e - Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej

Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej
Wydział Mechaniczny Technologiczny
Politechnika Śląska
www.imio.polsl.pl
fb.com/imiopolsl
twitter.com/imiopolsl
LABORATORIUM
WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Zastosowanie
metody elementów skończonych
do rozwiązywania układów prętowych
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
2
1. CEL ĆWICZENIA



Zapoznanie się z metodą elementów skończonych w aspekcie zastosowania do rozwiązywania układów prętowych.
Zapoznanie się z pakietem metody elementów skończonych (PROZC, KRATA, BELKA,
RAMA2D, PRO-MES, ABC, PATRAN lub podobne) i jego obsługą w przypadku zagadnień prętowych.
Wyznaczenie rozkładu przemieszczeń i naprężeń w ramach i kratownicach statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych.
2. WPROWADZENIE
Metoda elementów skończonych (MES) jest jedną z najczęściej stosowanych metod komputerowych (numerycznych) służących do rozwiązywania tzw. zagadnień brzegowych mechaniki. Istota metody sprowadza się do zastąpienia modelu ciągłego układu mechanicznego
modelem dyskretnym. Model dyskretny przyjmuje w rezultacie postać układu równań algebraicznych.
W niniejszym rozdziale przedstawiono zastosowanie MES do rozwiązywania układów
prętowych, w tym prętów rozciąganych (ściskanych), belek, kratownic i ram.
Podstawy teoretyczne metody elementów skończonych dla układów prętowych przedstawiono w literaturze zamieszczonej na końcu rozdziału. W niniejszym rozdziale przedstawiono
metodę elementów skończonych wykorzystując koncepcję całki ważonej oraz tzw. sformułowanie słabe, które szczegółowo przedstawiono w [2]. Inne, alternatywne sformułowanie, równoważne niniejszemu, można wyprowadzić z warunku minimalizacji energii potencjalnej.
3. PODSTAWY TEORETYCZNE
3.1 Metoda elementów skończonych dla prętów rozciąganych (ściskanych) i kratownic
Rozważany jest pręt prosty o zmiennym przekroju A(x) i długości L, wykonany z materiału
o module Younga E, obciążony obciążeniem ciągłym q(x) rozłożonym wzdłuż długości pręta
i siłą Q0 na końcu (rys. 1a, b).
Pole przemieszczeń osiowych spełnia następujące równanie różniczkowe
d 
du( x ) 
 a( x)
  q( x )  0
dx 
dx 
dla
0 x L,
(1)
które należy uzupełnić warunkami brzegowymi w postaci:
u(0)  u0 ,
 du 
a 
 dx 
 Q0 ,
(2)
x L
gdzie:
a = a(x)=A(x)E – sztywność na rozciąganie.
Aby rozwiązać równanie (1), tzn. znaleźć pole przemieszczeń u(x) przy warunkach brzegowych (2), dzieli się obszar pręta (x) na N odcinków o długości he , e = 1,2,...,N, które
nazywa się elementami skończonymi (rys. 1c).
Rozważmy typowy element skończony e = (xA, xB) = (xe, xe+1), którego końce mają współrzędne x = xA i x = xB (rys. 2a).
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
3
Oznaczmy przemieszczenia węzłowe uie i siły normalne Qie , i = 1,2, zdefiniowane na rys.
2b. Poszukiwane pole przemieszczeń na elemencie e aproksymować będziemy za pomocą
n
pewnego wielomianu potęgowego u( x )  U   u ej N j ( x ) , gdzie u ej są nieznanymi wartośe
j 1
ciami węzłowymi przemieszczeń, natomiast N ( x ) są funkcjami interpolacyjnymi zwanymi
także funkcjami kształtu.
Wówczas równanie różniczkowe (1) spełnione jest na elemencie e tylko w sposób przybliżony. W celu obliczenia nieznanych wartości przemieszczeń węzłowych u ej żądamy, aby
e
j
równanie różniczkowe (1) spełnione było przez przybliżenie U e w sensie tzw. całki ważonej,
która określona jest następująco:
xB
d
du

