kowych cząstkowych pierwszego rzędu

Nieliniowe równania pierwszego rzędu
3
3–1
Informacja o nieliniowych równaniach różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu
Rozważmy nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu, dla
funkcji u = u(x, y),
F (x, y, u, ux , uy ) = 0.
(NL)
Oznaczmy p := ux , q := uy . Równanie (NL) ma teraz postać F (x, y, u, p, q) =
0
O wszystkich funkcjach zakładamy, że są na tyle regularne, że wszystkie
występujące w rachunkach pochodne cząstkowe są ciągłe (w szczególności,
zachodzi równość pochodnych mieszanych drugiego rzędu)
Różniczkując (NL) względem x i y otrzymujemy następujący układ quasiliniowych równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu:
(3.1)

∂F




 ∂x
∂F
p+
∂u

∂F
∂F



+
q+

∂y
∂u
+
∂F
∂F
px +
py = 0
∂p
∂q
∂F
∂F
qx +
qy = 0
∂p
∂q
(niewiadomymi są u, p i q).
Zauważmy, że niewiadome p i q są jakoś zależne od niewiadomej u. Dlatego też nie każde rozwiązanie układu (3.1) musi odpowiadać jakiemuś rozwiązaniu wyjściowego równania (NL). Okazuje się jednak, że po dołączeniu
pewnego warunku rzeczywiście tak jest. Opiszemy teraz pokrótce, bez dowodów, ideę.
Równania wstęg charakterystycznych to
(3.2)

dx





dt





 dy





dt




 dp


dt





dq






dt





du



dt
= Fp
= Fq
= −Fx − pFu
= −Fy − qFu
= pFp + qFq
(ostatnie z równań wzięło się ze zróżniczkowania tożsamości u(x(t), y(t)) =
u(t) po t).
3–2
Skompilował Janusz Mierczyński
Niech ` będzie krzywą klasy C 1 , o parametryzacji (x0 (s), y0 (s), u0 (s)),
s ∈ I.
Formalnie rzecz biorąc, zagadnienie Cauchy’ego dla równania (NL) to:
(NL-ZC)

F (x, y, u, u
x , uy )
u(x0 (s), y0 (s))
= 0,
= u0 (s)
dla s ∈ I.
Jednakże może to nie wystarczyć. Mianowicie, trzeba też w każdym punkcie
krzywej ` zadać wartości pochodnych cząstkowych, ux i uy . Zatem trzeba
jeszcze zadać
p0 (s) = ux (x0 (s), y0 (s)),
q0 (s) = uy (x0 (s), y0 (s)), s ∈ I.
Pierwszy warunek, który musi być spełniony żeby zagadnienie Cauchy’ego
w ogóle miało sens, to
F (x0 (s), y0 (s), u0 (s), p0 (s), q0 (s)) = 0,
s ∈ I.
Dla ustalonego punktu (x0 (s), y0 (s), u0 (s)) krzywej ` powyższe równanie może mieć jedno, więcej niż jedno, bądź w ogóle nie mieć rozwiązań (p0 (s), q0 (s)).
Dalej, różniczkując obie strony tożsamości u(x0 (s), y0 (s)) = u0 (s) po s
otrzymujemy
p0 (s)x00 (s) + q0 (s)y00 (s) = u00 (s), s ∈ I
(0 oznacza różniczkowanie po s). Warunek
(3.3)

F (x
0 (s), y0 (s), u0 (s), p0 (s), q0 (s))
p0 (s)x0 (s) + q0 (s)y 0 (s) = u0 (s),
0
0
0
= 0, s ∈ I
s∈I
nazywamy warunkiem wstęgi charakterystycznej .
Załóżmy, że wybraliśmy (p0 (s), q0 (s)), s ∈ I, spełniające warunek (3.3), i
zależne w sposób C 1 od s ∈ I.
Podobnie jak w przypadku równania quasiliniowego dowodzi się teraz, że
rodzina zagadnień początkowych
(3.4)

