Badanie funkcji
Transkrypt
Badanie funkcji
Badanie funkcji Zad. 1: Funkcja f jest określona wzorem f ( x) = 2 + x3 . x a) RozwiąŜ równanie f(x) = 5. b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f . c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale 1 2 ; 2 . Odp.: a) x = 2, x = −1 − 2 lub x = −1 + 2 ; b) Funkcja jest rosnąca w przedziale (1;+∞), funkcja jest malejąca w przedziałach (–∞;0) oraz (0;1). c) Dla x = 1 funkcja osiąga wartość najmniejszą równą 3, dla x = 21 funkcja osiąga wartość największą równą 174 . Zad. 2: Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) = 3 cos 2x + sin 2x − x2− 3 w przedziale 〈0;4π〉. Odp.: Dla x = 83 π funkcja osiąga wartość najmniejszą równą 23 − 43 π − 3 , dla x = 0 funkcja osiąga wartość największą równą 3 2 + 3. Zad. 3: 1 1 + w przedziale π6 ; π3 . 2 sin x cos 2 x funkcja osiąga wartość najmniejszą równą 4, dla x = π3 funkcja osiąga war- Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) = Odp.: Dla x = π 4 tość największą równą 16 3 . Zad. 4: Sporządź wykres i określ zbiór wartości funkcji: x −1 a) y = ; x−2 x2 − 1 b) f ( x) = 2 ; x +1 c) h(x) = 1 + sin 2x, gdzie x ∈ 〈–π;π〉. Odp.: a) zbiorem wartości jest R \ {1}; b) zbiorem wartości jest przedział (–1;1); c) zbiorem wartości jest przedział 〈0;2〉. Zad. 5: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x3 + x2 – 5x – 5. Określ liczbę pierwiastków równania |f(x)| = m w zaleŜności od wartości parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji, która kaŜdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę pierwiastków tego równania. Odp. Równanie nie ma pierwiastków dla m ∈ (–∞;0), ma dwa pierwiastki dla m ∈ (8;+∞), 40 ma trzy pierwiastki dla m = 0 i dla m = 8, ma cztery pierwiastki dla m ∈ ( 27 ;8) ; ma pięć 40 ). pierwiastków dla m = 5, ma sześć pierwiastków dla m ∈ (0; 27 74 Zad. 6: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = Zad. 7: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 4 − x2 . x2 − 1 ( x − 1)( x − 3) . Ile punktów x 2 − 4x wspólnych moŜe mieć wykres funkcji f z prostą przechodzącą przez punkt (0; 41 ) . Odp.: Prosta y = mx + 41 moŜe mieć z wykresem funkcji f jeden punkt wspólny dla m ∈ (0;+∞), trzy punkty wspólne dla m ∈ (– ∞;0). Prosta x = 0 nie przecina wykresu funkcji f . Zad. 8: a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 3x . Ustal liczbę rozx − x +1 2 wiązań równania f(x) = k w zaleŜności od wartości parametru k. *b) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = |f(x)|, gdzie [p] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od p. Odp.: a) Równanie f(x) = k nie ma rozwiązania dla k ∈ (–∞;–1) ∪ (3;+∞), ma jedno rozwiązanie dla k ∈ {–1, 0, 3}, ma dwa rozwiązania dla k ∈ (–1;0) ∪ (0;3). Zad. 9: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = x 2 − 3x . x +1 Zad. 10: 2 2x 2x Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 1 + 2 + 2 +K . x − 3 x − 3 x2 − 3 . Odp.: Ostateczna postać wzoru funkcji: f ( x) = 2 x − 2x − 3 Zad. 11: Dla jakich wartości parametru m prosta y = 1 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji mx 2 − 1 f ( x) = ? Dla znalezionej wartości m zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres ( x + 2) 2 funkcji f . Odp.: m = 1. Zad. 12: x 2 + ax + 1 Punkt P = (–1;1) naleŜy do wykresu funkcji f ( x) = , gdzie b ≠ 1. Styczna do x+b wykresu tej funkcji, poprowadzona w punkcie P, jest prostopadła do prostej o równaniu 2x – y + 3 = 0. Oblicz współczynniki a i b. Odp.: a = 4, b = –1. 