 w( x)  dx a dx  q dx  0 ,
(3)
xA
gdzie w(x) – tzw. funkcja ważona.
a)
 du 
Q0   a 
 dx 
x
L
b)
q(x)
u = u0  0
a
c)
= u0  0
x
h1
du
 Q0
dx
h2
1 2 2
q(x)
he
hN
... e e e+1 ...
Numer elementu
N N+1
Numer węzła
Rys. 1. a) Pręt rozciągany; b) idealizacja matematyczna;
c) dyskretyzacja elementami skończonymi
xL
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
4
Całkując równanie (3) przez części otrzymuje się:
xB
 dw du

0   a
 wq  dx  w( x A )QA  w( xB )QB ,
dx dx

xA 
(4)
gdzie:
 du 
QA   a 
,
 dx  x A
 du 
 QB   a 
 dx  xB
(5)
są siłami normalnymi w węzłach elementu.
Równanie (4) nazywa się sformułowaniem słabym zagadnienia brzegowego opisanego
równaniem różniczkowym (1) z warunkami brzegowymi (2). Termin „sformułowanie słabe”
pochodzi od tego, że w równaniu (4) „słabsze” są wymagania dotyczące różniczkowalności
pola przemieszczeń u(x).
xB
a)
xA
he
A
x
B
x
x 0
x  x  xA
x  he
b)
 du 
Q1e    a 
 dx 
u( x A )  u1e
x  xA
1
u( xB )  u2e
2
 du 
Q2e   a 
 dx 
x  xB
Rys. 2. a) Typowy element skończony; b) definicja przemieszczeń i sił węzłowych
W równaniu różniczkowym (1) u(x) musi być funkcją dwukrotnie różniczkowalną, natomiast w sformułowaniu słabym (4) wymaganie różniczkowalności obniżone jest o jeden rząd
i funkcja U e, aproksymująca pole przemieszczeń u(x) na elemencie skończonym e, może
być funkcją liniową i przyjmuje postać:
2
U e ( x )  N1e ( x )u1e  N 2e ( x )u2e   N ej ( x )u ej ,
(6)
j 1
gdzie funkcje kształtu (funkcje interpolacyjne) wyrażają się wzorami:
N 1e ( x ) 
xB  x
,
xB  x A
N 2e ( x ) 
x  xA
xB  x A
(7)
W metodzie elementów skończonych podstawowe równania metody wyprowadzić można
korzystając ze sformułowania słabego (4) przyjmując, że pole przemieszczeń aproksymowane
jest przybliżeniem (6), a funkcja wagowa wyrażona jest przez funkcję kształtu, tzn.
w( x)  N1e ( x) i w( x)  N 2e ( x) . Otrzymuje się wówczas dwa równania, które w postaci macierzowej przyjmują postać:
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
5
 K e  u e    f e   Q e ;
(8)
gdzie:
 K e    Kije  – kwadratowa macierz sztywności elementu zdefiniowana następująco:
e
he 
 dN ie dN ej 
dN ie dN j 
a
dx

a
x  e dx dx  0  e dx dx  dx



e 
– macierz kolumnowa sił określona zależnością:
Kije 
f f 
e
e
i
xe 1
fi 
xe 1
(9)
he
 q N dx   q N dx
e
e
i
e
e
i
e
xe
(10)
0
oraz:
2
N
j 1
e
j
( xie )Q ej  Qie ,
(11)
przy czym he  xB  x A  xe1  xe jest długością e-tego elementu skończonego.
Macierze  K e  i  f e  dla liniowych funkcji kształtu (7) mają postać:
a  1 1
 K e   e 
,
he  1 1 
 f   q 2h
e
e e
(12)
1

