy, w ten sposób wymieniamy przesłanki
i/lub wniosek, a nie dodajemy dodatkowe analitycznie prawdziwe przesłanki.
Przykładowo, skoro przyjmujemy, że słowo ‘kawaler’ ma znaczyć to samo, co zwrot ‘mężczyzna,
który nigdy nie był żonaty’, więc wolno nam zastąpić frazę orzeczeniową ‘jest kawalerem’ frazą ‘jest
mężczyzną, który nigdy nie był żonaty’. Po takiej zamianie zachodzi już wynikanie logiczne:
Jan jest mężczyzną, który nigdy nie był żonaty
x
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
gdyż układ podpada pod niezawodny schemat wnioskowania (s5).
Różne podejścia do wyjaśnienia zachodzenia wynikania analitycznego, przedstawimy na kolejnych
przykładach. Pierwszy z nich dotyczy wynikania entymematycznego, które można zaliczyć do wynikania
analitycznego:
Jan ma syna
wynika analityczne
Jan jest ojcem
Tutaj słowo ‘ojciec’ znaczy ‘mężczyzna, który ma córkę lub syna’, gdzie spójnik ‘lub’ rozumiemy w
sposób niewykluczający.5 Ponadto, uzus językowy mówi, że imię ‘Jan’ stosuje się do mężczyzn (inaczej,
nie uznalibyśmy, że zachodzi wynikanie).
Nie jest to wynikanie logiczne, gdy zawodny jest jego najbardziej szczegółowy schemat:
a ma S -a
a jest P-em
6x
Rozpatrzymy różne sposoby analizy pokazujące, że mamy doczynienia z pozalogicznym wynikaniem
analitycznym. Przy pierwszym podejściu dodajemy dwie przesłanki entymematyczne. Pierwsza jest zdaniem analitycznie prawdziwym ‘Każdy mężczyzna, który ma syna, jest ojcem’. Drugą przesłankę daje
uzus językowy związany ze stosowaniem imienia ‘Jan’. Jest nią zdanie ‘Jan jest mężczyzną’. Otrzymujemy następujące wynikanie logiczne:
Każdy mężczyzna, który ma syna, jest ojcem
Jan jest mężczyzną
Jan ma syna
Jan jest ojcem
x
gdyż podpada ono pod następujący logicznie poprawny schemat wnioskowania:
Każdy M, który ma S -a, jest P-em
a jest M-em
a ma S -a
a jest P-em
x
Co więcej, można ten schemat uprościć. Po pierwsze, połączymy drugą i trzecią przesłankę:
Każdy M, który ma S -a, jest P-em
a jest M-em, który ma S -a
a jest P-em
x
5
Pod słowem ‘ojciec’ mogą kryć się inne pojęcia. Np. można mówić o ojcu, jako zakonniku mającym święcenia kapłański.
Można użyć też słowo ‘ojciec’ w sensie relacyjnym, tak jak w zdaniu ‘Jan jest ojcem Basi’. Umówmy się więc, że w tym
przypadku interpretujemy słowo ‘ojciec’ wedle poniżej podanej tu definicji. Można też traktować go jako skrót zwrotu ‘ojciec
kogoś’, gdzie słowo ‘ojciec’ jest już użyte w sposób relacyjny.
128
Po drugie, zastępujemy frazę ‘M, który ma S -a’ przez ‘Q’. Otrzymujemy prosty schemat wnioskowania:
Każdy Q jest P-em
a jest Q-em
x
(s11)
a jest P-em
Możemy także dla wyjaśnienia zachodzenia analizowanego wynikania analitycznego dodać przesłankę będącą definicyjną równoważnością związaną z pojęciem bycia ojcem:
∀x(x jest ojcem wtw x jest mężczyzną, który ma córkę lub syna).
(7)
Stąd otrzymujemy:
Jan jest ojcem wtw Jan jest mężczyzną, który ma córkę lub syna.
