Wektory i skalary

Wektory i skalary
1. Dane są dwa wektory:
r r
r r
r
r
r
a = 3i + 4 j + 5k i b = −i + k
Oblicz
a) długość każdego wektora,
r r
r r
b) a + b oraz a − b
r r
c) iloczyn skalarny a • b
d) kąt zawarty między wektorami,
r r
r r
e) iloczyn wektorowy a × b oraz b × a
2. Dwie cząstki zostały wysłane z początku układu współrzędnych i po pewnym czasie
ich położenia opisane są wektorami
r r
r
r
r
r
r
r
r1 = a1i + a 2 j + a3 k i r2 = b1i + b2 j + b3 k
gdzie a1 = 4, a2 = 3, a3 = 8
b1 = 2, b2 = 10, b3 = 5
Oblicz
a) długości wektorów,
r
b) wektor położenia cząstki pierwszej względem drugiej r ,
c) kąty między wszystkimi parami tych wektorów,
r
r
d) rzut wektora r1 na r2 ,
r r
e) iloczyn wektorowy r1 × r2 .
r
r r
r
3. Dany jest wektor: a = 3i + j + 2k
a) Ile wynosi długość rzutu tego wektora na płaszczyznę xy ?
r
r
r r
r r
r
b) Czy wektor b o postaci b = bi + bj i własności a × b = 0 jest prostopadły do a ?
4. Promień wodzący punktu materialnego zmienia się w czasie w następujący sposób:
𝑟⃗ = 5𝑡 𝚤 ⃗ + exp(−𝑡) 𝚥 ⃗ + sin(4𝑡) 𝑘⃗
Znajdź zależność od czasu prędkości punktu materialnego oraz jego przyspieszenia.
5. Dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami
rm
vm
r
r
vA = 2 i
v B = 3j
s
s
W chwili t = 0 są one w punktach o współrzędnych: xA= –3 m, yA = 0, xB = 0,
yB = –3 m
r r
Znaleźć wektor: rA − rB
który określa położenie cząstki B względem A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie obie te
cząstki będą najbliżej siebie?
6. Samolot przebywa odległość 130 km, lecąc wzdłuż linii prostej tworzącej kąt 22,50 z
północą, w kierunku północno-wschodnim. Jak daleko na wschód i jak daleko na północ
oddali się on od swego początkowego położenia?
7. Samochód jedzie po poziomej drodze prosto na wschód, przebywając odległość 30
km. Następnie skręca na północ i jadąc dokładnie w kierunku północnym przebywa
drogę równą 40 km, po czym zatrzymuje się. Znaleźć wypadkowe przemieszczenie
samochodu.
8. Zależność przebytej przez ciało drogi od czasu t podaje równanie: s = a – bt + ct ,
gdzie
a = 6 m, b = 3 m/s, c = 2 m/s. Wyznaczyć wartość prędkości po upływie czasu
t = 2 s.
9. Cząstka porusza się w płaszczyźnie x,y tak, że jej wektor położenia jest określony
równaniem :
𝑟⃗ = 𝑎[cos(𝜔𝑡) 𝚤 ⃗ + sin(𝜔𝑡) 𝚥]⃗
Udowodnij, że w tym ruchu
r
a) prędkość vr jest prostopadła do r ,
r
b) przyspieszenie a jest skierowane do środka układu, znaleźć jego wartość,
r r r
c) L = r × v jest stałym wektorem, znaleźć jego wartość.
10. W chwili początkowej samochód znajdował się w odległości d = 4 km na wschód
od ruin zamku. Samochód przebył drogę S1 = 1 km jadąc na wschód, następnie S2 = 5
km jadąc na północ i w końcu S3 = 4 km jadąc w kierunku odchylonym o kąt α = 30 0
od wschodu ku południu.
1) Znaleźć w kartezjańskim dwuwymiarowym układzie współrzędnych o początku
w miejscu położenia ruin zamku i osi Ox zwróconej w kierunku wschodnim, zaś osi Oy
zwróconej w kierunku północnym
a) wypadkowe przemieszczenie samochodu licząc od punktu startu
r
b) promień wodzący rk określający położenie samochodu po przebyciu całej drogi.
2) Określić całkowitą drogę pokonaną przez samochód.
11. Czółno porusza się z jednego na drugi brzeg rzeki o szerokości d = 30 m
z prędkością własną (mierzoną względem wody) o wartości Vc = 3m / s skierowaną
prostopadle do brzegu rzeki. Wskutek prądu rzeki czółno po dotarciu do przeciwnego
brzegu rzeki znalazło się w odległości l = 20 m poniżej miejsca leżącego naprzeciw
miejsca wyruszenia czółna. Określić wartość prędkości prądu rzeki.
12. Po obu brzegach rzeki o szerokości d znajdują się naprzeciwko siebie dwie
przystanie. Wartość prędkości prądu rzeki wynosi Vr . W jakim kierunku winna płynąć
łódź przewoźnika, aby przepłynąć rzekę wzdłuż linii prostej łączącej obie przystanie?
Określić wartość wypadkowej prędkości, z jaką będzie się wówczas poruszać łódź w
poprzek rzeki oraz czas po którym przepłynie przez rzekę. Wartość prędkość łodzi
względem wody wynosi Vl .
13. Pierwszą połowę drogi pojazd przebył z prędkością o wartości V1 = 18 km/h,
a drugą z prędkością o wartości V2 = 9 km/h. Obliczyć średnią wartość prędkości
pojazdu na trasie. Na wykresie zależności wartości prędkości od czasu przedstawić
geometrycznie drogę przebytą przez pojazd.
14. Biegacz przebiegł dwie trzecie trasy z prędkością o wartości V1 = 18 km/h,
a pozostałą cześć trasy z inną prędkością V2. Gdyby biegł cały czas z prędkością
o wartości V = 12 km/h to czas potrzebny na przebycie całej drogi nie zmieniłby się.
Obliczyć wartość prędkości V2.