1
(13)
Macierz sztywności elementu (12) jest macierzą symetryczną. W równaniach (9), (10),
(12) i (13) przyjęto, że ae i qe przyjmują stałe wartości na e.
W przypadku kratownicy (układu prętowego wykonanego z prętów połączonych przegubowo i przenoszących tylko rozciąganie bądź ściskanie) przemieszczenia węzłowe i siły węzłowe wygodnie jest przedstawić w każdym węźle za pomocą dwóch składowych w układzie
lokalnym (rys. 3a) jak i globalnym (rys. 3b).
y
u4e
2
y
u
e
2
e
1
u
e
u3e x
Q3e
y
u4e
Q3e
Q4e

u
e
2
e
1
Q
1
e
1
Q
he
e
2
Q
u3e
Q4e
e
1
u
1
Q2e
x
0

2
x
0
a)
b)
Rys. 3. Element skończony kratownicy:
a) w układzie lokalnym; b) w układzie globalnym
Zależność między przemieszczeniami węzłowymi i siłami węzłowymi w układzie lokalnym (rys. 3a) ma postać:
 K e  u e   Q e 
(14)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
6
Macierz sztywności elementu kratownicy w układzie lokalnym  K e  jest wyrażona następująco:
1

EA
 K e   e e 
he 


0
0
sym.
1 0
0 0
,
1 0

0
(15)
gdzie:
EeAe – sztywność na rozciąganie (ściskanie) e-tego elementu kratownicy;
he – długość e-tego elementu kratownicy.
W układzie globalnym (rys. 3b) macierzowe równanie dla e-tego elementu ma postać:
 K e  u e   Q e ,
(16)
gdzie macierz sztywności elementu:
T
 K e   T e   K e  T e 
(17)
Macierz transformacji T e  ma postać:
 cos 
  sin 
T e   
 0

 0
sin 
cos 
0
0
0
0
cos 
 sin 
0 
0 

sin  

cos  
(18)
Szczegółowy opis metody elementów skończonych dla pręta rozciąganego (ściskanego)
i płaskiej kratownicy można znaleźć w pracy [2]. Edukacyjne programy MES do obydwu zagadnień (odpowiednio PROZC i KRATA) znajdują się na stronach internetowych:
http://dydaktyka.polsl.pl/mes.
3.2 Metoda elementów skończonych dla prętów zginanych i ram
Rozważany jest pręt prosty (belka) o zmiennej sztywności b(x)=EI(x) (E – moduł Younga,
I – moment bezwładności) i długości L, obciążony obciążeniem ciągłym o intensywności q(x)
oraz siłą F0 i momentem M0 na końcu (rys. 4a).
Pole przemieszczeń poprzecznych (ugięć) v = v(x) spełnia równanie różniczkowe:
d2 
d 2v ( x ) 
b
(
x
)
 q( x ) dla 0<x<L
dx 2 
dx 2 
(19)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
7
Równanie (19) należy uzupełnić warunkami brzegowym:

v (0)  v0 ,
b
2
d v
dx 2
xL
 M0,
b
dv
dx
x 0
3
d v
dx 3
xL

 0 



 F0 

(20)
Między momentami gnącymi M, siłami poprzecznymi T i obciążeniami ciągłymi q(x) zachodzą następujące relacje (rys. 11.4b):
M  b
d 2v
dM
, T
,
2
dx
dx
dT
 q
dx
(21)
a)
q(x)
F0
M0
x
y
b)
M
M+dM
x
T
dx
T+dT
Rys. 4. a) Belka zginana; b) siły wewnętrzne w belce
Aby rozwiązać równanie (19), tzn. znaleźć pole ugięć v(x) przy warunkach brzegowych
(20), dzielimy obszar pręta (0, L) na N elementów skończonych (rys. 5a).
Rozważmy typowy element skończony e(xe, xe+1) ze zdefiniowanymi na rys. 5b przemieszczeniami uogólnionymi (v, ) i siłami uogólnionymi (T, M ).
Dla przyjętych zwrotów przemieszczeń i sił uogólnionych wprowadzono następującą notację:

dv
(22)
dx
oraz
gdzie:
 d  d 2 v 
Q1e    b 2  
 dx  dx  
 d 2v 
, Q2e   b 2 
xe 1
 dx 
xe
 d  d 2 v 
Q3e    b 2  
 dx  dx  
 d 2v 
, Q4e   b 2 
 dx 
xe
xe 1
(23)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
8
Q1e , Q3e – siły poprzeczne;
Q2e , Q4e – momenty gnące.
a)
1
N N+1
2
h1
h2
b)
he
hN
1  u2e
2  u4e
v2  u3e
v1  u1e
Q2e
Q4e
x
2
1
dx
Q1e
xc
Q3e
x
Rys. 5 a) Podział belki na elementy skończone;
b) definicja przemieszczeń i sił uogólnionych
Ugięcie v(x) będzie aproksymowane na elemencie e za pomocą pewnego wielomianu
Ve(x). Wówczas równanie różniczkowe (19) spełnione jest na elemencie e w sposób przybliżony. Żądamy, aby równanie (19) spełnione było przez Ve w sensie całki ważonej:
0
xe 1

xe
 d 2  d 2v  
w( x )  2  b 2   q  dx
 dx  dx  
(24)
gdzie: w(x) – funkcja ważona.
Całkując (24) przez części otrzymujemy następujące sformułowanie słabe dla belki:
0
xe 1

xe
 d 2v d 2w

 dw 
 wq  dx  w( xe )Q1e  

b 2
2
 dx 
 dx dx

 dw 
Q2e  w( xe1 )Q3e  

xe
 dx 
xe 1
Q4e (25)
Warto zwrócić uwagę, że rząd różniczkowalności funkcji ugięcia v(x) został obniżony
z rzędu czwartego do rzędu drugiego. Ponieważ całkowita liczba warunków dotyczących
przemieszczeń uogólnionych dla elementu belkowego wynosi cztery (po dwa w każdym
węźle), więc wygodnie jest przyjąć czteroparametrowy wielomian aproksymujący dla v(x):
4
v( x )  V e ( x )  u1e N1e  u2e N 2e  u3e N 3e  u4e N 4e   u ej N ej ,
j 1
(26)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
9
gdzie funkcje kształtu N ej mają postać:
2
3
 x  xe 
 x  xe 

x  xe 
e
N  1  3
  2
 , N 2    x  xe   1 

he 
 he 
 he 

2
e
1
(27)
2
 x  x  2 x  x 
e
e
N    x  xe   

 
he 
 he 

3
 x  xe 
 x  xe 
N  3
  2
 ,
 he 
 he 
e
3
e
4
W metodzie elementów skończonych podstawowe równania metody wyprowadzamy ze
sformułowania słabego (25) przyjmując przybliżenie (26) oraz zakładając, że funkcja ważona
w(x) wyrażona jest przez funkcje kształtu, tzn. w  N1e , w  N 2e , w  N 3e i w  N 4e .
Otrzymujemy wówczas cztery równania, które w postaci macierzowej mają postać :
 K11e
 e
 K21
 K31e
 e
 K41
K12e
K22e
K32e
K42e
K13e
K23e
K33e
K43e
K14e 

K24e 
K34e 

K44e 
u1e 
 F1e 
 e
 e
u2 
 F2 
 e   e,
u3 
 F3 
u e 
F e 
 4
 4
(28)
gdzie:
 K e  –macierz sztywności elementu belkowego, której elementy określone są następująco:
xe 1
2
e
d 2 N ie d N j
e
(29)
Kij  
dx
dx 2 dx 2
xe
F  –macierz kolumnowa sił:
e
Fi 
e
xe 1