,2
01
6/2
01
7
Biorąc powyższe zdanie jako przesłankę i dodając przesłankę związaną z uzusem językowym otrzymujemy następujące wynikanie logiczne:
Jan jest ojcem wtw Jan jest mężczyzną, który ma córkę lub syna
Jan ma syna
x
Jan jest ojcem
Podpada ono pod następujący logicznie poprawny schemat wnioskowania:
p wtw a jest M-em, który ma S -a lub P-a
a jest M-em
a ma S -a
x
p
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Teraz korzystamy z niezawodności następującego schematu wnioskowania:6
a jest M-em
a ma S -a
x
(s12)
a jest M-em, który ma P-a lub S -a
Poprawność powyższego schematu związana jest oczywiście z sensem stałej logicznej ‘lub’. Następnie
korzystamy z niezawodności schematu:
p wtw a jest M-em
p wtw q
q
a jest M-em
x
x
p
p
Jednak najbardziej wygodne będzie dokonanie we wniosku zastępowania definicyjnego oraz dodanie
jedynie przesłanki związanej z uzusem językowym dotyczącym użycia imienia ‘Jan’. Otrzymamy:
Jan ma syna
x
Jan jest mężczyzną, który ma córkę lub syna
Jest to wynikanie logiczne, gdyż podpada pod niezawodny schemat wnioskowania (s12).
Ponadto, gdy połączymy przesłanki i skorzystamy z własności stałej ‘lub’, to możemy przemienić ją
ze spójnika łączącego nazwy generalne w spójnik łączący zdania, otrzymując:
Jan jest mężczyzną, który ma syna
x
Jan jest mężczyzną, który ma córkę ∨ Jan jest mężczyzną, który ma syna
Mamy wynikanie logiczne, gdyż podpada ono pod bardzo niezawodny schemat:
q
x
p∨q
gdzie litery ‘p’ i ‘q’ reprezentują już zdania logiczne. Zastosowaliśmy zamiany: p / Jan jest mężczyzną,
który ma córkę; q / Jan jest mężczyzną, który ma syna. Ostatnio podany schemat wnioskowania głosi, że
jeśli zdanie q jest prawdziwe, to prawdziwa jest też alternatywa niewykluczająca ‘p ∨ q’.
Na koniec rozważymy przykłady związane teorią mnogości, czyli z teorią zbiorów dystrybutywnych.
Mamy następujące, zapisane symbolicznie, wynikanie analityczne, w którym A i B to dowolne zbiory
dystrybutywne, a a to dowolny obiekt:7
6
Stosując ten schemat wnioskowania oraz regułę uogólniania można wykazać, że z definicyjnej równoważności (7) wynika
logicznie poprzednio użyte zdanie analitycznie prawdziwe ‘Każdy mężczyzna, który ma syna, jest ojcem’.
7
Podobne zagadnienie omawialiśmy już w uwadze 3 w części 1 wykładu.
129
A⊆B
a∈A
a∈B
wynikanie analityczne
W przekładzie na język naturalny otrzymujemy:
Zbiór A jest zawarty w zbiorze B
a jest elementem zbioru A
a jest elementem zbioru B
Jednakże dla dowolnych zbiorów X i Y, stwierdzenie:
zbiór X jest zawarty w zbiorze Y
znaczy:
Każdy element zbioru X jest elementem zbioru Y.
Na tej podstawie, mamy następującą definicyjną równoważność:
Dla dowolnego zbioru X, dla dowolnego zbioru Y:
zbiór X jest zawarty w zbiorze Y wtw każdy element zbioru X jest elementem zbioru Y.
,2
01
6/2
01
7
Wolno więc dodać powyższą definicyjną równoważność jako dodatkową przesłankę. Skoro jednak zmienne ‘X’ i ‘Y’ dotyczą dowolnych zbiorów dystrybutywnych, więc wolno tę definicyjną równoważność użyć
do zbiorów A i B. W ten sposób dostajemy zdanie analitycznie prawdziwe. I je właśnie dodamy jako
przesłankę otrzymując wynikanie logiczne:
p
P-em
S
x
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
z
}|
{
z
}|
{
z
}|
{
Zbiór A jest zawarty w zbiorze B wtw każdy element zbioru A jest elementem zbioru B
a jest elementem zbioru A
a jest elementem zbioru B
gdyż podpada ono pod następujący schemat niezawodny z trzema przesłankami:
M
a te
r ia
p wtedy i tylko wtedy, gdy każdy S jest P-em
p
a jest S -em
a jest P-em
x
Załóżmy, że wszystkie trzy przesłanki są prawdziwe. Teraz korzystamy z niezawodnego schematu:
p wtw q
p
q
p wtw każdy S jest P-em
p
Każdy S jest P-em
x
x
(s4)
Zatem otrzymujemy, że każdy S jest P-em. Teraz korzystamy więc z niezawodności schematu:
Każdy S jest P-em
a jest S -em
a jest P-em
(s11)
x
otrzymując wniosek: a jest P-em.
Jeszcze raz widzimy, że bezpośrednie stosowanie równoważnościowej definicji jest dość uciążliwe.
