Algebra F2 Kolokwium poprawkowe
Transkrypt
Algebra F2 Kolokwium poprawkowe
Algebra F2 Kolokwium poprawkowe - zadania przykładowe 1. Liniowa kombinacja wektorów / liniowa niezależność wektorów a) Wektor (1, 0, 0, 0) przedstaw jako liniową kombinację wektorów (1, 0, 0, 2),(0, 2, 0, 0), (2, −4, 3, 4), (0, 0, 6, 1). b) Wektor (2, 4, 4, −2) przedstaw jako liniową kombinację wektorów (1, 2, 0, 1),(3, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 4), (0, 0, 5, 0). c) Zbadaj liniową niezależność następującego zbioru wektorów z R4 : {(1, 0, 2, −1), (1, 1, 0, 2, ), (0, 2, 1, 3), (2, 5, 4, 7)} 2. Operacja generowania / generatory / powłoka liniowa jako podprzestrzeń (podprzestrzeń jako powłoka) a) Czy wektor (1, 0, 0, 0) należy do przestrzeni liniowej lin {(1, 0, 1, −1), (2, 1, 5, −2), (1, 0, 3, −5), (0, 1, 2, 2)} ? b) Czy generatory powłoki liniowej lin {(1, 4, 2, −1, 3), (2, 9, 6, −2, 8), (1, 2, −1, −1, 0), (−2, −7, 1, 3, −1)} są liniowo niezależne? c) Znajdź generatory przestrzeni liniowej V = {(r + 2s, s + t, 2t − r, 3r + s − 5t) : r, s, t ∈ R} i sprawdź, że wektor (1, −1, −3, 8) ∈ V . d) Znajdź generatory przestrzeni liniowej n V = (x, y, z, s, t) ∈ R5 : x − y = z + t = y − s − t o i sprawdź, że wektor (3, 4, −1, 5, 0) ∈ V . 3. Baza uporządowana i wymiar / składowe (współrzędne) wektora / bazy standardowe w Rn i Rn [x] a) Znajdź bazę i określ wymiar przestrzeni liniowej U = {(r + 2s + 3t, 2r − 2s, 3r + 3t, s + t) : r, s, t ∈ R} ⊂ R4 , a następnie podaj współrzedne (składowe) wektora (1, 8, 9, −1) w tej bazie. b) Znajdź składowe wektora (4, 6, 3, −2) w wybranej bazie przestrzeni liniowej n V = (r, s, t, u) ∈ R4 : s + 2u = r + u = r − 2s − 5u o c) Wyznacz składowe (współrzędne) wektora (1, −5, 3) w bazie {(2, −1, 3), (1, 0, 2), (1, 2, 1)} przestrzeni R3 . d) Znajdź dim (lin {(1, −2, 0, 1, 1), (1, −1, 1, 0, 2), (3, −4, 2, 1, 5), (1, −3, −1, 2, 0)}). 4. Zmiana bazy / macierz przejścia a) Znaleźć macierz przejścia z bazy B do bazy B 0 przestrzeni liniowych V : a1) V = R2 , B = Bstand , B 0 = {(1, 2), (−3, 5)} 1 a2) V = R2 , B = {(0, 1), (−1, 0)} , B 0 = {(1, 2), (−3, 5)} a3) V = R3 , B = Bstand , B 0 = {(3, 2, 1), (2, 1, 1), (0, 3, 5)} b) Znajdź zkładowe (współrzędne) podanych wektorów we wskazanych bazach przestrzeni liniowej V , wykorzystując macierz przejścia z bazy standardowej do bazy podanej b1) V = R2 , ~v = (−3, 2), B 0 = {(1, 1), (1, −2)} b2) V = R3 , ~v = (−2, 5, 6), B 0 = {(1, 1, 0), (2, 1, 0), (3, 3, 1)} 5. Jądro i obraz operatora liniowego jako podprzestrzenie a) Znajdź KerL i ImL a1) L(x, y) = (2x − y, 3x + 5y) a2) L(x, y) = x + y a3) L(x, y) = (x, −x, y, −y) a4) L(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x) 6. Wyznacz wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych operatora liniowego a) L : R3 → R3 , L(x, y, z) = (x − 2y + z, x − 2y + z, x − 2y + z); b) L : R3 → R3 , L(x, y, z) = (z − x, 2x − 2z, 2z − 2x); c) L : R3 → R3 , L(x, y, z) = (x + 2y + 3z, 2y, −z); 7. Diagonalizując macierz A wyznaczyć " n A 1 1 # " , gdzie A= 2 2 2 −1 # Obliczenia wykonać dla n = 5. (Odp.: [298,133]) 8. Sprawdzić, że podane zbiory wektorów są bazami ortogonalnymi lub ortonormalnymi w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych i wyznaczyć współrzędne wskazanych wektorów w tych bazach: (a) ~v1 = ( √13 , − √13 , √13 ), ~v2 = ( √214 , √314 , √114 ), ~v3 = ( √−4 , √142 , √542 ), ~u = (3, 2, 1) ∈ E3 ; 42 (b) ~v1 = (2, 1, 1, 0), ~v2 = (0, 1, −1, 3), ~v3 = (2, −5, 1, 2), ~v4 = (−11, 2, 20, 6), ~u = (1, 0, 0, −1) ∈ E3 ; n o 9. Sprawdzić, czy zbiór funkcji 1, x, x2 − 13 , x3 − 35 x jest ortogonalny w przestrzeni R4 [x] z iloczynem R1 skalarnym hp(x)|q(x)i = −1 p(x)q(x)dx. Wyznaczyć normy wszystkich funkcji. 1 10. W przestrzeni R3 [x] zdefiniowany jest iloczyn skalarny jako hp(x)|q(x)i = −1 p(x)q(x)dx. Wykonano częściowo ortogonalizację Grama-Schmidta wektorów 1, x, x2 , x3 uzyskując trzy pierwsze wektory ortogonalne: 1, x, x2 − 13 . (1) sprawdzić ortogonalność wektorów 1, x, x2 − 13 i wyznaczyć ich normy; (2) zortogonalizować ostatni wektor (x3 ). R 11. Zortogonalizować metodą Grama-Schmidta podane wektory w E4 (2, 1, 0, 0), (3, 2, 1, 0), (4, 3, 2, 1). Na koniec sprawdzić ortogonalność uzyskanych wektorów. 2