1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH

Transkrypt

05/06
1
1.1 Analiza kinematyczna – podstawowe definicje
Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza
sztywna. Jest to uogólnienie znanej z kursu fizyki bryły sztywnej czyli ciała, którego odkształcanie w
warunkach danego zagadnienia jest zaniedbywalnie małe a odległość pomiędzy dwoma dowolnymi
punktami bryły sztywnej jest stała niezależnie od wielkości działających sił. Tarczę sztywną możemy sobie
wyobrazić jako bardzo cienką, płaską bryłę sztywną w kształcie plastra. Tarcza sztywna wraz z obciążeniem
na nią działającym znajdują się na jednej płaszczyźnie.
Przyjęcie tarczy sztywnej jako modelu rzeczywistej konstrukcji jest uzasadnione tym, że deformacje
mierzone w rzeczywistych konstrukcjach są bardzo małe w porównaniu z jej wymiarami. Można więc
przyjąć, że analizujemy konstrukcję niezdeformowaną czyli tak zwaną konfigurację pierwotną
konstrukcji. Inaczej powyższą zasadę nazywa się zasadą zesztywnienia.
Belki i ramy płaskie stanowią ustroje budowlane nazywane konstrukcjami prętowymi. Podstawowym
elementem konstrukcyjnym jest pręt. Pręt powstaje wtedy, gdy po linii regularnej AB przemieszcza się
środek ciężkości figury płaskiej (jeżeli wykonamy przekrój pręta z cienkiej blachy i podeprzemy go
dokładnie w środku ciężkości na szpilce to będzie on leżał stabilnie) w taki sposób aby płaszczyzna figury
była zawsze prostopadła do linii AB. Kontur figury opisuje bryłę geometryczną, która wypełniona
materiałem tworzy pręt. Przedstawia to rysunek 1.1. Z przekrojem pręta będzie związany układ
współrzędnych XYZ. Początek tego układu znajduje się w środku ciężkości przekroju (punkt A). Oś X jest
styczna do osi pręta. Położenie pozostałych osi przedstawia rysunek 1.2.
B
A
Rys. 1.1. Pręt.
B
A
Y=Y0
X
Z=Z0
Rys. 1.2. Układ współrzędnych związany z przekrojem pręta.
Figurę płaską nazywamy przekrojem pręta. Linię AB nazywamy osią pręta. Jeżeli oś pręta jest linią prostą
to pręt jest prostoliniowy. Jeżeli przekrój pręta jest stały to pręt jest prętem pryzmatycznym. Modelem
matematycznym pręta jest jest jego oś. Przedstawia to rysunek 1.3.W zagadnieniach przedstawionych w
niniejszym rozdziale osie wszystkich prętów będą znajdowały się na jednej płaszczyźnie. Na potrzeby
analizy kinematycznej belek i ram płaskich możemy pręt traktować jako bardzo wydłużoną tarczę sztywną.
Przedstawia to rysunek 1.4.
Następnym bardzo ważnym pojęciem przy analizie kinematycznej jest stopień swobody. Jest to niezależny
parametr, za pomocą którego opisujemy położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie. Ich liczba określa nam
liczbę stopni swobody tarczy sztywnej. Aby znać dokładne położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
05/06
2
wystarczy znać położenie dowolnego odcinka AB. Położenie tego odcinka może być opisane za pomocą
dwóch współrzędnych punktu A (xA i yA) i kąta α, który jest kątem nachylenia odcinka AB. Przedstawia to
rysunek 1.5. Można więc stwierdzić, że pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie trzy stopnie
swobody.
B
A
Rzeczywisty obiekt
B
Model matematyczny
A
Rys. 1.3. Pręt i jego model matematyczny.
Model matematyczny
Tarcza sztywna
Rys. 1.4. Model matematyczny pręta jako tarcza sztywna.
Y
B
xA
A
α
yA
X
Rys. 1.5. Niezależne parametry opisujące położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie.
1.2 Więzy
Jak wiadomo od konstrukcji budowlanej wymagamy aby nie była ona mechanizmem i pozostała
nieruchoma pod wpływem obciążenia. Aby tak było należy odebrać jej wszystkie stopnie swobody. Robi się
to przymocowując tarcze sztywne do nieruchomej tarczy podporowej za pomocą więzów. Pierwszym
rodzajem więzu jest pręt podporowy. Został on przedstawiony na rysunku 1.6 a i b. Schemat pręta
podporowego przedstawia rysunek 1.6 c.
Zaoczni
05/06
a)
b)
3
c)
A
A
A
Rys. 1.6. Pręt podporowy. a) widok z przodu, b) widok z boku, c) schemat pręta podporowego.
Jak widać na rysunku 1.6 pręt podporowy ma możliwość obrotu względem sworznia (a w zasadzie punktu)
A. Tarczę sztywną podpartą prętem podporowym przedstawia rysunek 1.7. Do opisu położenia tarczy
sztywnej połączonej z podłożem jednym prętem podporowym potrzebne są dwa niezależne parametry (kąty
α oraz β). Czyli tarcza sztywna utraciła jeden stopień swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że pręt
podporowy odbiera tarczy sztywnej jeden stopień swobody (stanowi jeden więz).