75 Zad. 13: x2 − 3 ma ekstrema w punktach x1 i x2. Napisz równanie prostej przechodząx−2 cej przez środek odcinka o końcach (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) i równoległej do stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x0 = 4. Odp.: y = 43 x + 25 (x1 = 1, x2 = 3, środek odcinka ma współrzędne (2,4)). Funkcja f ( x) = Zad. 14: Funkcja f ( x) = ( x − 2) 2 ma ekstrema w punktach x1 i x2. Punkty (x1, f(x1)) i (x2, f(x2)) są 2x wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Znajdź współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta, wiedząc, Ŝe leŜy on na osi y. ( ) ( Odp.: (0, 2) lub (0, – 6) lub 0, − 2 + 2 2 lub 0, − 2 − 2 2 ) (x1 = –2, x2 = 2). Zad. 15: 2x 4 poprowadzono styczne w punktach, których rzędna jest Do wykresu funkcji f ( x) = 2 x +1 równa 1. Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności oraz punkt wspólny tych stycznych. Odp.: Obwód trójkąta jest równy 2 + 2 10 (styczne mają równania y = 3x – 2 oraz y = –3x – 2, wierzchołki trójkąta mają współrzędne (–1,1), (1,1), (0,–2)). Zad. 16: a) Dla jakich dodatnich wartości parametru t wielomian W( x) = x 3 − 23 tx 2 + 23 t 3 − t ma trzy pierwiastki? *b) Udowodnij, Ŝe wykres dowolnego wielomianu stopnia trzeciego ma środek symetrii. Znajdź współrzędne tego środka symetrii. Odp.: a) t ∈ ( ;1) . 6 3 Zad. 17: Dla jakich wartości parametru m równanie x3 + (3 – m)x2 – 4 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie? Odp.: m ∈ (0; + ∞). Zad. 18: Ustal liczbę rozwiązań danego równania w zaleŜności od wartości parametru k: a) x + k x = k ; *b) k ln x2 = |x| – k. Odp.: a) Równanie nie ma rozwiązania dla k ∈ (– 4;0), ma jedno rozwiązanie dla k ∈ 〈0;+ ∞) oraz dla k = – 4, ma dwa rozwiązania dla k ∈ (– ∞;– 4). b) Równanie nie ma rozwiązania dla k ∈ 0; k∈ ( e 2 e 2 ) ) , ma dwa rozwiązania dla k ∈ (– ∞;0) oraz k = e 2 , ma cztery rozwiązania dla ;+∞ . Zad. 19: ( Zbadaj liczbę rozwiązań równania ( m + 2) 3 − 2 2 ) x ( + ( 2 m − 1) 3 + 2 2 ) x = 3m + 2 w 76 zaleŜności od wartości parametru m. Odp.: RozwaŜane równanie ma jedno rozwiązanie dla m ∈ − 2; 21 , ma dwa rozwiązania dla m ∈ ( − ∞;−2) ∪ ( 21 ;+∞) . Zad. 20: Sporządź wykres i określ zbiór wartości funkcji: x−2 a) h( x) = ; x +1 b) g(x) = 1 + 2|1 – x|; ln x c) f ( x) = , gdzie x ∈ (0;6). x Odp.: a) zbiorem wartości jest R \ {1}; b) zbiorem wartości jest przedział 〈2; + ∞); c) zbiorem wartości jest przedział ( − ∞; 1e . Zad. 21: x 2 + px + 1 Dana jest funkcja f ( x) = 2 . x − px + 4 a) Dla jakich wartości parametru p funkcja f ma dwa miejsca zerowe i moŜe być określona dla kaŜdego x ∈ R? b) Znajdź ekstrema funkcji f dla p = 2. Odp.: a) p ∈ (– 4; –2) ∪ (2; 4); b) Dla p = 2 funkcja osiąga minimum równe 0. Zad. 22: Rysunek przedstawia wykres funkcji f ( x) = ax + b . cx + 2 a) Oblicz współczynniki a, b, c. b) Napisz równanie stycznej do wykresu f w punkcie A = (0,d). ax + b c) Naszkicuj wykres funkcji g( x) = . cx +2 y A = (0,d) 3 –4 –2 x 0 Odp.: a) a = 3, b = 12, c = 1; b) y = − 23 x + 6 (d = 6). Zad. 23: Funkcja f przyporządkowuje kaŜdej liczbie rzeczywistej x współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej y = ln(x2 + 1) w punkcie o odciętej x. Wyznacz zbiór wartości funkcji f . 