Podstawy rachunku wektorowego Zadania Zad.1 Dane są dwa

Lista 1
Podstawy fizyki I, konwersatorium, wt. 8.30-11.00, czw.8 .30-10.00
prowadzący dr Tomasz Greczyło
Podstawy rachunku wektorowego
Zadania
Zad.1 Dane są dwa wektory: a = axi + ayj + azk oraz b = bxi + byj + bzk. Zapisz za pomocą
składowych sumę wektorów, ich różnicę, iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy.
Zad. 2 Dane są dwa wektory: a = 4i - 3j oraz b = 6i + 8j. Znajdź długość i kierunek wektorów
a, b, a+b, b-a oraz a-b.
Zad. 3 Z podanych niżej wyrażeń wybierz te, które są poprawne. Co jest nie w porządku w
wyrażeniach niepoprawnych? Czy któreś z wyrażeń są sobie równe?
a)
b)
c)
d)
A·(B·C)
(AxB)·C
Ax(BxC)
A·(BxC)
e)
f)
g)
h)
A+(B·C)
A+(BxC)
5+A
5+(B·C)
i) 5+(BxC)
j) (A·B) + (BxC)
Zad.4 Wykaż, że powierzchnia trójkąta zawartego między wektorami a i b jest równa
½ǀa x bǀ.
Zad.5 Wykaż, że wartość bezwzględna iloczynu wektorowego dwóch wektorów równa jest
liczbowo polu równoległoboku, którego bokami są te dwa wektory.
Zad.6 Wykaż dla wektorów a, b, c prawdziwość zależności:
a⋅b = b⋅a
a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c
a×(b+c) = a×b + a×c
Zad.7 Dla wektorów pokazanych na rysunku z prawej
wyznacz odpowiednio wartości lub wartości i kierunki
następujących wektorów
E = A + B + C;
E = A – D – C;
E = D – (B – C).
Zad.8 Dla wektorów pokazanych na rysunku z lewej wyznacz
odpowiednio wartości lub wartości i kierunki następujących
wektorów:
AB; BC; AC; BB; A(CB);
AB; CA; BB; A(BC);
B(AC);
A(BC)
Zad.9 Wektory a i b tworzą kąt θ . Przy jakich wartościach θ suma a + b i różnica a - b, będą
miały wartości minimalne, a przy jakich maksymalne? Dla jakiej wartości θ spełniona jest
równość │a+b│ = │a-b│?
Lista 1
Podstawy fizyki I, konwersatorium, wt. 8.30-11.00, czw.8 .30-10.00
prowadzący dr Tomasz Greczyło
Zad.10 Przygotowując się do egzaminu na
ratownika, pływak postanawia najpierw
przepłynąć drogę ABA (patrz rys.), a później
drogę ACA (AB = AC = l). Startuje z punktu A do
punktu B położonego naprzeciw A na drugim
brzegu rzeki i po dopłynięciu do B natychmiast
wraca do A. Po odpoczynku znowu płynie, lecz
tym razem z A do C i z C do A. Przepływa więc jedną część drogi pod prąd, a drugą z prądem.
W którym przypadku pokona dystans w krótszym czasie? Prędkość wody w rzece wynosi v, a
prędkość pływaka na stojącej wodzie c.
Zad.11 Żaglowiec ma dopłynąć do punktu odległego o 120 km w kierunku na północ.
Niespodziewany sztorm spycha go o 100 km na wschód od punktu wyjściowego.
a) Jaką drogę musi teraz przebyć żaglowiec?
b) W jakim kierunku musi płynąć, aby dotrzeć do ustalonego celu podróży?
Zad.12 Wektor powierzchni S to wektor charakteryzujący powierzchnię – ma on długość
równą polu powierzchni i jest skierowany prostopadle do niej. Jeżeli powierzchnia jest
powierzchnią bryły, to wektor S jest skierowany na zewnątrz bryły.
Sześcian jest umieszczony w początku układu współrzędnych, wektor B skierowany jest w
dodatnim kierunku osi x. Oblicz iloczyn B·S dla każdej ściany sześcianu wiedząc, że
powierzchnia ściany jest równa S.
Pytania
Pyt. 1 Czy możesz znaleźć dwa wektory o równej długości, których suma wektorowa wynosi
zero?
Pyt.2 Jakie warunki muszą spełniać długości trzech wektorów, aby ich wektorowa suma była
zerem?
Pyt.3 Jakie, znane Ci wielkości fizyczne opisywane są przy użyciu iloczynu wektorowego?
Pyt.4 Jakie, znane CI wielkości fizyczne opisywane są przy użyciu iloczynu skalanego?