Teoria ciał

0.1
Pierścienie wielomianów
Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z5 [X] drugi wielomian określający tę
samą funkcję, co wielomian X 2 − X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 − 2X + 1).
Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów 2X 2 +3X +2, X 4 +4X 3 +
2X 2 + 5X + 1 z pierścienia Z6 [X]. (Odp. suma: X 4 + 4X 3 + 4X 2 + 2X + 3;
iloczyn: 2X 6 + 5X 5 + 3X 2 + X + 2).
Zadanie 3. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z6 [X] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy
od sumy stopni czynników. (Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0).
Zadanie 4. W pierścieniu Z5 [X] wykonać dzielenie (X 3 + 2X 2 + 4X + 3) :
(3X 2 + 2). Uwaga : 3 jest odwracalne w Z5 i 3−1 = 2. (Odp.: 2X + 4).
Zadanie 5. Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu f przez g,
gdy:
a) f (X) = 5X 3 + 2X 2 − X − 7, g(X) = X 2 + 3X − 1 w Z[X],
b) f (X) = 5X 3 + 2X 2 − X − 7, g(X) = X 2 + 3X − 1 w Z8 [X],
c) f (X) = 3X 3 − 2X + 4, g(X) = X 4 + 1 w Z[X].
(Odp. a)5X − 13, 43X − 20; b) 5X + 3, 3X + 4; c) 0, 3X 3 − 2X + 4).
Zadanie 6. Wielomian o współczynnikach rzeczywistych daje przy dzieleniu przez X − 2 resztę 1, przy dzieleniu zaś przez X − 1 daje resztę 2. Jaką
resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X − 1)(X − 2)? Wskazówka:
reszta przy dzieleniu przez (X − 1)(X − 2) jest wielomianem stopnia < 2,
f (X) = (X − 1)(X − 2) · g(X) + aX + b; podstawiając kolejno wartości 1, 2
obliczymy a i b. (Odp. −X + 3).
Zadanie 7. Wielomian o współczynnikach z Z5 daje przy dzieleniu przez
X + 1 resztę 2, przy dzieleniu przez X + 2 — resztę 3, przy dzieleniu przez
X + 3 — resztę 1. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (X +
1)(X + 2)(X + 3) ? (Odp. X 2 + 2X + 3).
Zadanie 8. Stosując schemat Hornera obliczyć w C[X] iloraz i resztę z
dzielenia:
a) X 4 − 2X 3 − 4X 2 − 6X + 8 przez X − 1,
b) 2X 5 − 5X 3 − 8X przez X + 3,
1
c) 4X 3 + X 2 przez X + 1 + i,
d) X 3 − X 2 − X przez X − 1 + 2i.
(Odp. a) X 3 − X 2 + 3X − 3, 5, b)2X 4 − 6X 3 + 13X 2 − 39X + 109, −327,
c) 4X 2 − (3 + 4i)X + (−1 + 7i), 8 − 6i, d)X 2 − 2iX − (5 + 2i), −9 + 8i).
Zadanie 9. Stosując schemat Hornera obliczyć w Z5 [X] iloraz i resztę z
dzielenia:
a) 2X 4 + 3X 3 + X 2 + 2X + 4 przez X + 2,
b) 3X 5 + 4X 2 + 3 przez X + 4.
(Odp. a) 2X 3 + 4X 2 + 3X + 1, 2, b) 3X 4 + 3X 3 + 3X 2 + 2X + 3, 1).
Zadanie 10. Niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P . Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika (a, b) polega
na wykonywaniu kolejnych dzieleń:
a =
b =
r1 =
... ...
rn−2 =
rn−1 =
bq1 + r1
r 1 q2 + r 2
r 2 q3 + r 3
...
rn−1 qn + rn
rn qn+1
dopóki nie uzyskamy reszty 0. Ostatnia niezerowa reszta to właśnie (a, b). Ten
sam algorytm może służyć do przedstawienia (a, b) explicite przez kombinację
sa + tb. Wyznaczyć w pierścieniu R[X] największy wspólny dzielnik d(X)
wielomianów f (X) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 i g(X) = X 4 + X 3 +
2X 2 + X + 1 i przedstawić go w postaci d(X) = a(X)f (X) + b(X)g(X).
(Odp. d(X) = 2(X 2 + X + 1) i d(X) = (X + 1)f (X) + (−X 2 − X + 1)g(X)).
Zadanie 11. Wyznaczyć w pierścieniu R[X] największy wspólny dzielnik
d(X) wielomianów:
a) f (X) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 i g(X) = X 3 − 1,
b) f (X) = X 33 − 1 i g(X) = X 18 − 1
i przedstawić go w postaci d(X) = a(X)f (X) + b(X)g(X). (Odp. a) d(X) =
2(X 2 + X + 1) i d(X) = f (X) − (X + 1)g(X); b) d(X) = X 3 − 1 i d(X) =
−X 3 f (X) + (X 18 + 1)g(X) ).