77 Odp.: f ( x) = 2x , zbiorem wartości jest przedział 〈–1;1〉. x +1 2 Zad. 24: a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = *b) Określ liczbę rozwiązań równania 2x 2 (2 − x ) 2 2x 2 ( 2 − x) 2 . = m w zaleŜności od wartości parametru m. Odp.: b) Równanie nie ma rozwiązania dla m ∈ (– ∞;0), ma jedno rozwiązanie dla m = 0, ma dwa rozwiązania dla m ∈ (0;2〉, ma cztery rozwiązania dla m ∈ (2;+ ∞). Zad. 25: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = Zad. 26: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = x ( x + 3) . x −1 x ( x − 3) . x +1 Zad. 27*: a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = ln x . x2 b) Udowodnij, Ŝe x 2 e ≤ e x dla x > 0. 2 Zad. 28: Dla jakiej wartości parametru m prosta y = 1 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji mx 2 − 1 ? Dla znalezionej wartości m zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres f ( x) = ( x − 2) 2 funkcji g(x) = f(|x|). x2 − 1 Odp.: m = 1; g( x) = dla x ∈ R \ {–2, 2}. ( x − 2) 2 Zad. 29: x−a wiadomo, Ŝe prosta x = 2 jest asymptotą pionową jej wykresu x − 7x + b oraz Ŝe dla x = 3 funkcja osiąga maksimum. Naszkicuj wykres funkcji f i uzasadnij, Ŝe równanie f(|x|) = mx ma co najmniej dwa rozwiązania dla dowolnego m ≠ 0. x −1 Odp.: a = 1, b = 10; f ( x) = 2 dla x ∈ R \ {2, 5}. x − 7 x + 10 O funkcji f ( x) = 2 Zad. 30: 2x 2 − 1 Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji f ( x) = , z których kaŜda razem z x osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu 1. Odp.: y = 4 x − 2 2 i y = 4 x + 2 2 . 78 Zad. 31: Dane są funkcje f ( x) = 1x , h( x) = 1 − 4 x 2 . ( ) a) Dla jakich argumentów wartości funkcji g( x) = f ( x) 1 − h( x) są większe od b) Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji f i h, prostymi x = x. 1 Odp.: a) x ∈ ( 12 25 ; 2 ; b) P = ln 4 − 5 48 1 4 2 3 ? i x = 1 oraz osią . Zad. 32: Oblicz miejsca zerowe i sporządź wykres funkcji: a) y = 21 x 2 − x − 21 ; x ; b) f ( x) = 2 x +1 c) h(x) = 1 + sin 2x. Odp.: a) x = 1 − 2 i x = 1 + 2 ; b) x = 0; c) x = − π4 + kπ , gdzie k ∈ C. Zad. 33: Sporządź wykres i określ zbiór wartości funkcji: x a) y = ; x−2 x2 − 4 ; b) f ( x) = 2 x +1 c) h(x) = 1 + cos 2x, gdzie x ∈ 〈–π;π〉. Odp.: a) zbiorem wartości jest R \ {1}; b) zbiorem wartości jest przedział 〈– 4;1); c) zbiorem wartości jest przedział 〈0;2〉. Zad. 34: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 18. Zad. 35: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x(x2 – 4) + x + 2. Zad. 36: a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = (x – 1)(x2 + x – 2). *b) Ustal liczbę pierwiastków równania f(|x|) = m w zaleŜności od wartości parametru m. Odp.: b) Równanie nie ma rozwiązania dla m ∈ (– ∞;0), ma dwa rozwiązania dla m ∈ (2;+ ∞) ∪ {0}, ma trzy rozwiązania dla m = 2, ma cztery rozwiązania dla m ∈ (0;2). Zad. 37: Funkcja f(x) = ax3 + bx + 2 ma dla x = –1 ekstremum równe 4. Oblicz współczynniki a i b, a następnie zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f . Odp.: a = 1, b = –3; f(x) = x3 – 3x + 2 dla x ∈ R. Zad. 38: a) Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = x3 – mx2 + 5x – 20 ma dla x = 1 maksimum? Dla znalezionej wartości m zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f . 