dx





dt






dy





dt




 du


dt





dp






dt





dq



dt
= Fp ,
x(0) = x0 (s)
= Fq ,
y(0) = y0 (s)
= pFp + qFq ,
u(0) = u0 (s)
= −Fx − pFu , p(0) = p0 (s)
= −Fy − qFu ,
q(0) = q0 (s)
Nieliniowe równania pierwszego rzędu
3–3
ma dokładnie jedno rozwiązanie
ξ = ξ(t, s),
η = η(t, s),
υ = υ(t, s),
ϕ = ϕ(t, s),
ψ = ψ(t, s)
określone na (−δ, δ) × I, gdzie δ > 0, i zależne w sposób C 1 od (t, s).
Jeśli ponadto spełniony jest warunek
F (x (s), y (s), u (s), p (s), q (s))
p 0
0
0
0
0
Fq (x0 (s), y0 (s), u0 (s), p0 (s), q0 (s))
x00 (s)
6= 0, s ∈ I,
y00 (s) to dwie pierwsze składowe rozwiązania można rozwikłać, t = t(ξ, η), s =
s(ξ, η), i funkcja
u(x, y) := υ(t(x, y), s(x, y))
przedstawia lokalnie jednoznaczne rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego. Dowód tego faktu jest analogiczny jak w przypadku równania quasiliniowego.
3.0.1
Interpretacja geometryczna
Ustalmy punkt (x0 , y0 , z0 ) na wykresie pewnego rozwiązania równania nieliniowego (NL). Płaszczyzna styczna do wykresu tego rozwiązania w punkcie
(x0 , y0 , z0 ) ma równanie
z − z0 = p(x − x0 ) + q(y − y0 ),
Ponadto zachodzi
F (x0 , y0 , z0 , p, q) = 0.
Stożkiem Monge’a(1) w punkcie (x0 , y0 , z0 ) nazywamy powierzchnię stożkową,
o wierzchołku w punkcie (x0 , y0 , z0 ) (czyli sumę półprostych o początku w
(x0 , y0 , z0 ) (tworzących)), taką że, po pierwsze, jest ona styczna w każdym
swym punkcie do płaszczyzny stycznej w (x0 , y0 , z0 ) do wykresu pewnego
rozwiązania, i, po drugie, dla każdego rozwiązania płaszczyzna styczna w
(x0 , y0 , z0 ) do jego wykresu jest styczna do pewnej tworzącej tej powierzchni
stożkowej.(2) Przy założeniu, że Fp i Fq nie są nigdzie równocześnie równe
zeru można wykazać, że rzeczywiście taka powierzchnia stożkowa istnieje.
Przyporządkowując każdemu punktowi (x, y, z) stożek Monge’a w tym
punkcie otrzymujemy „pole stożków”. Powierzchnia u = u(x, y) jest wykresem
rozwiązania równania (NL) wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym jej punkcie
płaszczyzna styczna zawiera pewną tworzącą stożka Monge’a w tym punkcie.
(1)
Gaspard Monge (1746–1818), od 1808 Comte de Péluse et de l’Empire, matematyk i
polityk francuski
(2)
Mówi się, że stożek Monge’a jest obwiednią rodziny powierzchni stycznych do wykresu
rozwiązania
3–4
3.1
Skompilował Janusz Mierczyński
Przykład: równanie eikonału
Równaniem eikonału nazywamy nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe
pierwszego rzędu
(ux )2 + (uy )2 =
(E)
1
,
c2
c > 0.
Równanie eikonału pojawia się w optyce geometrycznej. Poziomicę funkcji u
odpowiadającą wartości t interpretujemy jako miejsce, w którym w chwili t
znajduje się czoło fali.
Zauważmy, że w każdym punkcie płaszczyzny styczne do wykresu rozwiązania równania (E) tworzą z osią OZ kąt ϑ = arc tg c. Zatem stożek Monge’a
to „prawdziwa” powierzchnia stożkowa o pionowej osi symetrii i kącie wierzchołkowym 2ϑ.
Zapiszmy
F (x, y, u, p, q) := 21 (c2 p2 + c2 q 2 − 1).
Równania wstęg charakterystycznych (3.2) przyjmują postać


 dx



dt






dy






 dt


 dp


dt





dq






dt





du



dt
= c2 p
= c2 q
=0
=0
= 1.
Rozważmy krzywą ` klasy C 1 , o parametryzacji (x0 (s), y0 (s), u0 (s)), s ∈ I.
Warunek wstęgi charakterystycznej (3.3) ma postać