N ie qdx  Qie
(30)
xe
Współczynniki K ije są symetryczne, tzn. Kije  K eji .
Przy przyjętej aproksymacji ugięć v(x) za pomocą (26) macierze sztywności i sił przyjmują
postać:
 6 3h 3 3h 
2
2 

2b 3h 2h 3h h 
 K e   3 
,
(b  EI  const.)
6 3h 
h  6 3h


2
3h 2h 2 
 3h h
(31)
 Q1 
6
Q 
 
qh  h 
e
( q  const.)
F   12  6   Q2  ,
 
 3
 h 
Q4 
Znając macierze sztywności i sił dla elementu belkowego można określić macierz sztywności i sił dla całej belki uwzględniając warunki zgodności uogólnionych przemieszczeń i warunki równowagi dla sił uogólnionych.
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
10
Rozważmy płaską ramę, którą dzielimy na elementy skończone e, e = 1,2,...,N. Element
skończony dla ramy jest złożeniem elementu prętowego o sztywności EeAe i obciążeniu
ciągłym qR i elementu belkowego o sztywności EeIe i obciążeniu ciągłym qZ. W każdym węźle
mamy po trzy uogólnione przemieszczenia węzłowe i odpowiadające im uogólnione siły węzłowe. Uogólnione przemieszczenia i siły węzłowe dla elementu skończonego ramy mogą być
przedstawione w układzie lokalnym i globalnym (rys. 6).
y
e
e
u u6 u4 x
Q4e
2
e
5
y
e
u3e u e 

1
u2e
Q1e
Q6e
u5e
y
e
4
Q
u6e
2
Q5e
u2e

e
3
u
e
1
u4e
Q6e Q5e
Q
1
Q3e
he
e
2
Q
e
3
Q
x
0
u1e
Q2e
x
0
a)
b)
Rys. 6. Element skończony ramy: a) w układzie lokalnym; b) w układzie globalnym
W układzie lokalnym element skończony dla ramy jest opisany równaniem:
 K e  u e   F e 
(32)
W równaniu tym macierze kolumnowe uogólnionych przemieszczeń i sił węzłowych są równe:
 6qeR he  Q1e 
 u1  u1e 
 Z   e
  u e 
 6qe he  Q2 
 1  2 
e
Z 2
e
1  u3 
1   qe he  Q3 
e
e
u


,
F


(33)
  u  u e    12  6q Rh  Q e 
2
   4
 e e   4
 2  u5e 
 6qeZ he  Q5e 
   e
 Z 2   e
 qe he  Q6 
2  u6 
Macierz sztywności elementu skończonego w układzie lokalnym ma postać:
0
c
0
6

2 E I  0 3he
[ K e ]  e3 e 
0
he  c
0
6

 0 3he
gdzie:
c
Ae he2
2Ie
0
3he
2he2
0
3he
he2
c 0
0 6
0 3he
c
0
0
6
0 3he
0 
3he 

he2 
,
0 
3he 

2he2 
(34)
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
11
Równanie macierzowe dla elementu skończonego ramy w układzie globalnym ma postać:
 K e  u e   F e 
(35)
Macierz sztywności elementu skończonego ramy  K e  w powyższej zależności ma postać:
T
 K e    H e   K e   H e  ,
gdzie  H e  – macierz transformacji w postaci:
 cos 
  sin 

 0
e
 H   
 0
 0

 0
sin 
cos 
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 cos 
0  sin 
0
0
0
0
0
sin 
cos 
0
(36)
0
0