β
A
α
Rys. 1.7. Tarcza sztywna podparta jednym prętem podporowym.
Drugim rodzajem więzu jest przegub. Przedstawia go rysunek 1.8. Tarcza sztywna ma możliwość obrotu
względem takiego przegubu.
a)
b)
A
c)
A
A
Rys. 1.8. Tarcza sztywna podparta przegubem rzeczywistym.
Przegub przedstawiony na rysunku 1.8 nazywa się przegubem rzeczywistym. Do opisu położenia tarczy
sztywnej połączonej z podłożem przegubem rzeczywistym potrzebny jest jeden niezależny parametr (kąt
nachylenia tarczy sztywnej do poziomu). Czyli tarcza sztywna utraciła dwa stopnie swobody. Można więc
ostatecznie stwierdzić, że przegub rzeczywisty odbiera tarczy sztywnej dwa stopnie swobody (stanowi
dwa więzy).
Przegub może być także utworzony z dwóch prętów podporowych. Mówimy wtedy o przegubie fikcyjnym.
Punkt przegubu znajduje się na przecięciu kierunków obu prętów podporowych. Przedstawia to rysunek 1.9.
Może się zdarzyć taka sytuacja, że oba pręty podporowe tworzące przegub fikcyjny będą do siebie
równoległe. Wtedy przegub fikcyjny znajduje się w nieskończoności i taki przegub nazywa się przegubem
niewłaściwym. Tarczę sztywną podpartą dwoma równoległymi prętami podporowymi przedstawia rysunek
1.10 a. Rysunku 1.10 b przedstawia ruch tarczy sztywnej, która przesunęła się w kierunku prostopadłym do
Zaoczni
05/06
4
kierunku obu prętów podporowych.
A
A
Rys. 1.9. Przegub fikcyjny.
a)
b)
∞
A
Rys. 1.10. Tarcza sztywna podparta przegubem niewłaściwym.
Możliwe jest także połączenie więcej niż dwóch tarcz sztywnych przegubem. Przegub taki nazywa się
przegubem wielokrotnym. Rysunek 1.11 a przedstawia trzy tarcze sztywne połączone przegubem
wielokrotnym.
a)
b)
II
II
I
I
A
III
A
III
Rys. 1.11. Przegub wielokrotny.
Jak widać przegub wielokrotny A łączący trzy tarcze sztywne odpowiada czterem prętom podporowym.
Ogólnie jeżeli przegub wielokrotny łączy t tarcz sztywnych to odpowiada on
2⋅ t−1 
(1.1)
prętom podporowym.
W przypadku konstrukcji prętowych poszczególne więzy mają inne nazwy i oznaczenia. Pojedynczy pręt
podporowy nazywa się podporą przegubowo-przesuwną. Przedstawia ją rysunek 1.12.
Przegub rzeczywisty łączący ze sobą dwa pręty jest traktowany tak samo jak przegub rzeczywisty łączący
dwie tarcze sztywne.
Natomiast dwa pręty podporowe stanowią podporę przegubowo-nieprzesuwną. Przedstawia ją rysunek
1.13.
Jeżeli dwa pręty podporowe będą do siebie równoległe (przegub niewłaściwy) to podporę taką nazywa się
podporą ślizgową. Przedstawia ją rysunek 1.14.
Zaoczni
05/06
5
Rys. 1.12. Podpora przegubowo-przesuwna.
Rys. 1.13. Podpora przegubowo-nieprzesuwna.
Tarcza sztywna może być do podłoża przymocowana za pomocą trzech prętów, których kierunki nie będą się
przecinać w jednym punkcie. Podporę taką nazywamy utwierdzeniem. Przedstawia ją rysunek 1.15.
Rys. 1.14. Podpora ślizgowa (przegub niewłaściwy).
Rys. 1.15. Utwierdzenie.
1.3. Warunki geometrycznej niezmienności
Układem tarcz sztywnych geometrycznie niezmiennym nazywamy taki układ tarcz, któremu zostały
odebrane wszystkie stopnie swobody, w taki sposób, że układ ten nie może się przemieszczać. Pozostałe
układy będą układami geometrycznie zmiennymi.
Zaoczni
05/06
6
W punkcie 1.1 stwierdziliśmy, że pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie trzy stopnie swobody.
Jeżeli tych tarcz będzie t to będą one posiadały
3⋅t
(1.2)
stopni swobody. Jest to także minimalna konieczna liczba więzów, które muszą być zastosowane aby
unieruchomić układ tarcz sztywnych. Warunkiem koniecznym geometrycznej niezmienności układu tarcz
sztywnych jest zależność
3⋅t p ,
(1.3)
w której t oznacza liczbę tarcz natomiast p oznacza liczbę zastosowanych więzów. Nierówność (1.3)
oznacza, że liczba zastosowanych więzów jest większa lub równa liczbie stopni swobody wszystkich tarcz
sztywnych stanowiących układ tarcz sztywnych. Układy, w których zastosowano większą niż minimalna
liczba więzów nazywa się układami statycznie niewyznaczalnymi.. Układy tego typu nie będą tutaj
rozpatrywane ze względu na to, że do rozwiązania ich konieczne będą dodatkowe równania niż tylko
rozpatrywane w dalszej części równania równowagi.
