Wykład nr 12 (Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, n

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
12
12–1
Równania różniczkowe cząstkowe
drugiego rzędu, n = 2
12.1
Zagadnienie Cauchy’ego i charakterystyki
Równania rozważane w niniejszym rozdziale mają ogólną postać
F (x, y, u, ux, uy , uxx , uxy , uyy ) = 0,
gdzie niewiadomą jest funkcja u = u(x, y). Ważnymi szczególnymi
przypadkami są:
• równanie liniowe o zmiennych współczynnikach
a(x, y)uxx+b(x, y)uxy +c(x, y)uyy +d(x, y)ux+e(x, y)uy +f (x, y)u = g(x, y),
• równanie semiliniowe
a(x, y)uxx + b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = g(x, y, u, ux, uy ),
• równanie quasiliniowe
a(x, y, u, ux, uy )uxx +b(x, y, u, ux, uy )uxy +c(x, y, u, ux, uy )uyy = g(x, y, u, ux, uy ).
W dalszym ciągu ograniczymy rozważania do równań semiliniowych
(12.1)
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux, uy ) = 0.
Będziemy zakładali, ze funkcje a = a(x, y), b = b(x, y) i c = c(x, y) są
określone i dostatecznie regularne w pewnym obszarze Ω ⊂ R2 oraz
d = d(x, y, u, p, q) jest określona i regularna w obszarze cylindrycznym
Ω × R3 .
Niech `0 , o parametryzacji (x0 (s), y0(s)), s ∈ [s1 , s2 ], będzie zadaną krzywą
klasy C 1 zawartą w Ω. Poszukujemy warunków, które pozwolą wyznaczyć w
sposób jednoznaczny rozwiązanie u = u(x, y) równania (12.1) w pewnym
otoczeniu `0 . Przez analogię do równań pierwszego rzędu, wzdłuż `0
zadajemy wartości rozwiązania u
(12.2)
u(x0 (s), y0 (s)) = u0 (s) dla s ∈ [s1 , s2 ].
Warunkiem koniecznym (lecz nie zawsze dostatecznym) znalezienia
rozwiązania jest możliwość wyznaczenia wzdłuż `0 wartości wszystkich
12–2
Skompilował Janusz Mierczyński
pochodnych funkcji u występujących w równaniu. W tym celu
różniczkujemy obustronnie równość (2) otrzymując
p0 (s)x00 (s) + q0 (s)y00 (s) = u00 (s) dla s ∈ [s1 , s2 ],
(12.3)
gdzie
p0 (s) := ux (x0 (s), y0 (s)),
q0 (s) := uy (x0 (s), y0 (s)).
Różniczkując funkcje p0 (s) i q0 (s) otrzymujemy kolejno
uxx (x0 (s), y0(s))x00 (s) + uyy (x0 (s), y0(s))y00 (s) = p00 (s),
uxy (x0 (s), y0(s))x00 (s) + uyy (x0 (s), y0(s))y00 (s) = q00 (s)
dla s ∈ [s1 , s2 ]. Uwzględniając równanie (12.1) otrzymujemy następujący
układ równań jakie spełniają wartości pochodnych uxx , uxy , uyy w punkcie
(x0 (s), y0(s)) krzywej `0
auxx + 2buxy + cuyy = −d
x00 uxx + y00 uxy
= p00
0
0
x0 uxy + y0 uyy = q00
(dla uproszczenia zapisu pomijamy argumenty we wszystkich
występujących tu wyrażeniach). Powyższy układ ma dokładnie jedno
rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
∆=
to jest, gdy
a
0
x0
0
2b c y00 0 6= 0 dla s ∈ [s1 , s2 ],
x00 y00 a(y00 )2 − 2bx00 y00 + c(y00 )2 6= 0 dla s ∈ [s1 , s2 ].
Zauważmy, ze z równania (12.3) wynika, że spośród funkcji u0 (s), p0 (s) i
q0 (s) co najwyżej dwie możemy zadać dowolnie.
