Algebra F2 Kolokwium I - zadania przykładowe 1. Liniowa

Algebra F2
Kolokwium I - zadania przykładowe
1. Liniowa kombinacja wektorów / liniowa niezależność wektorów
a) Wektor (1, 0, 0, 0) przedstaw jako liniową kombinację wektorów (1, 0, 0, 2),(0, 2, 0, 0), (2, −4, 3, 4),
(0, 0, 6, 1).
b) Wektor (2, 4, 4, −2) przedstaw jako liniową kombinację wektorów (1, 2, 0, 1),(3, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 4),
(0, 0, 5, 0).
c) Wektor x2 − 4 z przestrzeni R2 [x] przedstaw jako liniową kombinację wektorów x2 + 2, x2 + x,
2x2 − x + 3 tej przestrzeni.
d) Zbadaj liniową niezależność następującego zbioru wektorów z R4 :
{(1, 0, 2, −1), (1, 1, 0, 2, ), (0, 2, 1, 3), (2, 5, 4, 7)}
e) Zbadaj, w zależności od parametru q, liniową niezależność wektorów z R3 :
{(2, q, −2), (q, 1, −q), (q, 3, −q)}
f) Zbadaj liniową niezależność zbioru wektorów przestrzeni R3 [x]:
n
x3 + 2x2 , x3 + x, x2 + 3, 2x + 1
o
g) Dla jakiej wartości parametru q podane wektory z przestrzeni R2 [x] są liniowo niezależne:
x2 − qx + q 2 , −x2 + q 2 x + q 4 , x2 − q 3 x + q 6 ?
g’) Dla jakiej wartości parametru q podane wektory z przestrzeni R2 [x] są liniowo niezależne:
x2 − qx + q 2 , x2 + q 2 x + q 4 , x2 − q 3 x + q 6 ?
2. Operacja generowania / generatory / powłoka liniowa jako podprzestrzeń (podprzestrzeń jako powłoka)
a) Czy wektor (1, 0, 0, 0) należy do przestrzeni liniowej
lin {(1, 0, 1, −1), (2, 1, 5, −2), (1, 0, 3, −5), (0, 1, 2, 2)} ?
b) Czy wektor x2 − x − 1 należy do przestrzeni liniowej
n
lin x2 − 1, 2x2 + x + 2, 3x + 4
o
?
c) Czy generatory powłoki liniowej
lin {(1, 4, 2, −1, 3), (2, 9, 6, −2, 8), (1, 2, −1, −1, 0), (−2, −7, 1, 3, −1)}
są liniowo niezależne?
d) Czy generatory przestrzeni liniowej
n
o
lin x3 − x2 + 1, x3 + 2x + 1, x3 − x2 + x + 3, 2x2 + 3x − 2
są liniowo niezależne?
e) Znajdź generatory przestrzeni liniowej
V = {(r + 2s, s + t, 2t − r, 3r + s − 5t) : r, s, t ∈ R}
i sprawdź, że wektor (1, −1, −3, 8) ∈ V .
1
f) Znajdź generatory przestrzeni liniowej
n
o
V = (x, y, z, s, t) ∈ R5 : x − y = z + t = y − s − t
i sprawdź, że wektor (3, 4, −1, 5, 0) ∈ V .
g) ♣ Znajdź generatory zbioru
V = {q ∈ R4 [x] : q(3x) = 3q(x)}
h) ♣ Znajdź generatory zbioru
V = {p ∈ R4 [x] : p(1) + p0 (0) = p0 (1) + p00 (0) = 0}
i zbadaj ich liniową niezależność.
3. Baza uporządowana i wymiar / składowe (współrzędne) wektora / bazy standardowe w Rn i Rn [x]
a) Znajdź bazę i określ wymiar przestrzeni liniowej
U = {(r + 2s + 3t, 2r − 2s, 3r + 3t, s + t) : r, s, t ∈ R} ⊂ R4 ,
a następnie podaj współrzedne (składowe) wektora (1, 8, 9, −1) w tej bazie.
b) Znajdź składowe wektora (4, 6, 3, −2) w wybranej bazie przestrzeni liniowej
n
V = (r, s, t, u) ∈ R4 : s + 2u = r + u = r − 2s − 5u
o
c) Wyznacz składowe (współrzędne) wektora (1, −5, 3) w bazie {(2, −1, 3), (1, 0, 2), (1, 2, 1)} przestrzeni R3 .
d) ♣ Wyznacz składowe wektora 2x2 + x2 − 4x − 3 w wybranej bazie przestrzeni liniowej
V = {q ∈ R3 [x] : q(1) = q 0 (0)}
e) ♣ Znajdź bazę i wymiar przestrzeni liniowej V = {q ∈ R3 [x] : q 0 (2) = 0}, a następnie podaj składowe wektora x3 − 3x2 + 5 w tej bazie.
f) Znajdź takie wartości parametru p, dla których wielomian x2 + px + p2 wraz z wielomianami
2x2 + 2x + 1 i x2 − x + 1 tworzy bazę przestrzeni R2 [x]
g) Znajdź dim (lin {x3 + 2x2 , x3 + x, x2 + 3, 2x + 1}).
h) Znajdź dim (lin {(1, −2, 0, 1, 1), (1, −1, 1, 0, 2), (3, −4, 2, 1, 5), (1, −3, −1, 2, 0)}).