W naszym przypadku nierówność (1.3) będzie miała formę równości
3⋅t= p .
(1.4)
Układy, w których zastosowano minimalną liczbę więzów nazywa się układami statycznie
wyznaczalnymi.
Równanie (1.4) jest warunkiem koniecznym ale niewystarczającym geometrycznej niezmienności. Możliwe
są układy, które spełniają równanie (1.4) jednak będące układami geometrycznie zmiennymi. Układ tarcz
sztywnych musi spełniać także warunki dostateczne geometrycznej niezmienności. Dopiero spełnienie
warunku koniecznego oraz warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności stanowi o tym, że układ
tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny.
Dla pojedynczej tarczy sztywnej podpartej trzema prętami podporowymi warunkiem dostatecznym
geometrycznej niezmienności jest to, że kierunki wszystkich trzech prętów podporowych nie mogą
przecinać się w jednym punkcie. Rysunek 1.16 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną
natomiast rysunek 1.16 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną.
a)
b)
Rys. 1.16. Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna.
Dla pojedynczej tarczy sztywnej podpartej przegubem rzeczywistym i prętem podporowym warunkiem
dostatecznym geometrycznej niezmienności jest to, aby przegub rzeczywisty nie znajdował się na
kierunku pręta podporowego. Rysunek 1.17 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną
natomiast rysunek 1.17 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną.
Zaoczni
05/06
a)
7
b)
Rys. 1.17. Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna.
Często wykorzystywanym układem tarcz sztywnych jest układ trzech tarcz (z których jedna może być tarczą
podporową) połączonych między sobą przegubami (rzeczywistym, fikcyjnym lub niewłaściwym). Układ taki
nazywamy układem trójprzegubowym. Dla takiego układu tarcz sztywnych warunkiem dostatecznym
geometrycznej niezmienności jest fakt, że trzy przeguby nie znajdują się na jednej prostej. Rysunek 1.18
przedstawia układy trójprzegubowe geometrycznie niezmienne natomiast rysunek 1.19 przedstawia układy
trójprzegubowe geometrycznie zmienne.
Korzystając z trzech powyższych warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności można
udowodnić, geometryczną niezmienność większości przypadków układów tarcz sztywnych. Analizę
kinematyczną zaczyna się od tej tarczy sztywnej lub układu trójprzegubowego, które spełniają jeden z
powyższych warunków dostatecznych. Taką tarczę lub układ trójprzegubowy można więc teraz uznać jako
tarczę podporową dla pozostałych tarcz sztywnych. Analizę pozostałych tarcz sztywnych przeprowadza się
podobnie jak na początku analizy kinematycznej. Istnieją układy tarcz sztywnych, dla których nie da się
udowodnić geometrycznej niezmienności w sposób opisany powyżej. Dla takich układów analizę
kinematyczną przeprowadza się metodą nazywaną planem biegunów (metoda ta nie będzie tutaj
rozpatrywana) lub przy wykorzystaniu równań równowagi, co zostanie opisane w dalszej części.
B
B
C
A
A
C
A
B
∞
C
Rys. 1.18. Układy trójprzegubowe geometrycznie niezmienne.
1.4 Definicje belki i ramy płaskiej
Belką nazywamy płaską konstrukcję prętową (złożoną z prętów), których osie leżą na jednej prostej.
Jeżeli belka składa się tylko z jednego pręta to nazywamy ją belką prostą. Istnieją dwa rodzaje belek
Zaoczni
05/06
8
prostych. Jednym z nich jest belka swobodnie podparta. Przedstawia ją rysunek 1.20.
A
B
C
C
B
∞
A
C
A
B
Rys. 1.19. Układy trójprzegubowe geometrycznie zmienne.
Rys. 1.20. Belka swobodnie podparta.
Drugim rodzajem belki prostej jest belka wspornikowa. Przedstawia ją rysunek 1.21.
Rys. 1.21. Belka wspornikowa.
Jeżeli belka jest złożona z więcej niż jednego pręta to taką belkę nazywamy belką złożoną. Belki złożone
statycznie wyznaczalne przedstawiają rysunki 1.22, 1.23, 1.24 i 1.25.
Rys. 1.22. Belka złożona.
Ramą nazywamy płaską konstrukcję prętową, w której osie prętów nie znajdują się na jednej prostej.
Przykłady ram składających się z jednego pręta o osi łamanej (rama prosta) przedstawiono na rysunkach
1.26 i 1.27.
Zaoczni
05/06
9
Rys. 1.26. Rama prosta.