Zwykle zadajemy
(12.4)
u|`0 = u0 (s) dla s ∈ [s1 , s2 ]
i
(12.5)
∂u −p0 (s)y00 (s) + q0 (s)x00 (s)
:= q
= v0 (s) dla s ∈ [s1 , s2 ].
∂ν `0
(x00 (s))2 + (x00 (s))2
Przeprowadzone rozważania uzasadniają przyjęcie następujących definicji:
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
12–3
Definicja. Zagadnieniem Cauchy’ego dla równania (12.1) nazywamy zadanie
polegające na znalezieniu rozwiązania równania (12.1) spełniającego
warunki Cauchy’ego (12.4) i (12.5).
Definicja. Krzywą γ klasy C 1 , o parametryzacji (x(τ ), y(τ )), τ ∈ (τ1 , τ2 ),
nazywamy charakterystyką równania (12.1), gdy
a(x(τ ), y(τ ))(y00 (τ ))2 − 2b(x(τ ), y(τ ))x00 (τ )y00 (τ ) + c(x(τ ), y(τ ))(y00 (τ ))2 = 0
dla wszystkich τ ∈ (τ1 , τ2 ).
12.2
Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych
drugiego rzędu
Rozważmy semiliniowe równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
(RSL)
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux, uy ) = 0,
gdzie a, b, c : Ω → R są funkcjami klasy C 1 określonymi na obszarze Ω ⊂ R2 .
Wyrażenie L[u] zdefiniowane jako
L[u](x, y) := a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy
nazywamy częścią główną równania (RSL).
Definicja.
• Równanie (RSL) jest hiperboliczne w punkcie (x0 , y0 ) ∈ Ω, gdy
(b(x0 , y0))2 − a(x0 , y0 ) · c(x0 , y0) > 0.
• Równanie (RSL) jest paraboliczne w punkcie (x0 , y0) ∈ Ω, gdy
(b(x0 , y0))2 − a(x0 , y0 ) · c(x0 , y0) = 0.
• Równanie (RSL) jest eliptyczne w punkcie (x0 , y0) ∈ Ω, gdy
(b(x0 , y0))2 − a(x0 , y0 ) · c(x0 , y0) < 0.
Mówimy, że równanie (RSL) jest hiperboliczne (odp. paraboliczne,
eliptyczne) w obszarze Ω, gdy jest hiperboliczne (odp. paraboliczne,
eliptyczne) w każdym punkcie tego obszaru.
12–4
Skompilował Janusz Mierczyński
Twierdzenie 12.1 (Postać kanoniczna równania semiliniowego). (1)
Jeśli równanie (RSL) jest hiperboliczne w obszarze Ω, to w otoczeniu
każdego punktu (x0 , y0) ∈ Ω istnieje zamiana zmiennych (x, y) ↔ (ξ, η)
klasy C 2 taka, że w zmiennych (ξ, η) równanie ma postać
(RH-PK)
uξξ − uηη + . . . = 0.
(2) Jeśli równanie (RSL) jest paraboliczne w obszarze Ω, to w otoczeniu
każdego punktu (x0 , y0) ∈ Ω istnieje zamiana zmiennych (x, y) ↔ (ξ, η)
klasy C 2 taka, że w zmiennych (ξ, η) równanie ma postać
(RP-PK)
uξξ + . . . = 0.
(3) Jeśli równanie (RSL) jest eliptyczne w obszarze Ω, to w otoczeniu
każdego punktu (x0 , y0) ∈ Ω istnieje zamiana zmiennych (x, y) ↔ (ξ, η)
klasy C 2 taka, że w zmiennych (ξ, η) równanie ma postać
(RE-PK)
uξξ + uηη + . . . = 0.
(W powyższych wzorach, . . . oznacza wyrazy z pochodnymi rzędu mniejszego
niż dwa.)
Wyrażenie (RH-PK) (odp. (RP-PK), (RE-PK)) nazywamy postacią
kanoniczną równania hiperbolicznego (odp. parabolicznego, eliptycznego).