0

0
0

1 
(37)
Szczegółowy opis metody elementów skończonych dla belki i ramy można znaleźć w pracy [2]. Edukacyjne programy MES do obydwu zagadnień (odpowiednio BELKA i RAMA2D)
znajdują się na stronach internetowych:
http://dydaktyka.polsl.pl/mes.
3.3 Przygotowanie zadania do rozwiązania metodą elementów skończonych
W celu rozwiązania konkretnego zadania brzegowego należy utworzyć model numeryczny
rozpatrywanego układu. W rzeczywistym układzie mechanicznym wyodrębnia się części
składowe, które modeluje się jako pręty (belki) lub elementy płaskie dwuwymiarowe (płytowe, tarczowe, powłokowe). Niektóre fragmenty konstrukcji mogą być modelowane elementami przestrzennymi (trójwymiarowymi). W niniejszych rozwiązaniach ograniczono się do elementów jednowymiarowych - prętowych i belkowych.
Pręty (belki) modelowane są jako dwa węzły połączone za sobą odcinkiem. Węzły reprezentują początek i koniec elementu prętowego, odcinek - dane geometryczne i własności materiałowe. W węzłach można przykładać siły skupione, momenty skupione lub przemieszczenia (liniowe lub kątowe). Wielkości te mogą być również wyznaczane w węzłach.
Podział na węzły i elementy musi uwzględniać rzeczywiste własności układu. Siły skupione i momenty skupione mogą być przykładane tylko węzłach. W przypadku zastosowania elementów prętowych połączenia w węzłach nie przenoszą momentów. W przypadku stosowania elementów belkowych połączenia w węzłach przenoszą siły podłużne, siły poprzeczne
oraz momenty gnące, a dla układów przestrzennych również momenty skręcające. Elementy
prętowe stosowane są do modelowania kratownic, zaś elementy belkowe do modelowania
ram.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Podczas tworzenia modelu numerycznego należy przestrzegać następujących zasad:
Elementy mogą łączyć się tylko w węzłach.
Siły skupione i momenty skupione mogą być zadawane tylko w węzłach.
Podpory mogą być umieszczane tylko w węzłach.
Obciążenia ciągłe należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zastąpić obciążeniami skupionymi.
Momenty ciągłe rozłożone należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zastąpić momentami skupionymi.
Podparcie ciągłe należy zastąpić podporami w węzłach.
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
12
7. Odległości pomiędzy węzłami (długości elementów) powinny być w miarę równomierne.
8. Różnica pomiędzy numerami węzłów w elemencie powinna być jak najmniejsza (pasmo
minimalne).
9. Układ musi mieć tak narzucone więzy (punkty podparcia), aby nie tworzył mechanizmu.
4. PRZEBIEG ĆWICZENIA
Dla wybranych układów prętowych lub belkowych przeprowadzić obliczenia (wyznaczenie przemieszczeń, naprężeń i reakcji podporowych) przy użyciu programu metody elementów skończonych wskazanego przez prowadzącego.
4.1 Przykładowe zadania
Zadanie 1
Dla pręta stopniowanego podpartego i obciążonego jak na rys. 7 wyznaczyć przemieszczenia punktów B, C oraz rozkład naprężeń. Do obliczeń przyjąć różne warianty obciążeń.
Przykładowe dane:
A1 = 0.01 m2; A2 = 0.005 m2; A3 = 0.008 m2;
l1 = l2 = l3 = 0.5 m;
P1 = 5 kN; P2 = 2 kN;
E = 2·1011 Pa (stal).
A1
A2
P1
A
l1
B
A3
P2
l2
C
l3
D
Rys. 7. Pręt rozciągany – schemat statyczny
Zadanie 2
Dla kratownicy płaskiej podpartej i obciążonej jak na rys. 8 wyznaczyć przemieszczenia
punktów B, D oraz naprężenia w prętach. Do obliczeń przyjąć różne warianty obciążeń.
Przykładowe dane:
A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = 0.01 m2;
l1 = l3 = 1.0 m;
l2 = l4 = 0.5 m;
P1 = 4 kN; P2 = 1 kN