Rysunek 1.28 przedstawia ramę trójprzegubową (jest to rama złożona) natomiast rysunek 1.29 przedstawia
ramę złożoną, składającą się z dwóch prętów.
Zaoczni
05/06
10
1.5 Analiza statyczna – podstawowe definicje
Analiza statyczna zajmuje się obliczaniem obciążeń działających na konstrukcję. Obciążenia te są
dwojakiego rodzaju. Pierwszym z nich jest obciążenie czynne. Obciążenie to pochodzi ciężaru własnego
konstrukcji oraz elementów umieszczonych na niej. Drugim rodzajem obciążenia jest obciążenie bierne
nazywane inaczej reakcjami. Jest to obciążenie, które powstaje w więzach konstrukcji w wyniku
oddziaływania konstrukcji na dany więz.
Rys. 1.28. Rama trójprzegubowa.
Rys. 1.29. Rama złożona.
Podstawowym obciążeniem konstrukcji jest siła. W mechanice istnieje podstawowy aksjomat, który traktuje
siłę jako wektor. Dzięki temu obliczając siły możemy stosować rachunek wektorowy. Zakładamy, że
wszystkie siły działające na konstrukcję będą działały na tej samej płaszczyźnie, na której znajdują się
Zaoczni
05/06
11
wszystkie pręty (tarcze sztywne). Zamiast klasycznego ujęcia rachunku wektorowego będziemy stosować
pewne uproszczenia w zapisie działań na wektorach. Jednostką siły w układzie SI jest N (Niuton). Tutaj
będziemy jednak używać jej wielokrotności kN (kiloniuton).
Rzutem siły P na kierunek n nazywamy siłę P(n) przedstawioną na rysunku 1.30. Jej wartość wynosi
n 
P =P⋅cos .
(1.5)
P
α
n
P(n)
Rys. 1.30. Rzut siły P na kierunek n.
Rozkład siły P na dwie składowe P(n) oraz P(m) , których kierunki są do siebie prostopadłe przedstawia
rysunek 1.31.
m
P(m)
P
α
n
P(n)
Rys. 1.31. Rozkład siły P na dwa kierunki wzajemnie prostopadłe.
Wartość składowej P(n) oblicza się ze wzoru (1.5) natomiast wartość składowej P(m) oblicza się ze wzoru
m 
P =P⋅sin .
(1.6)
Zwroty obu składowych wynikają ze zwrotu siły P.
Momentem siły względem punktu nazywamy iloczyn wartości siły i odległości od punktu. O tym czy jest
to moment dodatni czy ujemny decyduje kierunek obrotu siły względem punktu. Jeżeli obrót następuje
zgodnie z ruchem wskazówek zegara to będziemy przyjmować taki moment siły jako dodatni. Jeżeli
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara to będziemy przyjmować taki moment siły jako ujemny. Moment
kilku sił względem punktu jest sumą momentów od poszczególnych sił. Na rysunku 1.32 przedstawione są
trzy siły, których moment względem punktu O wynosi
M O=P1⋅a1 −P 2⋅a2P 3⋅a3
.
(1.7)
Siła P2 obraca się przeciwnie do ruch wskazówek zegara względem punktu O więc jej moment jest ujemny.
Zaoczni
05/06
12
P1
a1
O
a2
P2
a3
P3
Rys. 1.32. Moment układu sił względem punktu O.
Parą sił nazywamy układ dwóch sił o takich samych wartościach, kierunkach równoległych do siebie lecz
przeciwnych zwrotach. Moment pary sił względem dowolnego punktu O wynosi
M O=P⋅a
,
(1.8)
w którym a jest odległością sił od siebie. Jak widać moment pary sił nie zależy od położenia punktu O.
Rysunek 1.33 przedstawia parę sił.
O
P
a
P
Rys. 1.33. Para sił.
1.6 Obciążenie bierne - reakcje
Jak wiadomo obciążenie bierne są to siły jakie powstają w więzach układu prętowego. W pręcie
podporowym, który jak wiadomo, odbiera jeden stopień swobody będzie występowała jedna reakcja.
Kierunek tej reakcji pokrywa się z kierunkiem pręta. Wartość tej reakcji będzie wynikała z zagadnień
opisanych w dalszej części. Identyczne będzie sytuacja w podporze przegubowo-przesuwnej. Reakcje w
pręcie podporowym oraz w podporze przegubowo-przesuwnej przedstawia rysunek 1.34.
Podpora przegubowo-nieprzesuwna odbiera prętowi dwa stopnie swobody więc na tej podporze wystąpią
dwie reakcje. Najczęściej przyjmuje się, że jedna z nich jest pionowa a druga pozioma. Rysunek 1.35
przedstawia reakcje na podporze przegubowo-nieprzesuwnej.
Zaoczni
05/06
13
R
R
R
R
R
R
Rys. 1.34. Reakcja w pręcie podporowym i podporze przegubowo-przesuwnej.
