Zadania2016

Metoda elementów skończonych 1 --maj 2016
Zadania
1. Porównaj rozwiązania ugięć belki zginanej : ścisłe (metodami Wytrzymałości Materiałów),
metodą Ritza (funkcja ugięcia z dwoma parametrami), metodą elementów skończonych (1 lub
2 elementy belkowe). Przedstaw graficznie otrzymane rozkłady ugięcia belki, momentu gnącego
i siły tnącej.
Jaką funkcje aproksymujacą dla linii ugięcia trzeba przyjąć, by uzyskać rozwiązanie ścisłe?
E, I
p0
l
Rys.1.
2. Stosując model złożony z dwóch elementów pręta rozciąganego (moduł Younga E, pole
przekroju A, długość l, gęstość ρ) znajdź całkowite wydłużenie:
a) liny wiszącej w polu grawitacyjnym , b) wirującego z prędkością ω pręta
Wynik porównaj z rozwiązaniem analitycznym i rozwiązaniem metodą Ritza (funkcja z
dwoma parametrami).
3. Znaleźć równoważne siły węzłowe F3, F4 w modelu MES belki. Przedstawić i rozwiązać
układ równań liniowych MES (2 równania po uwzględnieniu warunków podparcia). Podać
wartości przemieszczeń q3, q4.
p0- ciśnienie (N/m) - kierunek do belki
l
2l
F4, q4
F3, q3
P
1
1
2
2
3
P0
E,J
ξ
Rys.2.
Rys.3.
Jak zmieni się wynik, gdy belka będzie podparta w środku na sprężynie o sztywności k?
4. Sformułuj wynikowy układ r-ń MES [K]{x}={b} przy modelu o minimalnej liczbie
elementów skończonych, dla przedstawionych na rysunku ustrojów (po redukcji liczby równań
po uwzględnieniu warunków podparcia).
F
E, I
p0
p0
l
k1
1
l
l
l
F=po ll
a)
Rys.4.
5.
E, I
b)
M
Rys.5.
a) Wykaż, że macierz sztywności elementu belki zginanej jest osobliwa
b) Wyprowadź wzór na macierz sztywności pręta skręcanego (sztywność
przekroju na skręcanie- GIs ).
k2
6. Przedstaw równanie różnicowe dla węzła i metody różnic skończonych dla równania
różniczkowego
d 4 w( x )
EI
= p( x )
dx 2
P0
P
k
α
y
l
P0
x
Rys.6.
Rys.7.
Rys.8.
7. Sformułować układ 2 równań MES (po uwzględnieniu warunków podparcia) i znaleźć wektor
przemieszczenia obciążonego węzła kratownicy (Rys.6). Pręty mają moduł Younga E i pole
przekroju A, α=45°. Sztywność sprężyny k=EA/l.
8. Podać składowe stanu odkształcenia (εx, εy, εz ) , stanu naprężenia (σx, σy, σz ) i gęstość
energii odkształcenia sprężystego U’ kwadratowej próbki (Rys.7). Przyjąć , że próbka pozostaje
w płaskim stanie odkształcenia (εz=0). Dane materiałowe: E,ν.
9. Zaproponuj niezbędne warunki podparcia dla płaskiego modelu obciążonego w sposób
samozrównoważony (Rys.8). Dlaczego takie warunki są konieczne?
P0
Rys.9.
10. Znaleźć składowe stanu odkształcenia (εx, εy, εz ) , stanu naprężenia (σx, σy, σz ) i gęstość energii
odkształcenia sprężystego U’ kwadratowej próbki obciążonej ciśnieniem p0 (Rys.9.). Przyjąć , że próbka
pozostaje w płaskim stanie naprężenia i podparta została bez luzów i bez tarcia w nieodkształcalnym
otoczeniu . Dane materiałowe: E,ν.
11. Wyprowadzić wzór na macierz stałych sprężystych [D] dla płaskiego stanu odkształcenia wychodząc
z prawa Hooke’a dla trójwymiarowego stanu naprężenia.
Kolokwium
2 proste zadania podobne do przedstawionych wyżej + pytanie o charakterze teoretycznym