ZAJĘCIA 56. Równania wielomianowe.

ZAJĘCIA 56.
Równania wielomianowe.
Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu
do zera.
Zobaczmy na przykłady:
•
•
•
4x + 1 = 0
3x2 + 2x − 5 = 0
x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x1 − 1 = 0
Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich x ∈ R, dla których
wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych
zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:
•
•
•
•
ze wzorów skróconego mnoŜenia
z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)
MoŜemy wyszczególnić:
1.
Równania, które nie mają wyrazu wolnego:
naleŜy x wyłączyć przed nawias i rozwiązać równanie z nawiasu. Zawsze jednym z rozwiązań jest x1=0
np.
x3 + 3x2 – 4x = 0
x3 - 6x2 + 9x = 0
x3 + 3x2 + 4x = 0
2
2
x (x + 3x – 4 ) = 0
x (x - 6x + 9) = 0
x (x2+ 3x + 4) = 0
2
x ( x -1 )(x + 4) = 0
x(x–3) =0
x1 = 0,
<0
x1 =0, x2=3 (2-krotny)
x1=0, x2=1, x3=-4
2. Równania,
np.
x3 + 3x2 + 3x +
1= 0
(x + 1 )3 = 0
x1= -1 (3kroyny)
3. Równania,
które moŜna rozłoŜyć na czynniki stosując wzory skróconego mnoŜenia
x3 - 3x2 + 3x - 1= 0
(x - 1 )3 = 0
x1= 1 (3-kroyny)
x3 + 8= 0
(x +2)(x2-2x +4) = 0
x1= -2, ∆< 0
x3 - 27= 0
(x -3)(x2+3x +9)
x1= 3, ∆ < 0
x4 – 16 =0
(x2-4)(x2+4)=0
(x-2)(x+2)(x2+4)=0
x1 =2, x2= -2
które moŜna rozłoŜyć na czynniki grupując wyrazy
np.
x3 + x2 - 4x -4= 0
x2 (x+1) –4 (x+1)=0
(x +1) (x2-4) =0
(x +1)(x-2)(x+2) =0
x1=-1, x2=2, x3=-2
x3 -3x2 + x - 3= 0
x2 (x-3) +(x-3)=0
(x-3) (x2+1)=0
x1= 3
x3 + 2x2 - 3x -6= 0
x2 (x+2) -3 (x+2)=0
(x+2)(x2-3)=0
3 )(x+ 3 )=0
x1=-2, x2= 3 , x3= - 3
(x+2)(x-
4. Równania dwukwadratowe
naleŜy za x2 podstawić t i rozwiązać równanie kwadratowe
np.
x4-5x2 +4=0
niech x2=t
t2 –5t + 4= 0
(t-1)(t-4)=0
t1 =1,
t2= 4
x2=1
x2=4
x1=1, x2=-1, x3=2, x4=-2
5. Równania,
x4-7x2 -18=0
niech x2=t
t2 –7t -18= 0
(t+2)( t -9)=0
t1 =-2,
x2=-2
x 0
t2= 9
x2=9
x1=3, x2=-3
x4+4x2 +3=0
niech x2=t
t2 +4t +3= 0
(t+1) (t +3)=0
t1 =-2,
x2=-2
x 0
t2= -3
x2=-3
x 0
które moŜna rozwiązać stosując twierdzenie Bezoutea.
Twierdzenie Bezoutea: JeŜeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne, to są one
dzielnikami wyrazu wolnego p (gdy g = 1 ) lub dzielnikami ułamka
(p = a0 – wyraz wolny, g = an -współczynnik kierunkowy)
.
Np. x3 +6x -7= 0
D7 { 1, 7}
W(1)=13+6*1-7=0
x1=1
(x3 + 0x2+6x –7) : (x-1)= x2+x+7
-x3 + x2
6=0
<0
x2+6x
(x+2)=0
-x2 + x
x3=-2
7x – 7
-7x +7
x3 + x2 - 8x -12= 0
D12 { 1, 2, 3, 4, 6, 12}
W(1)=13+12-8*1-12=1+1-8-12 0
W(-2)=(-2)3+(-2)2-8*(-2)-12=-8+4+16-12=0
x1=-2
(x3 + x2 - 8x –12 ): (x+2)= x2-x-6
- x3-2 x2
(x-3)
- x2 –8x
x2 +2x
-6x –12
2-kr)
x1=1
x2-x-
6x +12
x2=3,
x1=-2 (
x2=3
WYKRESY WIELOMIANÓW:
np.
rozwiązujemy równanie wielomianowe
piszemy postać iloczynową wielomianu (w nawiasie musi być x liczba)
ustalamy krotność pierwiastków
ustalamy znak współczynnika kierunkowego
wykres zaczynamy rysować z prawej strony (jeŜeli an > 0 od góry, jeŜeli an < 0 od dołu )
jeŜeli miejsce zerowe jest nieparzystokrotne (x a)1,3,5... to wykres przecina oś OX, jeŜeli miejsce zerowe
jest parzystokrotne (x a)2,4,6... to wykres styka się z osią OX
–23 (x+3)9 (x –1)14 (x-5) x 0
x1 =-3, x2=1, x3=5, x4=0