H
H
V
V
Rys. 1.35. Reakcje na podporze przegubowo-nieprzesuwnej.
Podpora ślizgowa odbiera także dwa stopnie swobody więc na tej podporze muszą wystąpić dwie reakcje.
Na rysunku 1.36 a w każdym z prętów tej podpory występuje pojedyncza reakcja. Reakcje te można zapisać
w następujący sposób (rysunek 1.36 b)
V
R
2
.
V
R2 = −R
2
R 1=
(1.9)
Reakcje V/2 razem dają nam reakcję pionową V. Natomiast reakcje R stanowią parę sił, którą można
zastąpić odpowiednim momentem M. Ostatecznie na podporze ślizgowej występują dwie reakcje
zaznaczone na rysunku 1.35 c. Należy zwrócić uwagę, że jednostką momentu M jest kNm.
Utwierdzenie odbiera prętowi trzy stopnie swobody. Na podporze tej wystąpią więc trzy reakcje. Rysunek
1.37 a przedstawia wszystkie trzy reakcje. Reakcje R1 oraz R2 zapisujemy zgodnie ze wzorem (1.9)
natomiast reakcję R3 oznaczamy jako reakcję poziomą H. W wyniku tych działań otrzymamy reakcje
przedstawione na rysunku 1.38.
Zaoczni
05/06
a)
b)
14
c)
M
V
R1
V
2
R2
V
2
R
R
Rys. 1.36. Reakcje na podporze ślizgowej.
a)
b)
R3
R3
R1
V
2
R2
V
2
R
R
Rys. 1.37. Reakcje w utwierdzeniu.
Porównując rysunki 1.34, 1.35, 1.36 c oraz 1.38 widać, że na każdej z tych podpór występują reakcje o
kierunkach, które blokuje dana podpora. Podpora przegubowo-przesuwna nie pozwala na przesuw w
pewnym kierunku i ten sam kierunek ma reakcja na tej podporze. Podpora przegubowo-przesuwna blokuje
przesuw w poziomie i pionie i takie kierunki mają obie reakcje. Podpora ślizgowa blokuje przesuw w pionie
oraz obrót. Reakcje na tej podporze to reakcja pionowa oraz moment. Wreszcie utwierdzenie blokuje
przesuw w poziomie i w pionie oraz obrót. Stąd na tej podporze mamy reakcję poziomą, pionową i moment.
M
H
V
Rys. 1.38. Reakcje w utwierdzeniu.
Zaoczni
05/06
15
1.7 Obciążenie czynne
W konstrukcjach prętowych występuje kilka rodzajów obciążenia czynnego. Obciążenia te to na
przykład ciężar własny konstrukcji i elementów na niej umieszczonych, obciążenie użytkowe (maszynami,
tłumem, materiałami sypkimi, cieczami itp.). Oczywiście to obciążenie działa w płaszczyźnie konstrukcji
prętowej. Obciążenie czynne może występować w formie sił skupionych, momentów skupionych oraz
obciążenia ciągłego.
Obciążenie czynne w formie momentu skupionego możemy traktować jako parę sił, dla której wartość
momentu siły jest niezależna od punktu, względem którego obliczamy go. Jednostką tego typu obciążenia
czynnego jest kNm.
Obciążenie ciągłe występuje w dwóch rodzajach: obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone, oraz
obciążenie ciągłe nierównomiernie rozłożone. Jednostką tego typu obciążenia jest kN/m. Obciążenie
ciągłe równomiernie rozłożone ma całej swej długości stałą wartość q. Obciążenie takie może być
zastąpione wypadkową, której wartość oraz położenie przedstawia rysunek 1.39.
q
W =q⋅L
L
L
2
L
2
Rys. 1.39. Wypadkowa z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego.
Przedstawione na rysunku 1.39 obciążenie ciągłe jest dodatnie, ponieważ posiada zwrot w dół. Jak widać
na rysunku 1.39 wypadkowa W jest równa polu powierzchni prostokąta o wymiarach q i L.
W przypadku obciążenia nierównomiernie rozłożonego będziemy rozpatrywać tutaj tylko obciążenie
liniowe. Przykład takiego obciążenia przedstawia rysunek 1.40. Jak łatwo sprawdzić obciążenie to ma
postać
q  x=
q2−q1
⋅xq1 ,
L
(1.10)
w którym q1 i q2 mogą być zarówno dodatnie (w dół) jak i ujemne (do góry).
q1
q2
q1
q2
X
X
L
x=0
L
x=L
x=0
x=L
Rys. 1.40. Obciążenie liniowe.
Najprostszy przypadek obciążenia liniowego jest wtedy, gdy jedna z wartości q1 lub q2 jest równa zero.
Obciążenie takie ma formę trójkąta prostokątnego. Wypadkowe z takiego obciążenia przedstawia rysunek
1.41.
Zaoczni
05/06
16
q2
q1
0
0
L
L
1
W = ⋅q2⋅L
2
1
W = ⋅q1⋅L
2
1
⋅L
3
2
⋅L
3
2
⋅L
3
1
⋅L
3
Rys. 1.41. Wypadkowe z obciążenia trójkątnego.