Zadanie 12. Dowieść, że każdy skończony zbiór wielomianów nad ciałem
ma największy wspólny dzielnik będący ich kombinacją liniową.
2
0.2
Pierwiastki wielomianów, rozkład wielomianu
Zadanie 1. Wykazać, że wielomian X 2 −1 ∈ Z15 [X] ma cztery pierwiastki.
(Odp. 1, 4, 11, 14).
Zadanie 2. Co trzeba założyć o pierścieniu P aby prawdziwe było poniższe
twierdzenie.
Twierdzenie 1 . Jeżeli a1 , . . . , an są różnymi pierwiastkami wielomianu f ∈
P [X] o krotnościach odpowiednio m1 , . . . , mn , to m1 + · · · + mn ¬ m, gdzie
m = deg f .
Zadanie 3. Przedstawić wielomian X 4 + 3X 3 + X 2 + X + 2 ∈ Z4 [X] w
postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego. (Odp. (X − 1)(X − 2)(X −
3)2 = (X − 1)3 (X − 2) — rozkład niejednoznaczny!).
Zadanie 4. Udowodnić poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 2 . Jeśli ułamek nieskracalny p/q jest pierwiastkiem wielomianu
f (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ,
gdzie liczby a0 , a1 , . . . , an są całkowite, to p|a0 i q|an .
Uwaga. Często stosuje się następujący wniosek z tego twierdzenia: jeśli
an = 1, to każdy wymierny pierwiastek wielomianu f jest liczbą całkowitą, która dzieli wyraz wolny a0 . Mniej znane jest twierdzenie ”pokrewne”:
jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych daje się przedstawić jako iloczyn dwu wielomianów o współczynnikach wymiernych, to daje się on też
przedstawić jako iloczyn dwu wielomianów o współczynnikach całkowitych.
To twierdzenie pochodzi od Gaussa i dowód jego jest trudniejszy, niż się to
wydaje na pierwszy rzut oka.
Zadanie 5. Wykazać, że wielomian f (X) = X 4 −2X 3 +8X +1 ∈ Q[X] jest
nierozkładalny nad Q. Wskazówka: wykorzystać zadanie poprzednie; udowodnić, że f (X) nie może mieć czynnika liniowego, ani też nie może mieć dwu
czynników kwadratowych.
Zadanie 6. Czy: a) Q[X]/(X 2 − 5X + 6); b) Q[X]/(X 2 − 6X + 6), jest ciałem? (Odp. a) nie, bo wielomian jest rozkładalny nad Q; b) tak, bo wielomian
jest nierozkładalny nad Q).
3
0.3
Rozszerzenia ciał
Zadanie 1. Które z następujących liczb są algebraiczne? (w przypadku
liczb algebraicznych określić stopień):
√
√
a) 1 + 2 + 3,
√
√
b) 6 3 + 3,
√
c) 1 + π,
√
√
√
√
d) 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n−1 ,
√
√
e) 4 5 + 5.
√
√
√
√
= 6 3; po√podPrzykładowo dla b: niech y = 6 3 + 3. Wtedy y − 3 √
niesieniu do potęgi trzeciej i uporządkowaniu y 3 + 9y = 3 3y 2 + 4 3, a
po podniesieniu do kwadratu i uporządkowaniu y 6 − 9y 4 + 9y 2 − 48. Jest to
wielomian minimalny liczby y.
Zadanie 2. Ciałem rozkładu wielomianu f nad ciałem K nazywamy najmniejsze rozszerzenie ciała K zawierające wszystkie pierwiastki wielomianu
f . Znaleźć rozszerzenie ciała Q będące ciałem rozkładu wielomianu:
a) X 2 − 2,
b) X 3 − 2,
c) X 4 − 2,
d) X 4 + 2,
e) X 4 + X 2 + 1.
Ustalić stopień każdego z tych rozszerzeń nad Q.
√
3
Przykładowo dla b : liczba √
2 jest pierwiastkiem√ wielomianu
X3 √
− 2,
√
3
3
3
3
2
który rozkłada się nad ciałem Q( 2) : X − 2 = (X
− 2)(X + 2X + 3 4).
√
Ostatni czynnik pozostaje nierozkładalny nad Q( 3 2), gdyż jego pierwiastki
nie są liczbami rzeczywistymi. Są to liczby
√
√
√
−1 + i 3
3
2 3
ε 2 i ε 2 , gdzie ε =
.