Dlatego prościej jest zastosować metodę polegającą na definicyjnym zastępowaniu odpowiednich fraz.
Zastąpmy więc zdanie ‘Zbiór A zawiera się w zbiorze B’ jego definicyjnym równoważnikiem ‘Każdy
element zbioru A jest elementem zbioru B’. Otrzymamy wynikanie logiczne:
Każdy |
element{z
zbioru }
A jest elementem
B
|
{zzbioru }
S
a jest |
element{z
zbioru }
A
P-em
S -em
a elementem
B
|
{zzbioru }
P-em
gdyż podpada ono pod niezawodny schemat wnioskowania (s11).
x
130
Jeszcze raz zatem pokazaliśmy, że logiczną poprawność ostatnio użytego schematu wnioskowania
(s11) nie da się wykazać na bazie teorii mnogości. Jest wręcz odwrotnie, to wynikanie analityczne:
A⊆B
a∈A
a∈B
wynika analityczne
wyjaśnimy dopiero odwołując się do schematu (s11). To teoria zbiorów oparta jest na logice, a nie logika
na tej teorii (por. uwagę 4.1 część 6).
Podobnymi sposobami można wyjaśnić inne wynikanie związane ze zbiorami dystrybutywnymi. Zacznijmy od wynikania, które symbolicznie zapiszemy w następujący sposób (por. uwagę 2.1 w części 6):
A⊆B
B⊆C
A⊆C
wynika analityczne
a w przekładzie na język naturalny otrzymamy:
Zbiór B jest zawarty w zbiorze C
Zbiór A jest zawarty w zbiorze C
wynika analityczne
,2
01
6/2
01
7
Po zastosowaniu ostatnio podanej definicyjnej równoważności otrzymujemy następujące zdania analitycznie prawdziwe:
yk
ła d
uL
PK
Zbiór A jest zawarty w zbiorze B wtw każdy element zbioru A jest elementem zbioru B.
Zbiór B jest zawarty w zbiorze C wtw każdy element zbioru B jest elementem zbioru C.
Zbiór A jest zawarty w zbiorze C wtw każdy element zbioru A jest elementem zbioru C.
Dodajemy je jako przesłanki, otrzymując następujące wynikanie logiczne:
p
M-em
S
M
a te
r ia
ły
do
w
z
}|
{
z
}|
{
z
}|
{
Zbiór A jest zawarty w zbiorze B wtw każdy element zbioru A jest elementem zbioru B
q
P-em
M
z
}|
{
z
}|
{
z
}|
{
Zbiór B jest zawarty w zbiorze C wtw każdy element zbioru B jest elementem zbioru C
r
S
P-em
z
}|
{
z
}|
{
z
}|
{
Zbiór A jest zawarty w zbiorze C wtw każdy element zbioru A jest elementem zbioru C
p
z
}|
{
q
z
}|
{
Zbiór B jest zawarty w zbiorze C
x
r
z
}|
{
Zbiór A jest zawarty w zbiorze C
gdyż ma ono następujący niezawodny schemat z pięcioma przesłankami:
p wtedy i tylko wtedy, gdy każdy S jest M-em
q wtedy i tylko wtedy, gdy każdy M jest P-em
r wtedy i tylko wtedy, gdy każdy S jest P-em
p
q
r
x
Załóżmy, że wszystkie przesłanki są prawdziwe. Najpierw korzystamy z wynikania logicznego:
p wtw p′
p
p′
x
p wtw każdy S jest M-em
p
Każdy S jest M-em
x
(s4)
q wtw każdy M jest P-em
q wtw q′
q
q
x
x
(s4)
′
q
Każdy M jest P-em
Zatem otrzymujemy, że każdy S jest M-em oraz każdy M jest P-em. Zatem korzystamy z wynikania:
131
Każdy S jest M-em
Każdy M jest P-em
Każdy S jest P-em
(sB)
x
Zatem mamy: każdy S jest P-em. Na koniec, korzystamy z wynikania logicznego:
r wtw każdy S jest P-em
r wtw r′
′
Każdy S jest P-em
r
x
x
r
r
Zatem otrzymujemy wniosek r, który zastępował zdanie: zbiór A jest zawarty w zbiorze C.
Oczywiście, ponownie dużo prościej jest od razu zastosować zastępowanie definicyjne w przesłankach
i we wniosku. Po takim zastąpieniu od razu otrzymamy wynikania logiczne:
M-em
S
z
}|
{
z
}|
{
Każdy element zbioru A jest elementem zbioru B
P-em
M
z
}|
{
z
}|
{
Każdy element zbioru B jest elementem zbioru C
Każdy |
element{z
zbioru }
A jest elementem
B
|
{zzbioru }
S
x
(sB)
P-em
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
gdyż podpada ono pod niezawodny schemat wnioskowania (sB).