2
⋅L
3
1
⋅L
3
1
W 1= ⋅q 1⋅L
2
1
W 2= ⋅q2⋅L
2
q2
q1
2
⋅L
3
1
⋅L
3
L
Rys. 1.42. Wypadkowe z obciążenia trapezowego.
W przypadku obciążenia trapezowego (q1 i q2 są obie dodatnie lub obie ujemne) będziemy mieli dwie
wypadkowe, które przedstawia rysunek 1.42. W1 jest wypadkową z jednego trójkąta prostokątnego, a W2
jest wypadkową z drugiego trójkąta prostokątnego.
W przypadku obciążenia przewiniętego (q1 jest dodatnie i q2 ujemne lub odwrotnie) możemy to obciążenie
zamienić na dwa obciążenia trójkątne. Przedstawia to rysunek 1.43. Położenie wypadkowych dla obciążenia
przewiniętego przedstawia rysunek 1.44.
Obciążenie prętów ukośnych ograniczymy tylko do przypadku obciążenia równomiernie rozłożonego. Ma
ono dwie formy. Pierwszą z nich jest obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na rzut poziomy lub
pionowy pręta. Wypadkową takiego obciążenia przedstawia rysunek 1.45. Drugą z nich jest obciążenie
ciągłe równomiernie rozłożone na długości pręta. Wypadkową takiego obciążenia przedstawia rysunek
1.46. Podobnie ma się sprawa z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym. Rysunek 1.47
przedstawia wypadkową z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na rzut pionowy pręta natomiast
rysunek 1.48 przedstawia wypadkową z poziomego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na
długości pręta.
Zaoczni
05/06
q1
17
q2
L
q2
q1
L
Rys. 1.43. Obciążenie przewinięte.
1.8 Wyznaczanie reakcji – równowaga konstrukcji prętowej
Konstrukcja prętowa jak wiadomo musi być geometrycznie niezmienna czyli nie może wykonywać
żadnych ruchów. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona układ pozostaje w spoczynku, jeżeli nie działają na
niego żadne siły lub siły te znajdują się w równowadze. Ten pierwszy przypadek nie wchodzi w grę więc
aby układ prętowy był nieruchomy wszystkie siły działające na niego (czynne i bierne) muszą być w
równowadze.
Aby pojedynczy pręt był w równowadze muszą być spełnione warunki równowagi. Najprostsza ich postać
to
2
⋅L
3
1
⋅L
3
1
W 2= ⋅q2⋅L
2
1
W 1= ⋅q 1⋅L
2
q2
q1
1
⋅L
3
2
⋅L
3
L
Rys. 1.44. Wypadkowe z obciążenia przewiniętego.
Zaoczni
05/06
18
q
W =q⋅L X
-
LY
-L
-L
-
LY
LX
2
LX
LX
2
Rys. 1.45. Wypadkowa z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na rzut poziomy pręta ukośnego.
 X =0
Y =0
 M =0
.
(1.11)
Pierwsze z równań (1.11) oznacza sumę rzutów wszystkich sił na oś poziomą X, drugie równanie oznacza
sumę rzutów wszystkich sił na oś pionową Y natomiast trzecie z równań oznacza sumę momentów
wszystkich sił względem dowolnego punktu.
W =q⋅L
-
LX
2
LX
LY
-L
LY
-L
-
q
LX
2
Rys. 1.46. Wypadkowa z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na długości pręta ukośnego.
Możliwa jest także inna forma równań równowagi. Mogą to być na przykład: jedno równanie sumy rzutów
wszystkich sił oraz dwa równania sum momentów względem dwóch różnych punktów czyli
 X =0
 M 1=0 .
 M 2=0
(1.12)
Zaoczni
05/06
19
q
W =q⋅LY
-L
-
-L
-
LY
LY
2
LY
2
LX
LX
Rys. 1.47. Wypadkowa z poziomego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego na rzut pionowy pręta ukośnego.
q
LY
2
W =q⋅L
-L
-L
-
-
LY
LX
LX
LY
2
Rys. 1.48. Wypadkowa z poziomego obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego długości pręta ukośnego.
Możliwe jest także wykorzystanie jako równania równowagi trzech sum momentów względem trzech
różnych punktów czyli
 M 1=0
 M 2=0 .
 M 3=0
(1.13)
Punkty 1, 2 i 3 nie mogą być jednak dowolnie dobrane. Punkty te nie mogą leżeć na jednej prostej.
Dla układu t prętów możemy takich równań napisać 3t. W rezultacie otrzymamy układ równań składający
się z 3t równań oraz 3t niewiadomych. Jeżeli wyznacznik główny układu równań jest różny od zera to
układ prętowy jest układem geometrycznie niezmiennym.
W ogromnej większości przykładów układ równań da się rozprzęgnąć i wyznaczyć część reakcji korzystając
tylko z jednego równania dla każdej z tych reakcji.