79 *b) Zbadaj znaki pierwiastków równania f ‘(x) = 0 w zaleŜności od wartości parametru m. Odp.: a) m = 4, f(x) = x3 – 4x2 + 5x – 20 dla x ∈ R; b) Równanie nie ma pierwiastków dla ( ) m ∈ − 15; 15 , ma jeden pierwiastek i jest on dodatni dla m = 15 , ma jeden pierwiastek ( ) i jest on ujemny dla m = − 15 , ma dwa pierwiastki ujemne dla m ∈ − ∞;− 15 , ma dwa pierwiastki dodatnie dla m ∈ ( ) 15;+∞ . Zad. 39: Miejscami zerowymi funkcji f(x) = ax3 – x2 – 3x + b są liczby 3 oraz – 3. Oblicz współczynniki a i b, a następnie zbadaj monotoniczność i znajdź ekstrema funkcji f . Oblicz współrzędne tych punktów naleŜących do wykresu funkcji f , w których styczne są równoległe do prostej o równaniu y = 5x + 1. Odp.: a = 13 , b = 9; Funkcja f ( x) = 13 x 3 − x 2 − 3x + 9 jest rosnąca w przedziałach (– ∞; –1) oraz (3; + ∞), funkcja jest malejąca w przedziale (–1;3); ymax = f(–1) = Szukane punkty mają współrzędne ( − 2, 253 ) i (4, 73 ) . 32 3 , ymin = f(3) = 0. Zad. 40*: a) Do wykresu funkcji f(x) = ax3 + bx2 + cx + d naleŜą punkty A = (0, – 4) i B = (–1, 3). Funkcja ta osiąga ekstrema dla x1 = 1 i x2 = − 43 . Oblicz współczynniki a, b, c, d, a następnie zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f . b) Naszkicuj wykres funkcji y = f(|x|) + k, gdzie k jest największym pierwiastkiem równania 2 2 3 x log x + log x +3 = . 1 1 − x +1 −1 x +1 +1 Odp.: a) a = 2, b = 1, c = – 8, d = – 4; f(x) = 2x3 + x2 – 8x – 4 dla x ∈ R; b) k = 101 . Zad. 41: a) Prosta o równaniu 4x + y + 1 = 0 jest styczna w punkcie (–1, 3) do wykresu funkcji f(x) = 2x3 + a2x2 – 8ax – 4. Oblicz miejsca zerowe oraz znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f . *b) Pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 + kx2 + mx + n są liczby x1, x2, x3. Wyraź współczynniki k, m, n w zaleŜności od x1, x2, x3. Odp.: a) a = 1; f(x) = 2x3 + x2 – 8x – 4 dla x ∈ R; miejsca zerowe funkcji f : x1 = 0 i x2 = –2 i x 3 = − 21 ; funkcja jest rosnąca w przedziałach ( − ∞;− 43 ) oraz (1; + ∞), funkcja jest malejąca w przedziale ( − 43 ;1) ; y max = f ( − m = x1x2 + x2x3 + x1x3, n = – x1x2x3. 4 3 ) = 100 27 , ymin = f(1) = –9; b) k = – (x1 + x2 + x3), Zad. 42: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x4 – 8x2 + 7. Zad. 43*: a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x4 – 5x2 + 6. b) Określ liczbę rozwiązań równania |x4 – 5x2 + 6| = m w zaleŜności od wartości parametru m. Odp.: b) Równanie nie ma rozwiązania dla m ∈ (– ∞;0), ma dwa rozwiązania dla m ∈ (6; + ∞), ma trzy rozwiązania dla m = 6, ma cztery rozwiązania dla m ∈ ( 41 ;6) i dla m = 0, ma 80 sześć rozwiązań dla m = 41 , ma osiem rozwiązań dla m ∈ (0; 41 ) . Zad. 44: a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 41 x 4 − 2 x 2 . *b) Wyraź liczbę rozwiązań równania 41 x 4 − 2 x 2 = m jako funkcję parametru m i sporządź jej wykres. 0 dla m ∈ ( − ∞;−4) 2 dla m ∈ (0;+∞) ∪ { − 4} Odp.: b) g( m) = . 