2
4
Najmniejszym ciałem, nad którym wielomian X 3 −2 rozkłada się na czynniki
liniowe, jest ciało
√
√
√
3
3
3
Q( 2, ε 2) = Q( 2, ε),
będące rozszerzeniem stopnia szóstego ciała Q, gdyż powstaje przez
dołącze√
3
nie elementu algebraicznego stopnia drugiego do rozszerzenia Q( 2) mającego stopień trzeci nad Q.
Zadanie 3. Wyznaczyć ciało rozkładu wielomianu X 2 + 1 nad Z3 .
Rozwiązanie. W poprzednim zadaniu znaliśmy pierwiastki wielomianów.
Tutaj ich nie znamy. Niech więc a oznacza pierwiastek wielomianu X 2 + 1.
Rozszerzenie o ten pierwiastek jest ciałem 9-elementowym: {0, 1, 2, a, a+1, a+
2, 2a, 2a + 1, 2a + 2}, gdzie a2 = 2. Łatwo sprawdzić, że drugim pierwiastkiem
jest 2a.
Zadanie 4. Wyznaczyć ciało rozkładu wielomianu X 3 + X + 1 nad Z2 .
Zadanie 5. Dowieść, że ciało rozkładu wielomianu stopnia n ma stopień
co najwyżej n!.
√ √
√
√
Zadanie 6. Przedstawić 1/( 3 4+ 3 2−1) w postaci b0 +b1 3 2+b2 3 4. Wskazówka:posłużyć się metodą współczynników nieoznaczonych. ( Odp. b0 =
−1/11, b1 = 3/11, b2 = 2/11).
Zadanie 7.i) Rozważmy wielomian X 3 − 6X 2 + 9X + 3 nierozkładalny nad
Q. Niech a oznacza pierwiastek tego wielomianu. Wtedy elementy 1, a, a2
tworzą bazę rozszerzenia Q(a). Wyrazić w tej bazie element a4 . Wskazówka:
podzielić X 4 przez X 3 − 6X 2 + 9X + 3; (odp. 27a2 − 57a − 18).
ii) Wyrazić w tej samej bazie elementy a) a5 , b)3a5 − a4 + 2, c)1/(a + 1),
d)1/(a2 − 6a + 8). Wskazówka do c): wielomiany X + 1, X 3 − 6X 2 + 9X + 3 są
względnie pierwsze. Za pomocą algorytmu Euklidesa znajdujemy r(X), s(X)
takie, że r(X)(X + 1) + s(X)(X 3 − 6X 2 + 9X + 3) = 1. Podstawiając X = a
wywnioskujemy, że 1/(a + 1) = r(a).
0.4
Ciała skończone
Zadanie 1. Dowieść, że liczba elementów ciała skończonego o charakterystyce p jest potęgą liczby p. Wskazówka: uzasadnić, że jeśli K jest podciałem
ciała skończonego L, to rząd ciała L jest potęgą rzędu ciała K.
Zadanie 2.a) Dowieść, że istnieje dokładnie (p2 − p)/2 wielomianów stopnia drugiego unormowanych i nierozkładalnych nad ciałem Zp . Wskazówka :
5
policzyć wszystkie wielomiany oraz wielomiany, które mają jeden pierwiastek
i wielomiany, które mają dwa pierwiastki.
b) Dowieść, że dla każdego p istnieje ciało o charakterystyce p mające p2
elementów.
Zadanie 3. Skonstruować ciało GF (16) = GF (24 ) następująco:
a) znaleźć wielomian nierozkładalny stopnia 4; (można to zrobić wypisując kolejno wielomiany stopnia 1, 2, 3 i obliczając ich iloczyny; wielomian,
który nie da się otrzymać w ten sposób, jest nierozkładalny;
b) wybrać dowolny z tych wielomianów; oznaczmy go p(X);
c) ciało GF (16) można reprezentować przez klasy reszt wielomianów
modulo p(X); mnożeniu elementów ciała odpowiada mnożenie wielomianów,
po którym następuje redukcja iloczynu modulo p(X).
0.5
Pierwiastki z jedności
Zadanie 1. Udowodnić, że jeśli Un jest zbiorem pierwiastków z jedności
stopnia n należących do ciała K, to (Un , ·) jest grupą. Jej rząd nie przekracza
n, gdy ch(K)=0, i nie przekracza największego dzielnika liczby n względnie
pierwszego z p, gdy ch(K)= p 6= 0.
Zadanie 2. Prawdziwe jest twierdzenie: Grupa Un pierwiastków z jedności
stopnia n należących do ciała K jest cykliczna. Wykorzystując to wykazać,
że grupa multyplikatywna ciała skończonego jest cykliczna. Wywnioskować
następnie,że jeśli K jest ciałem skończonej charakterystyki p, to istnieje takie
c ∈ K, że K = Zp (c).
6