4. Zmiana bazy / macierz przejścia
a) Znaleźć macierz przejścia z bazy B do bazy B 0 przestrzeni liniowych V :
a1) V = R2 , B = Bstand , B 0 = {(1, 2), (−3, 5)}
a2) V = R2 , B = {(0, 1), (−1, 0)} , B 0 = {(1, 2), (−3, 5)}
a3) V = R3 , B = Bstand , B 0 = {(3, 2, 1), (2, 1, 1), (0, 3, 5)}
a4) V = R2 [x], B = Bstand , B 0 = {1, 1 + x, 1 + x + x2 }
a5) V = R2 [x], B = {1 + x, x + x2 , 1 + x2 } , B 0 = {1, 1 + x, 1 + x + x2 }
b) Znajdź zkładowe (współrzędne) podanych wektorów we wskazanych bazach przestrzeni liniowej V ,
wykorzystując macierz przejścia z bazy standardowej do bazy podanej
b1) V = R2 , ~v = (−3, 2), B 0 = {(1, 1), (1, −2)}
b2) V = R3 , ~v = (−2, 5, 6), B 0 = {(1, 1, 0), (2, 1, 0), (3, 3, 1)}
b3) V = R2 [x], q = 1 + 4x + 2x2 , B 0 = {1 + x + x2 , 2 + 3x, −1 + x + 2x2 }
2
5. Przekształcenie liniowe (operator liniowy)
a) Sprawdź, że podane operatory są liniowe
a1) L(x, y) = (3x − 2y, x + 5y)
a2) L(x, y, z) = (x + y, x − 2y)
a3) L[q(x)] = q 00 (x), q ∈ R4 [x]
a4) Lf =
Rb
a
f (x)dx, f ∈ C[a, b]
b) Uzasadnij, korzystając z warunku koniecznego liniowości, że podane przekształcenie nie jest liniowe
b1) L(x, y, z) = (x + y + 1, y − z, z + 2x)
b2) L[f (x)] = cos[f (x)], f ∈ C[R]
6. Jądro i obraz operatora liniowego jako podprzestrzenie
a) Znajdź KerL i ImL
a1) L(x, y) = (2x − y, 3x + 5y)
a2) L(x, y) = x + y
a3) L(x, y) = (x, −x, y, −y)
a4) L(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x)
a5) L[p(x)] = p00 (x) dla p ∈ R3 [x]
b) Wyznacz dim(KerL), dim(ImL) dla
b1) L(x, y, z) = (x − 3y + 2z, −2x + 6y − 4z)
b2) L(x, y, z) = (x − y, x − z, y − z, y − x)
b3) L[p(x)] = x · p0 (x) dla p ∈ R5 [x]
7. Macierz operatora liniowego
a) Napisz macierz operatora w bazach standardowych
a1) L(x, y, z) = (2x, 3x + y, y + z)
a2) L(x, y) = (x + y, 3x − y, 2x)
a3) L[p(x)] = (x + 1)p(x) dla p ∈ R1 [x]
a4) L : R3 → R3 , L jest obrotem o kąt
π
6
wokół osi Oz
a5) podpunkty z następnego zadania
b) Znajdź macierz przekształcenia liniowego (operatora) L : U → V we wskazanych bazach BU , BV
b1) L : R3 → R3 , L(x, y, z) = (x, y, 0), BU = {(1, 2, 0), (0, −1, 1), (0, 2, −1)},
BV = {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0)}
b2) L : R2 → R4 , L(x, y) = (x, −y, x + y, x − y), BU = {(1, 1), (−1, 1)},
BV = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}
n
o
b3) L : R3 [x] → R2 [x], L[p(x)] = p0 (x − 1), BU = 1, x, 12 x2 , 13 x3 , BV = Bstand {1, x, x2 }
♣ - wskazówka - przykład: niech p ∈ R4 [x], wtedy p = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Z warunków zadania
otrzymujemy równania na a, b, c, d, e. Niech będą one przykładowo takie a = b = 0, e = −c − d. Wtedy
p = cx2 + dx − c − d = c(x2 − 1) + d(x − 1), czyli lin {x2 − 1, x − 1}.
3