3 dla m = 0 4 dla m ∈ ( − 4;0) Zad. 45: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 2x . x +1 2 Zad. 46: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 2 x 2 − 6x + 1 , a następnie 2x 2 + 4 odczytaj jej zbiór wartości. Odp.: Zbiorem wartości funkcji f jest przedział − 21 ; 74 . Zad. 47: x 2 − 6x + 9 a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = . x2 + 2 − x2 + 6 x − 9 *b) Ustal liczbę punktów wspólnych wykresu funkcji g( x) = z prostymi postax2 + 2 ci y = m w zaleŜności od wartości parametru m. Odp.: b) Funkcja g i proste y = m nie mają punktów wspólnych dla m ∈ ( − ∞;− 92 ) ∪ ( 0;+∞) , mają jeden punkt wspólny dla m = − 92 , mają dwa punkty wspólne dla m ∈ ( − 92 ;−1 ∪ { 0} , mają cztery punkty wspólne dla m ∈ (–1;0). Zad. 48: a − x2 . 2 + x2 a) Zbadaj przebieg zmienności funkcji f i wyznacz jej zbiór wartości. *b) Określ liczbę rozwiązań równania (f(x))2 – 1 = |m –2| w zaleŜności od wartości parametru m. 2 − x2 Odp.: a) a = 2, f ( x) = dla x ∈ R; b) Równanie nie ma rozwiązań dla m ∈ R \ {2}, 2 + x2 ma jedno rozwiązanie dla m = 2. Zad. 49: x 2 + ax + 1 , gdzie b ≠ 1. Styczna do Punkt P = (–1,1) naleŜy do wykresu funkcji f ( x) = x+b Punkt A = ( ) 3 ,− 15 naleŜy do wykresu funkcji f ( x) = 81 wykresu funkcji f poprowadzona w punkcie P jest prostopadła do prostej o równaniu 2x – y + 3 = 0. Oblicz współczynniki a i b. Odp.: a = 4, b = –1. Zad. 50: a , gdzie a ≠ 0, poprowadzona w punkcie o odciętej x0 = 1 ogranix cza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o polu 6. Oblicz współczynnik a. RozwaŜ wszystkie przypadki. Odp.: a = –3 lub a = 3. Styczna do hiperboli y = Zad. 51*: Wyraź pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = – |x – 2| + 2 i prostą y = mx + b przechodzącą przez punkt (1,0) jako funkcję parametru m. Dla jakich wartości parametru m funkcja ta przyjmuje wartość najmniejszą? ( m − 2) 2 1 Odp.: f ( m) = 2 , gdzie m∈(–1;1). Dla m = 2 funkcja f ma wartość najmniejszą 1− m równą 3. Zad. 52: − x 2 − 3x dla x < −1 . Dana jest funkcja określona wzorem f ( x) = 2 2 x − x − 1 dla x ≥ −1 a) Oblicz miejsca zerowe funkcji f . b) Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale 〈–2;2〉. *c) Wyznacz zbiór wartości parametru m, dla których równanie |mx| = f(x) ma co najmniej dwa rozwiązania. Odp.: a) x = –3, x = − 21 i x = 1; b) Dla x = 41 funkcja f osiąga wartość najmniejszą równą − 98 , dla x = 2 funkcja ta osiąga wartość największą równą 5. c) m ∈ 〈–2;2〉. Zad. 53: Dana jest funkcja f ( x) = ( x − 3) 2 . x2 + 2 a) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f . b) Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale − 1; 72 . Odp.: a) Funkcja f jest rosnąca w przedziałach ( − ∞;− 23 ) oraz (3; + ∞), a malejąca w przedziale ( − 23 ;3) . b) Dla x = 3 funkcja f osiąga wartość najmniejszą równą 0, dla x = − 23 funkcja ta osiąga wartość największą równą 11 2 . Zad. 54: x+ 3 w przedziale 〈– 4;1〉. x2 + 1 *b) Znajdź zbiór wartości takiej funkcji określonej w przedziale (– ∞; + ∞), Ŝe dla dowolnej wartości parametru m styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej m ma równanie (2m + 1)x – y – m2 = 0. a) Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) = 82 Odp.: a) Dla x = − 3 − 2 funkcja f osiąga wartość najmniejszą równą −2+ 3 , dla 2 2+ 3 . b) RozwaŜaną funkcję 2 moŜna opisać wzorem y = x2 + x. Przedział − 41 ;+∞ jest zbiorem wartości tej funkcji. x = − 3 + 2 funkcja ta osiąga wartość największą równą ) Zad. 55: Dana jest funkcja f ( x) = ax 2 + 6a − 2 ( x + 2) 2 , gdzie a jest najmniejszą liczbą całkowitą naleŜącą do dziedziny funkcji g(x) = log3(log2(3x + 1)). Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f . x2 + 4 dla x ∈ R \ {–2}. Odp.: a = 1; f ( x) = ( x + 2) 2 Zad. 56: x2 − 4 Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 2 , gdzie x ∈ (–1;1). x −1 Zad. 57: x 2 − 4x . x2 + 2 x 2 − 4x b) Korzystając z wykresu funkcji f , rozwiąŜ nierówność 2 ≥ 1. x +2 *c) Wiedząc, Ŝe [m] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od m, naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x) + |f(x)|. a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = Odp.: b) x ∈ ( − ∞;− 21 ∪ {1} . Zad. 58: −x . x +1 a) Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji f równoległych do prostej x + 4y = 0. Oblicz odległość między tymi stycznymi. Naszkicuj wykres funkcji f oraz styczne spełniające warunki zadania. *b) W jakich punktach wykresu funkcji f naleŜy poprowadzić równoległe styczne, aby odległość między nimi była największa? 8 17 Odp.: a) x + 4y + 1 = 0, x + 4y + 9 = 0, odległość między tymi stycznymi wynosi ; 17 b) (0, 0) i (–2, –2). Dana jest funkcja f ( x) = Zad. 59: Do krzywej |xy – x – y + 1| = 1 poprowadzono styczne o współczynnikach kierunkowych m, spełniających warunek |m| = 1. a) Znajdź współrzędne punktu styczności. b) Znajdź równania stycznych. 83 c) Oblicz pole figury ograniczonej tymi stycznymi. Odp.: a) (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2); b) y = – x, y = – x + 4, y = x – 2, y = x + 2; c) P = 8. Zad. 60: Określ liczbę ekstremów funkcji f(x) = – mx3 + x2 + x + n – 2 w zaleŜności od wartości parametrów m i n. ( Odp.: Funkcja f nie ma ekstremum dla m ∈ − ∞;− 13 , ma jedno ekstremum dla m = 0 oraz dwa ekstrema dla m ∈ ( − 13 ;0) ∪ (0;+∞) . Zad. 61: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = x3 . 8 − 2x 2 Zad. 62: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = x2 , gdzie a > 0. x −a Zad. 63: x2 Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = x , gdzie x ∈ 〈–5;5〉. e Zad. 64: −x . x +1 a) Znajdź równania takich dwóch równoległych stycznych do wykresu tej funkcji, aby odległość między nimi była największa. Naszkicuj wykres funkcji f oraz styczne spełniające warunki zadania. *b) Zbadaj, czy suma pól trójkątów ograniczonych asymptotami wykresu funkcji f i dwiema dowolnymi równoległymi stycznymi do jej wykresu zaleŜy od kierunku tych stycznych. Odp.: a) y = – x, y = – x – 4; b) RozwaŜana suma pól nie zaleŜy od kierunku stycznych. Dana jest funkcja f ( x) = Zad. 65: x3 + 1 1 i g( x) = 5x + . x x a) RozwiąŜ nierówność f ’(x) < g’(x). b) Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji g w przedziale − 1;− 15 . Dane są funkcje f ( x) = Odp.: a) x ∈ ( − ∞;0) ∪ (0; 25 ) ; b) Dla x = –1 i x = − 15 funkcja g przyjmuje wartość najmniejszą równą – 6, dla x = − Zad. 66: a) Funkcja f ( x) = 5 5 funkcja ta przyjmuje wartość największą równą − 2 5 . ax + b osiąga dla x = 0 ekstremum równe 1. Znajdź zbiór wartości tej 1 − x2 funkcji. *b) W układzie współrzędnych zaznacz (na oddzielnych rysunkach) zbiory wszystkich punktów 84 (a, b), dla których funkcja f ( x) = ax + b : 1) ma 2 ekstrema, 2) ma 1 ekstremum, 3) nie ma 1 − x2 ekstremum. 