W powyższy sposób możemy łatwo poradzić sobie z różnymi analitycznymi wynikaniami pochodzącymi z tzw. algebry zbiorów (dystrybutywnych). Występują tam zdania postaci:
1. A ⊆ B; zbiór A jest zawarty w zbiorze B; czyli: Każdy element zbioru A jest elementem zbioru B.
2. A * B; zbiór A nie jest zawarty w zbiorze B; czyli: Nie każdy element zbioru A jest elementem
zbioru B, tj.: Jakiś element zbioru A nie jest elementem zbioru B.
3. A ( B; zbiór A jest właściwie zawarty w zbiorze B; czyli: Każdy element zbioru A jest elementem
zbioru B, lecz nie odwrotnie; czyli: Każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, lecz jakiś
element zbioru B nie jest elementem zbioru A.
4. A = ∅; zbiór A jest pusty; czyli: Nie istnieje żaden element zbioru A.
5. A , ∅; zbiór A nie jest pusty; czyli: Istnieje co najmniej jeden element zbioru A.
6. A ∩ B = ∅; zbiory A jest rozłączny ze zbiorem B; czyli: Żaden element zbioru A nie jest elementem
zbioru B.
7. A ∩ B , ∅; zbiory A nie jest rozłączny ze zbiorem B; czyli: Jakiś element zbioru A jest elementem
zbioru B.
Dokonując w rozwinięciach następujących podstawień: S / element zbioru A; P / element zbioru B 
sprowadzamy powyższe zdania odpowiednio do następujących schematów zdaniowych:
1. Każdy S jest P-em
2. Jakiś S nie jest P-em
3. Każdy S jest P-em, lecz jakiś P nie jest S -em
4. Nie istnieje żaden S
5. Istnieje co najmniej jeden S
6. Żaden S nie jest P-em
7. Jakiś S jest P-em
Badając więc niezawodność odpowiednich schematów wnioskowania możemy sprawdzać zachodzenie
wynikań analitycznych w obrębie algebry zbiorów (dystrybutywnych).
W ten sposób można także dowodzić tez w obrębie algebry zbiorów. Dla przykładu pokażemy sposób
dowodzenia dwóch tez. Pierwszą z nich jest zdanie (por. s. 38 w części 3):
Każdy zbiór jest zawarty w samym sobie.
Pnieważ mamy wykazać zdanie ogólne, więc stosujemy regułę uogólniania. W tym celu wybieramy dowolny zbiór dystrybutywny i oznaczamy go literą ‘A’. Mamy wykazać, że zbór A zawarty jest w samym
sobie, czyli że:
A ⊆ A,
Zbiór A zawarty jest w zbiorze A.
Po zastosowaniu zastępowania definicyjnego otrzymujemy zaś:
Każdy element zbioru A jest elementem zbioru A.
132
To zdanie zaś jest logicznie prawdziwe, gdyż podpada pod tautologię:
Każdy S jest S -em
gdzie z oczywistych względów zastosowano matematyczną interpretację zdania ogólnego.
Widzimy więc, że poprzez zastępowanie definicyjne sprowadziliśmy badane zdanie do zdania logicznie prawdziwego. Zatem badane zdanie uznajemy za tezę algebry zbiorów.
Drugą badaną tezą jest poniższe zdanie (por. s. 37 w części 3):
Zbiór pusty jest zawarty w dowolnym zbiorze.
Ponieważ mamy wykazać zdanie ogólne, więc stosujemy regułę uogólniania. W tym celu wybieramy
dowolny zbiór dystrybutywny i oznaczamy go literą ‘A’. Mamy wykazać, że:
∅ ⊆ A,
Zbiór ∅ zawarty jest w zbiorze A.
Po zastosowaniu zastępowania definicyjnego otrzymujemy zaś:
Każdy element zbioru ∅ jest elementem zbioru A.
Z określenia zbioru ∅ dostajemy analitycznie prawdziwą przesłankę:
Mamy następujące wynikanie logiczne:
,2
01
6/2
01
7
Nie istnieje żaden element zbioru ∅.
yk
ła d
uL
PK
Nie istnieje żaden element zbioru ∅
Każdy element zbioru ∅ jest elementem zbioru A
x
ły
do
w
gdyż podpada pod następujący niezawodny schemat (przy matematycznej interpretacji zdań ogólnych):
Nie istnieje żaden S
Każdy S jest P-em
x
M
a te
r ia
Zatem badane zdanie jest analitycznie prawdziwe w algebrze zbiorów, więc uznajemy go za jej tezę.
