zginanie sprężysto-plastyczne 1 zginanie belek z materiału

ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
1
ZGINANIE BELEK Z MATERIAŁU SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNEGO
W ZAKRESIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYM
1. MATERIAŁ SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNY
σ
Re
σ
σ
Re
ε
R
ε
materiał idealnie
sprężysty
σ
ε
materiał idealnie
sprężysto-plastyczny
materiał idealnie
sztywno-plastyczny
ε
mat. ideal. spręż. z liniowym
umocnieniem plastycznym
2. ZAŁOŻENIA
1. Materiał idealnie sprężysto-plastyczny (mat. Prandtla) o jednakowych własnościach na
rozciąganie i na ściskanie
σ
Re
- εpl
ε
εpl
- Re
2.
3.
4.
5.
Obowiązuje zasada zesztywnienia
Obowiązuje hipoteza płaskich przekrojów (hip. Bernouli’ego)
Wpływ sił poprzecznych na osiągnięcie stanu plastycznego jest pomijany
Zginanie zachodzi jedynie w głównych płaszczyznach bezwładności
3. ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ NORMALNYCH W PRZEKROJU ZGINANYM
σ x < Re
z
ax = R
σm
e
x
1
d
2
Re
Re
Re
Re
3
4
4
5
g
M
dd
yc
yo
dg > dd
σ x < Re σ x < Re
σ x < Re
Re
Re
Re
1. Stan liniowo sprężysty
2. Graniczny stan sprężysty (max. naprężenie normalne w co najmniej jednym punkcie
przekroju osiąga wartość równą granicy plastyczności Re ; moment zginający M = M )
3. Stan jednostronnie sprężysto-plastyczny
4. Stan dwustronnie sprężysto-plastyczny
5. Graniczny stan plastyczny (naprężenie normalne w całym przekroju osiąga wartość równą
granicy plastyczności Re ) - w uplastycznionym przekroju powstaje tzw. przegub plastyczny,
który różni się od "zwykłego" przegubu tym, że przenosi moment równy tzw. granicznemu
momentowi plastycznemu przekroju M)
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
2
4. GRANICZNA NOŚNOŚĆ SPRĘŻYSTA PRZEKROJU (graniczny moment sprężysty
M)
Granicznym momentem sprężystym M (graniczną nośnością sprężystą przekroju) nazywamy
moment zginający o takiej wartości, która jest wystarczająca do uplastycznienia przekroju w co
najmniej jednym punkcie (naprężenie normalne σx jest równe granicy plastyczności Re)
σx = M z
I yc
σ x = Re
z
R e = M z max
I yc
M
x
M = Re
I yc
z max
M = R e W spr
5. GRANICZNA NOŚNOŚĆ PLASTYCZNA PRZEKROJU (granicz. moment plastycz. M)
Granicznym momentem plastycznym M (graniczną nośnością plastyczną przekroju)
nazywamy moment zginający o takiej wartości, która jest wystarczająca do uplastycznienia
całego przekroju (naprężenie normalne σx w każdym punkcie przekroju jest równe granicy
plastyczności Re )
z
Re
z
A1
M
z‘
yc
z
yo
A2
Re
•
N( x) =
równania równowagi
∫∫ σ x dA = 0
(1)
∫∫ σ x z dA = 0
(2)
A
M( x) =
A
− Re A1 + Re A 2 = 0
Ad. (1)
A1 + A2 = A
A1 = A 2 = 1 2 A
warunek określający położenie osi obojętnej
Ad. (2)
M=
∫∫ Re z dA − ∫∫ Re z dA = Re S y ( A 1 ) − Re S y ( A 2 )
o
A1
o
A2
[
]
M = R e S yo ( A 1 ) − S yo ( A 2 )
lub
M=
∫∫ Re z' dA − ∫∫ Re z' dA = R e S y ( A 1 ) − Re S y ( A 2 )
c
A1
yc - oś ciężkości
c
A2
S yc ( A 1 ) + S yc ( A 2 ) = 0
M = 2 R e S yc ( A 1 )
⇒
S yc ( A 2 ) = − S yc ( A 1 )
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
•
3
plastyczny wskaźnik wytrzymałości przekroju
def
Wpl = S y o ( A 1 ) − S y o ( A 2 ) = 2 S y c ( A 1 )
M = R e W pl
•
Wpl
k=M=
>1
M Wspr
współczynnik kształtu
6. PRZYKŁADY
•
Obliczyć współczynnik kształtu dla przekroju prostokątnego i kołowego
z
Wspr =
A1
h
yc= yo
A2
b h2
6
A1
yc= yo
A2
b h2
4
⇒
Wpl
k=M=
= 15
.
M Wspr
π d3
32
π d2 4 d 2 d3
Wpl = 2 S yc ( A 1 ) = 2 1
=
2 4
3π
6
k=
•
M = Re
;
Wspr =
z
d
b h2
Wpl = 2 S yc ( A 1 ) = 2 b h h =
2 4
4
;

 b h2
Wpl = S yo ( A 1 ) − S yo ( A 2 ) = b h h − b h  − h   =
2 4  2  4 
4
M = Re
b
b h2
6
Wpl
= 32 = 17
.