1 jest zbiór (– ∞; 0) ∪ 〈1; + ∞). b) 1) Funkcja 1 − x2 a ≠ 0 a ≠ 0 f ma dwa ekstrema, gdy współczynniki a, b spełniają warunki: b > a lub b < a ; 2) b > −a b < −a Funkcja f ma jedno ekstremum, gdy współczynniki a, b spełniają warunki a = 0 i b ≠ 0; 3) a ≠ 0 Funkcja f nie ma ekstremów, gdy współczynniki a, b spełniają warunki: b ≤ a lub b ≥ −a Odp.: a) Zbiorem wartości funkcji f ( x) = a ≠ 0 b ≥ a . b ≤ −a Zad. 67: a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x3 – x2 – x + 1. *b) Określ liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zaleŜności od wartości parametru m. Naszkicuj wykres funkcji, która kaŜdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę pierwiastków tego równania. Odp.: b) Równanie f(x) = m ma jedno rozwiązanie dla m ∈ ( − ∞;0) ∪ ( 32 27 ;+∞) , ma dwa rozwiązania dla m = 0 i dla m = 32 27 oraz trzy rozwiązania dla m ∈ (0; 32 27 ) . Zad. 68: Dana jest funkcja f(x) = x3 + 2x2 + x. a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f . b) Korzystając z wykresu funkcji f , podaj liczbę pierwiastków równania |(x – 1)3 + 2(x – 1)2 + (x – 1)| = k w zaleŜności od wartości parametru k. Odp.: b) RozwaŜane równanie nie ma pierwiastków dla k ∈ (– ∞;0), ma dwa pierwiastki dla k = 0 i k ∈ ( 274 ;+∞) , ma trzy pierwiastki dla k = 274 oraz ma cztery pierwiastki dla k ∈ (0; 274 ) . Zad. 69: a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = – x(x2 – 2x + 1). *b) Określ liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zaleŜności od wartości parametru m. Naszkicuj wykres funkcji, która kaŜdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę pierwiastków tego równania. Odp.: b) Równanie f(x) = m ma jeden pierwiastek dla m ∈ ( − ∞;− 274 ) ∪ ( 0;+∞) , ma dwa pierwiastki dla m = − 274 i dla m = 0, ma trzy pierwiastki dla m ∈ ( − 4 27 ;0) . Zad. 70: Dana jest funkcja f(x) = x3 – 4x2 + 4x. a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f . *b) Podaj liczbę punktów wspólnych wykresu danej funkcji z prostą y = mx w zaleŜności od 85 wartości parametru m. Odp.: b) Wykres funkcji f i dana prosta mają jeden punkt wspólny dla m ∈ (– ∞;0), dwa punkty wspólne dla m = 0 i dla m = 4, trzy punkty wspólne dla m ∈ (0;4) ∪ (4; + ∞). Zad. 71: Dana jest funkcja f ( x) = 3x − 41 x 3 dla x ∈ R. a) Zbadaj przebieg zmienności funkcji f i naszkicuj jej wykres. *b) Określ, dla jakich wartości parametru m równanie f(x) = m ma pierwiastek podwójny. Dla znalezionych wartości m rozwiąŜ równanie f(x) = m. Odp.: b) Dla m = – 4 i m = 4 rozwaŜane równanie ma pierwiastek podwójny. Dla m = – 4 pierwiastkami tego równania są – 2 (pierwiastek podwójny) i 4, a dla m = 4 pierwiastkami są 2 (pierwiastek podwójny) i – 4. Zad. 72: 2x 2 − x 4 . 4 a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f . Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale − 21 ;3 . *b) Korzystając z wykresu funkcji f , określ liczbę rozwiązań równania f(x) = m naleŜących do zbioru (– ∞; – 1) ∪ 〈0;1〉 w zaleŜności od wartości parametru m. Odp.: a) Dla x = 3 funkcja f osiąga w przedziale − 21 ;3 wartość najmniejszą równą − 634 , a Dana jest funkcja f ( x) = dla x = 1 funkcja f osiąga w tym przedziale wartość największą równą 1 4 . b) Równanie f(x) = m, gdzie x ∈ (– ∞; – 1) ∪ 〈0;1〉, nie ma rozwiązań dla m ∈ ( 41 ;+∞) , ma ) jedno rozwiązanie dla m ∈ ( − ∞;0) ∪ { 41 } , ma dwa rozwiązania dla m ∈ 0; 41 . Zad. 73: Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 1 − x2 . x 2 + 6x + 9 86