Oczywiście, mogliśmy również odtworzyć dowody obu badanych tez stosując dodatkowe przesłanki
w postaci definicyjnych równoważności, a nie zastępowanie definicyjne. Byłoby to jedynie komplikacją
naszych rozważań.
3. Przykłady równoważności analitycznych
Zacznijmy od przypomnijmy określenia pojęcia równoważności analitycznej. Przyjmujemy, że dla
dowolnych zdań α i β fraza:
zdanie α jest równoważne analitycznie ze zdaniem β
ma znaczyć:
ze zdania α wynika analitycznie zdanie β oraz ze zdania β wynika analitycznie zdanie α.
Relacja równoważności analitycznej jest symetryczna. Dlatego też w takich przypadkach będziemy używać formy: zdania α i β są analitycznie równoważne.
W określeniu relacji równoważności analitycznej, jako dwustronnego analitycznego wynikanie, nie
interesuje nas jednak, który rodzaj wynikania zachodzi w daną stronę (czy logiczne, czy pozalogiczne).
Dopuszczamy następujące przypadki:
1. oba wynikania są pozalogiczne (lecz analityczne);
2. tylko jedno z wynikań jest pozalogiczne (lecz analityczne);
3. oba wynikania są logiczne.
W ostatnim przypadku  wprost z definicji  mamy do czynienia z równoważnością logiczną. Zatem
każda równoważność logiczna jest także równoważnością analityczną (skoro każde wynikanie logiczne
jest wynikaniem analitycznym). Ponadto, jeśli chociaż w jednym kierunku mamy pozalogiczne wynikanie
analityczne, to będziemy mieć do czynienia z pozalogiczną równoważnością analityczną.
133
W pierwszym przykładzie zastosujemy tylko zastępowanie definicyjne (por. przykład 2.1 w części 8):
• Jan jest bratem Piotra
• Piotr jest bratem Jana
W przykładzie 2.1 w części 8 pokazaliśmy, że nie mamy do czynienia z wynikaniem logicznym, gdyż
wspólny najbardziej szczegółowy schemat jest zawodny:
a jest R-em b
b jest R-em a
aRb
bRa
6x
6x
Pokażemy, że zachodzi obustronne wynikanie analityczne. W tym celu zauważmy, że fraza zdaniowa:
x jest bratem y-a
znaczy:
x jest mężczyzną oraz ktoś jest rodzicem x-a i y-a.
Uzus językowy mówi, że imiona ‘Jan’ i ‘Piotr’ stosowane są do mężczyzn. Mamy więc «ukryte» założenie, że Jan i Piotr są mężczyznami. Stosujemy więc równoważniki definicyjne oraz dodajemy przesłanki
związane z uzusem językowym. Pierwsze wnioskowanie
Jan jest bratem Piotra
Piotr jest bratem Jana
sprowadzamy do następującego wynikania logicznego:
,2
01
6/2
01
7
Jan jest mężczyzną i ktoś jest rodzicem Jana i Piotra
Piotr jest mężczyzną
Piotr jest mężczyzną ∧ ktoś jest rodzicem Piotra i Jana
yk
ła d
uL
PK
Podobnie, drugie wnioskowanie
Piotr jest bratem Jana
Jan jest bratem Piotra
x
ły
do
w
sprowadzamy do następującego wynikania logicznego:
x
M
a te
r ia
Piotr jest mężczyzną i ktoś jest rodzicem Piotra i Jana
Jan jest mężczyzną ∧ ktoś jest rodzicem Jana i Piotra
Mianowicie, oba te wynikania logiczne podpadają pod następujący niezawodny schemat wnioskowania:
a jest M-em ∧ jakiś obiekt jest R-em a i b
b jest M-em
b jest M-em ∧ jakiś obiekt jest R-em b i a
x
W zapisie kwantyfikatorowym otrzymujemy:
a jest M-em ∧ ∃z(z jest R-em a ∧ z jest R-em b)
b jest M-em
b jest M-em ∧ ∃z(z jest R-em b ∧ z jest R-em a)
x
Niezawodność obu schematów otrzymujemy z własności spójnika ‘i’, a w tym spójnika koniunkcji ‘∧’.