(p
1
2
2
0 (s)) + (q0 (s)) = c2
p0 (s)x0 (s) + q0 (s)y 0 (s)
0
0
=
u00 (s),
s∈I
s ∈ I.
Gdy (x00 (s))2 + (y00 (s))2 < c2 (u00 (s))2 dla s ∈ I (w teorii względności mówi
się wtedy, że ` jest krzywą czasową), warunki wstęgi charakterystycznej nie
mogą być spełnione dla żadnego s, zatem zagadnienie Cauchy’ego nie ma
rozwiązań.
Załóżmy teraz, że (x00 (s))2 + (y00 (s))2 > c2 (u00 (s))2 dla s ∈ I (` jest krzywą
przestrzenną). Zagadnienie Cauchy’ego da się wtedy rozwiązać.
Nieliniowe równania pierwszego rzędu
3–5
W szczególności, niech u0 (s) ≡ 0. Wówczas warunek wstęgi charakterystycznej,

(p
1
2
2
0 (s)) + (q0 (s)) = c2
p0 (s)x0 (s) + q0 (s)y 0 (s)
0
0
(3.5)
s∈I
= 0, s ∈ I.
daje, dla każdego s ∈ I, dwa rozwiązania. Ustalmy (p0 (s), q0 (s)) zależne w
sposób C 1 od s ∈ I (da się to zrobić na dokładnie dwa sposoby, ponieważ
(x00 (s), y00 (s)) jest wektorem niezerowym dla wszystkich s ∈ I).
Zagadnienie początkowe (3.4) ma rozwiązanie


ξ(t, s) = x0 (s) + c2 tp0 (s)





η(t, s) = y0 (s) + c2 tq0 (s)


(3.6)
υ(t, s) = t
= p0 (s)
ψ(t, s) = q0 (s).




ϕ(t, s)





Żeby uzyskać pojęcie o rozwiązaniu u(x, y) warunku Cauchy’ego, będziemy
analizowali jego poziomice, czyli zbiory
`t := { (x, y) : u(x, y) = t} dla ustalonego t > 0.
Przypominam, że interpretacja fizyczna takiej poziomicy to czoło fali w chwili
t, czyli miejsce, do którego dotarło światło wychodzące, z prędkością c, z
krzywej `0 .
Z trzech pierwszych równości w (3.6) wynika, że zbiór `t ma przedstawienie parametryczne
x(s) = x0 (s) + c2 tp0 (s),
y(s) = y0 (s) + c2 tq0 (s),
s ∈ I.
Druga równość w (3.5) mówi nam, że w każdym punkcie krzywej `0 wektor
(p0 (s), q0 (s)) jest wektorem normalnym do tej krzywej. Zatem, półprosta
{ (x0 (s) + c2 tp0 (s), y0 (s) + c2 tq0 (s)) : t ­ 0}
to normalna do krzywej `0 w punkcie (x0 (s), y0 (s)). W interpretacji fizycznej,
jest to promień wychodzący z (x0 (s), y0 (s)). Szybkość, z jaką porusza się czoło
fali, jest równa
v
u
u
t
∂ξ
∂t
!2
∂η
+
∂t
!2
q
= c2 (p0 (s))2 + (q0 (s))2 = c.
3–6
Skompilował Janusz Mierczyński
Zatem krzywą `t można otrzymać przez odłożenie odległości ct na normalnych do krzywej `0 .
Ponadto, z dwóch ostatnich równości w (3.6) wynika, że krzywa `t , czyli
czoło fali w chwili t, jest w każdym swym punkcie prostopadła do promienia
w tym punkcie.
Zauważmy, że funkcja (zadana w postaci uwikłanej)
(3.7)
c2 (u − z0 )2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ,
gdzie (x0 , y0 , z0 ) jest ustalonym punktem, jest rozwiązaniem równania (E)(3)
Gdy z0 = 0, poziomice („górnej”) funkcji zadanej wzorem (3.7), czyli okręgi
o środku w (x0 , y0 ) i promieniu ct, to czoła fal kołowych wychodzących z
punktu (x0 , y0 ).
Można wykazać, że wykres rozwiązania równania (E) przechodzący przez
krzywą ` zawartą w płaszczyźnie XOY jest w każdym swym punkcie styczny
do powierzchni stożkowej (3.7) dla pewnego (x0 , y0 , 0) z krzywej `(4) . Jest to
matematyczny wyraz znanej z fizyki zasady Huygensa, nieformalnie sformułowanej w postaci: dowolna fala jest „sumą” fal kołowych.
(3)
Zauważmy, że jest to równanie stożka Monge’a w punkcie (x0 , y0 , z0 ). Warto zaakcentować, że w przykładu ogólnego równania nieliniowego (NL) stożek Monge’a może nie być
wykresem żadnego rozwiązania.
(4)
Mówimy, że wykres rozwiązania jest obwiednią rodziny powierzchni (3.7).