LISTA 3
Transkrypt
LISTA 3
METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 4 POZIOM ROZSZERZONY – LISTA 3 – Funkcje Zad.1 Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Dziedziną funkcji określonej wzorem: 1. f (x) = q 2. g(x) = 1 x2 +x+1 3. h(x) = ( 3 − |x + 1| jest przedział h−4; 2i; jest zbiór liczb rzeczywistych; 1 dla |x + 3| 6 1 jest zbiór (−∞; −4) ∪ (−2; +∞). x dla (x + 4)(x + 2) > 0. ( |x| dla x ∈ h−1; 2i Na podstawie wykresu x + 2 dla x ∈ h−2; −1). funkcji f narysuj wykres funkcji g(x) = f 12 x i podaj jej wzór. Zad.2 Dana jest funkcja o wzorze f (x) = Zad.3 Wykaż na podstawie definicji, że funkcja o wzorze f (x) = x+1 x−3 jest różnowartościowa w zbiorze R\{3}. Zad.4 Narysuj wykres funkcji f (x) = max{x2 − 2x, −x2 + 4x}. Na podstawie wykresu funkcji zbadaj liczbę rozwiązań równania f (x) = m2 − 1, gdzie m jest parametrem rzeczywistym. Zad.5 Funkcja kwadratowa f (x) = −x2 + (1 − m)x + m + 3 osiąga wartość największą dla tego samego argumentu, dla którego wartość najmniejszą osiąga funcja kwadratowa g(x) = −(m + 1)x2 + (2m − 2)x − 4m. Uzasadnij, że dla dowolnej wartości argumentu prawdziwa jest nierówność f (x) 6 g(x). Zad.6 Dana jest funkcja f (x) = cos x oraz funkcja g(x) = f równanie f (x) = g(x). 1 x 2 . Rozwiąż graficznie i algebraicznie Zad.7 Dane są funkcje f (k) = k 3 oraz g(k) = 2f (k) − f (k − 2), gdzie k ∈ R. Wyznacz wartości k, dla których g(k) = 80. Zad.8 Sporządzając wykresy odpowiednich funkcji wyznacz rozwiązanie równania x2 − 2x − 3 = log2 |x − 1|. Zad.9 Wyznacz dziedzinę funkcji f (x) = log0,5 (6x+1 − 6x−1 − 210). Zad.10 Dana jest funkcja f : h−2π; 2πi → h−1; 1i określona wzorem f (x) = sin x. Naszkicuj wykres funkcji f oraz funkcji g określonej wzorem g(x) = |2 sin x+1|. Podaj zbiór wartości funkcji g. Zad.11 Jaki warunek spełniają współczynniki a i b, jeżeli funkcje określone wzorami f (x) = 3x + b i g(x) = ax − 2 mają to samo miejsce zerowe? Zad.12 Opisz przekształcenie, w którym obrazem wykresu funkcji f (x) = −2x2 jest wykres funkcji g(x) = 2x2 − 6x + 1. Zad.13 Jaki warunek spełnia parametr k, gdy największa wartość funkcji określonej wzorem f (x) = −x2 + 3kx − k + 1 jest większa od 1? Zad.14 Podaj dziedzinę funkcji f określonej wzorem: f (x) = log2 log2 log 1 x. 2 Zad.15 Uzasadnij, że funkcja f określona wzorem f (x) = |x − 3| nie jest funkcją różnowartościową w zbiorze liczb rzeczywistych. Zad.16 Wykaż, że f (x) = 2 x−1 jest malejąca w przedziale (1; ∞). Zad.17 Wykaż, że iloczyn funkcji parzystych określonych na tym samym zbiorze jest funkcją parzystą, a iloczyn funkcji nieparzystych określonych na tym samym zbiorze jest funkcją parzystą. Zad.18 Wykaż, że funkcja określona wzorem f (x) = |x|−4 x2 −4 jest funkcją parzystą. Zad.19 Narysuj wykres funkcji g(x) = sin x dla x ∈ h−2π; 2πi, a następnie sporządź wykresy funkcji g(|x|) i g(−x). Zad.20 Dana jest funkcja f określona wzorem f (x) = x 6= 0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji. |x+3|+|x−3| x dla każdej liczby rzeczywistej