Drugi przykład dotyczyć będzie analitycznej równoważności następujących zdań:
(a) Jan nie jest żonaty
(b) Albo Jan jest kawalerem, albo Jan jest wdowcem, albo Jan jest rozwiedziony
gdzie spójnik zdaniowy ‘albo’ rozumiemy w tzw. sensie wykluczającym, przy którym zdanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy prawdziwe jest dokładnie jedno z jego zdań składowych. Pokażemy, że z jednego
z powyższych zdań wynikania analitycznie drugie oraz odwrotnie, przy czym żadne z tych wnikań nie
będzie wynikaniem logicznym.
Skoro uzus językowy mówi, iż imię ‘Jan’ stosujemy tylko do mężczyzn, więc z przyjętych znaczeń
słów ‘kawaler’, ‘wdowiec’ i ‘rozwiedziony’ mamy następujące zdanie analitycznie prawdziwe:
Albo Jan jest żonaty, albo Jan jest kawalerem, albo Jan jest wdowcem, albo Jan jest rozwiedziony. (8)
gdzie spójnik zdaniowy ‘albo’ rozumiemy w sensie wykluczającym.8 Dla wykazania, że ze zdania (a)
8
Nie zawsze tak traktujemy ten spójnik. Czasami rozumiemy go też w sensie niewykluczającym. Np. wypowiedź świadka
134
wynika analityczne zdanie (b) zastosujmy w (8) następujące oznaczenie:
Albo Jan jest żonaty, albo Jan jest kawalerem, albo Jan jest wdowcem, albo Jan jest rozwiedziony
|
{z
}
|
{z
}
p
q
Zauważmy, że skoro prawdziwy jest dokładnie jeden ze składników zdania (8), więc także dokładnie
jedno ze zdań p i q jest prawdziwe. Ponadto możemy zastąpić zdanie ‘Jan nie jest żonaty’ przez ‘¬ Jan
jest żonaty’. Teraz posłużymy się następującym niezawodnym schematem wnioskowania:
Albo p, albo q
¬p
q
x
Załóżmy, że obie przesłanki są prawdziwe. Zatem dokładnie jedno ze zdań p i q jest prawdziwe. Jednakże,
p nie jest prawdziwe. Zatem prawdziwy jest wniosek q.
Skoro dodana przesłanka jest zdaniem analitycznie prawdziwym, więc ze zdania (a) wynika analitycznie zdanie (b).
Uwaga 3.1. Mógłby ktoś oponować, że przecież dodane zdanie (8) miało postać ‘Albo p, albo q1 , albo
q2 , albo q3 ’, więc powinniśmy użyć następującego schematu wnioskowania:
,2
01
6/2
01
7
Albo p, albo q1 , albo q2 , albo q3
¬p
Albo q1 , albo q2 , albo q3
x
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
który także jest niezawodny. Jednakże byłoby to jedynie niepotrzebnym uszczegółowieniem użytego
przez nas schematu wnioskowanie. Pamiętamy przecież, że jeśli dany schemat jest niezawodny, to także
niezawodnym schematem jest każde jego uszczegółowienie.
W rozważanym przypadku istotne było tylko to, że przy wykluczającym rozumieniu spójnika ‘albo’:
zdanie postaci ‘Albo p, albo q1 , albo q2 , albo q3 ’ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jedno
ze zdań p i ‘Albo q1 , albo q2 , albo q3 ’ jest prawdziwe. Zatem dla wyrażenia istotnych w tym przypadku
związków logicznych wystarczało potraktowanie alternatywy (8) jako dwuczłonowej ‘Albo p, albo q’. ⋄
M
Aby wykazać, że ze zdania (b) wynika analitycznie zdanie (a) zastosujmy następujące oznaczenie
składników w zdaniu (8):
Albo Jan jest żonaty, albo Jan jest kawalerem, albo Jan jest wdowcem, albo Jan jest rozwiedziony
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
p
q
r
s
Zauważmy, że przy wykluczającym rozumieniu spójnika ‘albo’ niezawodny jest poniższy schemat:
Albo p, albo q, albo r, albo s
Albo q, albo r, albo s
¬p
x
Załóżmy, że obie przesłanki są prawdziwe (przy czym wszystkie zdania składowe mają wartość logiczną).
Pierwsza z nich głosi, że prawdziwe jest dokładnie jedno z czterech zdań: p, q, r i s. Druga z nich głosi
jednak, że prawdziwe jest dokładnie jedno z trzech zdań: q, r i s. Zatem zdanie p jest fałszywe, czyli
prawdziwy jest wniosek ¬ p.