E = 2·1011 Pa (stal).
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
l1
P1
13
P2
B
4
1
D
3
A
5
2
B
l2
l3
l4
Rys. 8. Kratownica – schemat statyczny
Zadanie 3
Dla belki podpartej i obciążonej jak na rys. 9 wyznaczyć położenie osi ugiętej oraz rozkład
naprężeń w przekroju poprzecznym wzdłuż osi belki. Wyznaczyć analitycznie przemieszczenia końca swobodnego belki dla wskazanego wariantu obciążenia i porównać z wynikami
otrzymanymi numerycznie. Do obliczeń przyjąć różne warianty obciążenia.
Przykładowe dane:
l1 = l2 = 0.5 m;
I1 = I2 = 8.33·10-6 m4;
W1 = W2 = 1.66·10-4 m3;
P1 = 7 kN; P2= 3 kN;
M1 = 4 kNm; M2= 2 kNm.
E = 2·1011 Pa (stal).
M1
M2
P2
P1
A
B
l1
C
l2
Rys. 9. Belka wspornikowa – schemat statyczny
Zadanie 4
Dla ramy podpartej i obciążonej jak na rys. 10 wyznaczyć położenie osi ugiętej oraz rozkład naprężeń. Wyznaczyć analitycznie przemieszczenia końca swobodnego D ramy dla
wskazanego wariantu obciążenia i porównać z wynikami otrzymanymi numerycznie. Do obliczeń przyjąć różne warianty obciążenia.
Przykładowe dane:
l1 = l2 = 1.0 m; l3 = 0.5 m
I1 = I2 = I3 = 42.19·10-6 m4;
W1 = W2 = W3 = 5.63·10-4 m3;
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
14
P1 = 8 kN; P2= 4 kN;
M1 = 5 kNm; M2= 3 kNm.
E = 2·1011 Pa (stal).
M1
P2
P1
C
l2
l3
B
l1
D
M2
A
Rys. 10. Belka statycznie niewyznaczalna – schemat statyczny
5. OPRACOWANIE WYNIKÓW I WYTYCZNE DO SPRAWOZDANIA
Sprawozdanie powinno zawierać:
Cel ćwiczenia
Krótkie omówienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie
Opis rozwiązywanego zagadnienia i modelu numerycznego (z rysunkami)
Wyniki obliczeń w formie wydruków sporządzonych na drukarce. Wyniki powinny
zawierać:
1. Rysunki ugięć dla różnych wariantów obciążenia
2. Wykresy naprężeń dla wykonanych wariantów
V. Analizę wyników
VI. Wnioski
I.
II.
III.
IV.
6. PRZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE
1.
Do czego służy metoda elementów skończonych?
2.
Jakie są istotne cechy metody elementów skończonych?
3.
Co to jest macierz sztywności i w jakim wzorze występuje?
4.
Co to są funkcje kształtu?
5.
Co to są elementy skończone, jakie rodzaje elementów modelują dany przypadek wytrzymałościowy?
6.
Jakich zasad należy przestrzegać w przypadku rozwiązywania zagadnienia metodą elementów skończonych?
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
15
7. LITERATURA
1.
Beluch W., Burczyński T., Fedeliński P., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium
z wytrzymałości materiałów. Wyd. Politechniki Śląskiej, Skrypt nr 2285, Gliwice, 2002.
2.
Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego,
WNT, Warszawa 2001.
3.
Jaworski A.: Metoda elementów skończonych w wytrzymałości konstrukcji, Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1981.
4.
Kruszewski J.: Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, PWN, Warszawa 1981.
5.
Pietrzak J., Rakowski G., Wrześniowski K.: Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, Warszawa-Poznań 1979.
6.
Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w mechanice, PWN, Warszawa 1980.
7.
Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w statyce konstrukcji, Arkady, Warszawa
1979.
8.
Szmelter J.: Metody komputerowe w mechanice, PWN, Warszawa 1980.
9.
Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa 1972.
Czy
wiesz,
że…
Jednym
z
zaawansowanych
programów
komputerowych metody elementów skończonych jest
ANSYS. Jest on stosowany m. in. do projektowania
samochodów Ferrari startujących w wyścigach Gran
Tourismo. Źródło: http://www.ansys.com