Wspr
6π
Obliczyć współczynnik kształtu dla następujących przekrojów :
5
2
6
2
3
20
k = 1.76
k = 1.42
k = 1.52
7
5
5 5 5
2 2 2
1
3
4
3
5
1
1
9
10
4
6
8
k = 2.38
1
k = 1.45
15
k = 2.34
2
9
12
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
4
7. NOŚNOŚĆ GRANICZNA BELEK ZGINANYCH
7.1 NOŚNOŚĆ GRANICZNA PRZEKROJU
•
•
graniczny moment sprężysty (graniczna nośność sprężysta przekroju) M
graniczny moment plastyczny (graniczna nośność plastyczna przekroju) M
7.2 NOŚNOŚĆ GRANICZNA BELEK
•
graniczna nośność sprężysta (graniczne obciążenie sprężyste) P - jest to taka wielkość
obciążenia zewnętrznego (z reguły wyrażonego poprzez pewien parametr obciążenia), która
powoduje w co najmniej jednym punkcie belki powstanie naprężenia normalnego równego
granicy plastyczności
•
graniczna nośność plastyczna (graniczne obciążenie plastyczne) P - jest to taka wielkość
obciążenia zewnętrznego, która powoduje uplastycznienie co najmniej jednego przekroju belki
(powstanie co najmniej jednego przegubu plastycznego)
•
nośność graniczna P ∗ - jest to taka wielkość obciążenia zewnętrznego, która powoduje
uplastycznienie tylu przekrojów (tzn. powstanie tylu przegubów plastycznych), że belka zamienia
się w mechanizm.
7.2.1 Belki statycznie wyznaczalne
•
graniczna nośność sprężysta P
Mmax (P) = M
⇒
P
•
graniczna nośność plastyczna P
Mmax (P) = M
⇒
P
•
nośność graniczna P ∗
do zamiany belki statycznie wyznaczalnej w mechanizm wystarcza powstanie jednego
przegubu, a ten tworzy się już przy obciążeniu równym granicznemu obciążeniu plastycznemu.
Tak więc w belkach statycznie wyznaczalnych graniczna nośność plastyczna i nośność
graniczna są pojęciami tożsamymi, tzn. P ∗ = P
Przykład
Wyznaczyć graniczne obciążenie sprężyste, plastyczne i nośność graniczną belki (Re=300 MPa).
4q
q
1
4
Mmax = 4 q
2
2q
4q
M
yo
A1
6
5
yc
m
2 2 2
⇒
M = 4 q = R e Wpl
⇒
A = 12 + 12 = 24 cm2
z
2
M = 4 q = R e Wspr
R e Wspr
4
R e Wpl
q=
4
q=
Sm = 12×7 +12×3 = 120 cm3
oś ciężkości
zc = 120/24 = 5 cm
oś obojętna
A1 = A2 = 1/2 A = 12 cm2
Wspr =
⇒
yo
I yc
6 × 2 3 12 + 12 × 2 2 + 2 × 6 3 12 + 12 × 2 2
=
= 27.2 cm 3
zmax
5
Wpl = 2 S yc ( A 1 ) = 2 × 12 × 2 = 48 cm 3
q = 2.04 kN / m
q = 3.60 kN / m
q∗ = q = 3.60 kN / m
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
5
7.2.2 Belki statycznie niewyznaczalne
•
graniczna nośność sprężysta P
W celu wyznaczenia granicznej nośności sprężystej P należy po wyznaczeniu (metodami
mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystać warunek :
Mmax (P) = M
•
⇒
P
graniczna nośność plastyczna P
W celu wyznaczenia granicznej nośności plastycznej P należy po wyznaczeniu (metodami
mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystać warunek :
Mmax (P) = M
•
⇒
P
nośność graniczna P ∗
♦ metoda ścisła
W celu wyznaczenia nośności granicznej należy po wyznaczeniu wykresu momentów
zginających „wprowadzić” do belki przegub plastyczny (wraz z obustronnie przyłożonymi do
niego momentami skupionymi, równymi M ) w przekroju maksymalnego momentu
zginającego. Powtórnie należy wyznaczyć wykres momentów dla belki o nowym schemacie
statycznym i nowym obciążeniu. Procedurę taką należy kontynuować aż do zamiany belki w
mechanizm. Oznacza to, że w belce n-krotnie statyczne niewyznaczalnej maksymalna ilość
powyższych operacji może wynosić n+1 (może też być mniejsza - zależy to od schematu i
obciążenia).
Obciążenie, przy którym belka zamienia się w mechanizm jest nośnością graniczną P ∗ .
♦ metoda kinematyczna
Metoda kinematyczna oparta jest na tzw. twierdzeniach ekstremalnych teorii plastyczności
(patrz np.: Jacek Skrzypek, Plastyczność i pełzanie, PWN, Warszawa, 1987). Istota tej
metody polega na znalezieniu i analizie wszystkich kinematycznie dopuszczalnych (tzn.
zgodnych z więzami kinematycznymi) schematów zniszczenia belki.
W belce n-krotnie statycznie niewyznaczalnej maksymalna liczba przegubów plastycznych,
jaka prowadzi do zamiany belki w mechanizm wynosi „n+1”. W przypadku mechanizmu o
tej liczbie przegubów mówimy o tzw. pełnym mechanizmie (schemacie) zniszczenia.
W przypadku, gdy można utworzyć mechanizm obejmujący tylko część belki (co ma
miejsce przy liczbie przegubów mniejszej niż „n+1”) mówimy o tzw. niecałkowitym
mechanizmie (schemacie) zniszczenia.
Stosując zasadę prac wirtualnych należy wyznaczyć obciążenia niszczące dla każdego z
kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia. Najmniejszą z uzyskanych w ten
sposób wartości obciążenia uznajemy za nośność graniczną P ∗ .
Można wykazać, że jest to górne oszacowanie rzeczywistej nośności granicznej belki.