Skoro dodana przesłanka jest zdaniem analitycznie prawdziwym, więc ze zdania (b) wynika analitycznie zdanie (a). Łącznie zatem otrzymujemy, że zdania te są analitycznie równoważne.
Uwaga 3.2. Teraz widzimy dlaczego przy użyciu zdania (8), jako «ukrytej» przesłanki, istotne było to, że
jest ono prawdziwe właśnie przy wykluczającym rozumieniu spójnika ‘albo’. Mianowicie, drugi z użytych
schematów jest zawodny przy przy niewykluczającym rozumieniu spójnika ‘albo’.
zdarzenia drogowego ‘Kierowca był pijany albo kierownica była poluzowana’ nie wyklucza tego, że zaszły obie wymienione
sytuacje, czyli nie wyklucza tego, że zarówno kierowca był pijany oraz kierownica była poluzowana).
Również spójnik ‘lub’ może być dwojako rozumiany, czyli albo w sensie niewykluczającym, albo wykluczającym. To drugie
użycie występuje np. w poleceniu lekarza: ‘Zażyj lekarstwo rano lub wieczorem’. Mówi ono, że mamy zażyć lekarstwo raz
dziennie, lecz możemy wybrać porę dnia.
135
Istotnie, przy niewykluczającym rozumieniu spójnika ‘albo’ prawdziwość pierwszej z przesłanek daje
jedynie to, że jest prawdziwe co najmniej jedno z czterech zdań: p, q, r i s. Prawdziwość drugiej z przesłanek daje to, że co najmniej jedno z trzech ostatnich zdań jest prawdziwe. Stąd zaś nie wyciągniemy
poprawnego wniosku, że zdanie p nie jest prawdziwe.
Zauważmy, że pierwszy z użytych schematów był także niezawodny przy niewykluczającym rozumieniu spójnika ‘albo’.
⋄
Można podać także inny sposób wykazania tego, że ze zdania (b) wynika analitycznie zdanie (b).
W tym celu zamiast jednej «ukrytej» przesłanki (8) można użyć poniższych trzech zdań analitycznie
prawdziwych:
Żaden kawalerem nie jest żonaty
Żaden wdowiec nie jest żonaty
Żaden rozwodnik nie jest żonaty
Z tych trzech zdań plus zdanie (b) wynika logicznie zdanie (a), gdyż całość podpada pod następujący
niezawodny schemat wnioskowania:
,2
01
6/2
01
7
Żaden S nie jest Q-em
Żaden P nie jest Q-em
Żaden M nie jest Q-em
Albo a jest S , albo a jest P, albo a jest M-em
a nie jest Q-em
x
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Załóżmy, że wszystkie przesłanki są prawdziwe. Zatem a ma dokładnie jedną z trzech własności. Jednakże
każda z nich wyklucza to, że a ma własność Q. Zatem prawdziwy jest wniosek.
Zatem łącznie z «ukrytych» analitycznie prawdziwych przesłanek oraz z tej «jawnej» (b) wynika
logicznie wniosek (a). Stąd z (b) wynika analitycznie (a).
Widzimy, że «ukryte» analitycznie prawdzie przesłanki potrzebne dla otrzymania jednego z analitycznych wynikań mogą być różne od tych «ukrytych», które są potrzebne dla wynikania odwrotnego.
M
a te
r ia
Uwaga 3.3. Zamiast trzech ostatnio podanych «ukrytych» przesłanek można byłoby wziąć trzy analitycznie prawdziwe zdania warunkowe: ‘Jeżeli Jan jest kawalerem, to Jan nie jest żonaty’, ‘Jeżeli Jan jest
wdowcem, to Jan nie jest żonaty’ i ‘Jeżeli Jan jest rozwiedziony, to Jan nie jest żonaty’. Pamiętamy jednak
(por. twierdzene 2.4 i wniosek 2.1), że branie zdań warunkowych jako «ukrytych» przesłanek może być
«mało wyjaśniającym wybiegiem». Mianowicie, analityczne prawdziwe zdania warunkowe same odpowiadają wynikaniom analitycznym.
Jednakże również dodając podane tutaj trzy zdania warunkowe otrzymamy wynikanie logiczne oparte na następującym niezawodnym schemacie (nie zaznaczamy tego, że w następniku występuje zdanie
zanegowane, gdyż nie jest to potrzebne dla wykazania związków logicznych):
Jeżeli r, to p
Jeżeli s, to p
Jeżeli q, to p
Albo q, albo r, albo s
p
x
Załóżmy, że wszystkie przesłanki są prawdziwe. Wtedy est prawdziwe dokładnie jedno ze zdań: q, r i s.