Jeżeli w belkach całe obciążenie czynne jest prostopadłe do osi belki to wszystkie reakcje poziome są równe
zero. Poniżej przedstawione zostaną przykłady belek i ram oraz najlepsze sposoby wyznaczenia reakcji
podporowych.
W przypadku belek i ram prostych (składających się tylko z jednego pręta) najczęściej da się wyliczyć każdą
z trzech reakcji z osobnego warunku równowagi.
Zaoczni
05/06
20
Rysunek 1.49 przedstawia ramę prostą (złożoną z jednego pręta 1).
B
HA
C
1
A
D
E
F
VA
VF
Reakcję HA najlepiej wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na ramę na oś poziomą
X czyli
 X =0
.
(1.14)
Reakcję VA najlepiej wyznaczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na ramę względem
punktu F czyli
 M F =0
.
(1.15)
Reakcję VF najlepiej wyznaczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na ramę względem
punktu A czyli
 M A=0
.
(1.16)
Korzystając z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na ramę na oś pionową Y czyli
Y =0
(1.17)
można sprawdzić obliczenia reakcji pionowych. Autor zaleca takie postępowanie, ponieważ wyliczenie
jednej reakcji z sumy momentów a drugiej z sumy rzutów może prowadzić do błędnych wyników. Błąd ten
będzie skutkował tym, że wykresy sił przekrojowych (o czym będzie mowa w dalszej części) będą źle
wyznaczone.
W przypadku belki i ramy złożonej należy rozpatrzyć równowagę każdego pręta z osobna i obliczenia
rozpocząć od tego pręta, w którym są tylko trzy nieznane reakcje.
Rysunek 1.50 przedstawia belkę złożoną zbudowaną z dwóch prętów. Jak widać na pręt numer 2 działają
tylko trzy reakcje. Reakcja HC będzie równa zero jeżeli wszystkie siły czynne będą pionowe. Reakcję VD
najlepiej obliczyć korzystając z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 2
względem punktu C czyli
Zaoczni
05/06
A
B
C
HC
C
VC
HA
A
1
B
2
21
D
E
D
E
VD
C
VC HC
VA
VB
Rys.1.50. Belka złożona.
 M 2C =0 .
(1.18)
Reakcję VC najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 2
względem punktu D czyli
 M 2D =0 .
(1.19)
Przyjęcie warunków równowagi (1.18) i (1.19) w tej postaci podyktowane jest tym, żeby w tych równaniach
występowała tylko jedna niewiadoma reakcja. Mając już obliczone obie reakcje można obliczenia sprawdzić
wykorzystując sumę rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 2 na oś pionową Y czyli
 Y  2 =0 .
(1.20)
Pewnego wyjaśnienia wymaga sprawa reakcji w przegubie C łączącym pręty 1 i 2. W przegubie tym działają
dwie reakcje. Reakcje te działając na poszczególne pręty mają te same wartości ale przeciwne zwroty. Jeżeli
połączymy obie belki proste razem to wszystkie reakcje w przegubie dadzą wypadkową równą zero.
Reakcję VA najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1
względem punktu B czyli
.
 M 1
B =0
(1.21)
Reakcja HA jest także równa zero, jeżeli reakcja HC wynosi zero. Reakcję VB najlepiej obliczyć z warunku
sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1 względem punktu A czyli
.
 M 1
A =0
(1.22)
Mając już obliczone obie reakcje można obliczenia sprawdzić wykorzystując sumę rzutów wszystkich sił
działających na pręt numer 1 na oś pionową Y czyli
Zaoczni
05/06
22
1
 Y =0 .
(1.23)
Rysunek 1.51 przedstawia belkę złożoną także z dwóch prętów.
A
HB
B
C
B
C
VB
HA
A
1
VC
D
2
D
E
E
VD
B
VB
VA
HB
Jest to belka trójprzegubowa, z jednym przegubem niewłaściwym. Wszystkie trzy przeguby nie leżą na
jednej prostej więc jest to układ geometrycznie niezmienny. Na każdy z prętów działają po cztery
niewiadome reakcje. Reakcja HB będzie równa zero, jeżeli wszystkie siły czynne będą pionowe. Podobnie
będzie z reakcją HA. Reakcję VA najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających
na pręt numer 1 względem punktu B czyli
.
 M 1
B =0
(1.24)
Reakcję VB najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1
względem punktu A czyli
.
 M 1
A =0
(1.25)
Następnie obliczenia można sprawdzić warunkiem sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1
na oś pionową Y czyli
1
 Y =0 .
(1.26)
Reakcję VC najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 2
względem punktu D czyli
 M 2D =0 .
(1.27)
Reakcję VD najlepiej obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 2
względem punktu C czyli
Zaoczni
05/06
23
 M 2C =0 .
(1.28)
Następnie obliczenia można sprawdzić warunkiem sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 2
 Y  2 =0 .
(1.29)
Rysunek 1.52 przedstawia ramę trójprzegubową, w której przeguby A i E znajdują się na jednym poziomie.