Jednakże, prawdziwość każdego z nich pociągać prawdziwość zdania p. Zatem prawdziwe jest p.
⋄
Uwaga 3.4. Ostatnio użyty dwa schematy wnioskowania są także niezawodny przy niewykluczającym
znaczeniu spójnika ‘albo’.
⋄
Na koniec («dla wprawy») pokażemy, że poniższe dwa zdania są także analitycznie równoważne:
(c) Jan jest żonaty
(d) Jan nie jest kawalerem, Jan nie jest wdowcem i Jan nie jest rozwiedziony
Możemy to pokazać na różne sposoby, co potwierdzi nasze wcześniejsze spostrzeżenie, że dla otrzymania
wynikania logicznego wolno używać różnych «ukrytych» analitycznie prawdziwych przesłanek.
Pokażemy, że ze zdania (c) wynika analityczne zdanie (d), czyli że:
Jan jest żonaty
Jan nie jest kawalerem, Jan nie jest wdowcem i Jan nie jest rozwiedziony
wynika analitycznie
136
Ponownie jako «ukrytą» analitycznie prawdziwą przesłankę bierzemy zdanie (8) z rozumianym wykluczająco spójnikiem ‘albo’. Użyjemy więc następującego logicznie poprawnego schematu wnioskowania:
p
¬ q ∧ ¬ r ∧ ¬s
x
Załóżmy, że obie przesłanki są prawdziwe (przy czym wszystkie zdania składowe mają wartość logiczną).
Zatem jest prawdziwe dokładnie jedno z czterech zdań: p, q, r i s. Skoro p jest prawdziwe, więc wszystkie
pozostałe są nieprawdziwe, a właśnie to głosi wniosek.
Skoro dodana przesłanka jest zdaniem analitycznie prawdziwym, więc ze zdania (c) wynika analitycznie zdanie (d).
Uwaga 3.5. Tu widzimy dlaczego przy użyciu zdania (8), jako «ukrytej» przesłanki, istotne było to, że
jest ono prawdziwe właśnie przy wykluczającym rozumieniu spójnika ‘albo’. Mianowicie, użyty powyżej
schemat jest zawodny przy przy niewykluczającym rozumieniu spójnika ‘albo’.
Istotnie, przy niewykluczającym rozumieniu spójnika ‘albo’ prawdziwość pierwszej z przesłanek daje
jedynie to, że jest prawdziwe co najmniej jedno z czterech zdań: p, q, r i s. Zatem nic nie wnosi prawdziwość drugiej z przesłanek, gdyż nawet wszystkie użyte zdania mogą być prawdziwe.
⋄
Teraz pokażemy, że ze zdania (d) wynika analitycznie zdanie (d), czyli że:
,2
01
6/2
01
7
Jan nie jest kawalerem, Jan nie jest wdowcem i Jan nie rozwiedziony
Jan jest żonaty
wynika analitycznie
yk
ła d
uL
PK
Aby wykazać ponownie posłużymy się analitycznie prawdziwym zdaniem (8) oraz użyjemy następującego logicznie poprawnego schematu wnioskowania:
ły
do
w
¬ q ∧ ¬r ∧ ¬s
p
x
M
a te
r ia
Załóżmy, że obie przesłanki są prawdziwe. Zatem jest prawdziwe dokładnie jedno z czterech zdań: p,
q, r i s. Jednakże, druga przesłanka głosi, że żadne z trzech ostatnich zdań nie jest prawdziwe. Zatem
prawdziwy jest wniosek p.
Skoro dodana przesłanka jest zdaniem analitycznie prawdziwym, więc ze zdania (d) wynika analitycznie zdanie (c). Łącznie zatem otrzymujemy, że zdania te są analitycznie równoważne.

Materiały do wykładu „Logiczne podstawy kognitywistyki”∗

Transkrypt

Podobne dokumenty

ZDANIE W LOGICE Zdaniem w logice nazywamy każde zdnaie

Prawo podwójnego przeczenia Prawa de Morgana

Villa Gioconda1 - doświadczenia

Prawdziwe szczęście Prawdziwe ludzkie szczęście – to nie jest

Warszawa, 9 kwietnia 2005 r.

podziękowanie podziękowanie

Zajęcia 1.

22 października

Tom lubi muzykę. Przestań hałasować! 3

Królestwo to opowieść banalna o poszukiwaniu miłości.