B
B
D
C
C
HC
VC
HA
1
2
A
E
VA
1
HE
HA
HC
VC
D
C
2
A
E
VA
VE
VE
HE
Reakcję VE najlepiej jest obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na całą ramę
względem punktu A czyli
12 
MA
=0 .
(1.30)
Reakcję VA najlepiej jest obliczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na całą ramę
względem punktu E czyli

 M 12
=0 .
E
(1.31)
Reakcje VA oraz VE można teraz sprawdzić wykorzystując sumę rzutów wszystkich sił działających na całą
ramę na oś pionową Y czyli
 Y  12=0 .
(1.32)
Reakcję HA najlepiej jest wyznaczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer
1 względem punktu C czyli
1
 M C =0 .
(1.33)
Zaoczni
05/06
24
Reakcję HE najlepiej jest wyznaczyć z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer
2 względem punktu C czyli
 M 2C =0 .
(1.34)
Reakcje HA oraz HE można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na
całą ramę na oś poziomą X czyli
 X  12=0 .
(1.35)
Reakcję VC można wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś
pionową Y czyli
 Y 1=0 .
(1.36)
Reakcję tę można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer
2
 Y  2 =0 .
(1.37)
Reakcję HC można wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś
poziomą X czyli
 X  1=0 .
(1.38)
2
na oś poziomą X czyli
 X  2=0 .
(1.39)
Rysunek 1.53 przedstawia ramę trójprzegubową z przegubami A i E na różnych poziomach. Reakcje VA i HA
najlepiej jest wyznaczyć z układu równań, w którym pierwszym równaniem jest warunek sumy momentów
wszystkich sił działających na całą ramę względem punktu E, drugim równaniem jest warunek sumy
momentów wszystkich sił działających na pręt numer 1 względem punktu C czyli
 M E 1 2=0 .
 M C 1 =0
(1.40)
Zaoczni
05/06
C
B
C
B
D
VC
2
1
A
HC
C
VC
D
2
1
HE
E
HA
HC
25
E
HA
VE
VA
A
HE
VE
VA
Reakcje VE i HE najlepiej jest wyznaczyć z układu równań, w którym pierwszym równaniem jest warunek
sumy momentów wszystkich sił działających na całą ramę względem punktu A, drugim równaniem jest
warunek sumy momentów wszystkich sił działających na pręt numer 2 względem punktu C czyli
12 
MA
=0 .
 2
 M C =0
(1.41)
Reakcje VA i VE można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na całą
ramę na oś pionową Y czyli
Y
 12
=0 .
(1.42)
Reakcje HA i HE można sprawdzić wykorzystując warunek sumy rzutów wszystkich sił działających na całą
ramę na oś poziomą X czyli
X
=0 .
 12
(1.43)
Reakcję VC można wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś
pionową Y czyli
1
 Y =0 .
(1.44)
2
2
 Y =0 .
(1.45)
Reakcję HC można wyznaczyć z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na pręt numer 1 na oś
Zaoczni
05/06
26
poziomą X czyli
 1
 X =0 .
(1.46)
2
na oś poziomą X czyli
 X  2=0 .
(1.47)
1.9 Siły przekrojowe – podstawowe definicje
Załóżmy, że mamy ramę, w której obciążenie czynne i bierne znajduje się w równowadze. Ramę taką
przedstawia rysunek 1.54.
P2
P1
C
B
D
P3
F
HA
E
1
A
VA
G
VG
Rys. 1.54. Rama z obciążeniem w równowadze.
Jeżeli przetniemy ramę przekrojem α−α prostopadłym do osi pręta to okaże się, że odcięta część ramy nie
będzie w równowadze. Przedstawia to rysunek 1.55. Na rysunku tym oś X jest osią styczną do osi pręta.
Aby część ramy była w równowadze w przekroju pręta muszą się pojawić dodatkowe siły nazywane siłami
przekrojowymi. Siłami tymi dla układów płaski są: siła normalna N, siłą poprzeczna T oraz moment
zginający M. Część ramy znajdującą się w równowadze przedstawia rysunek 1.56.
Siła normalna jest zawsze styczna do osi pręta i jest dodatnia jeżeli powoduje wydłużenie (rozciągnięcie)
pręta. Dodatnia siła normalna nazywa się siłą rozciągającą natomiast ujemna siłą normalna nazywa się siłą
ściskającą. Siła normalna przedstawiona na rysunku 1.56 jest dodatnia. W przypadku belek, jeżeli
obciążenie czynne belki jest prostopadłe do jej osi to siła normalna w całej belce wynosi zero.
Siła poprzeczna jest zawsze prostopadła do osi pręta i jest dodatnia jeżeli powoduje obrót odciętej części
belki lub ramy zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Punkt, względem którego następuje obrót odciętej
części ramy lub belki znajduje się na pręcie jak najdalej od przekroju pręta. Siła poprzeczna przedstawiona
na rysunku 1.56 jest dodatnia.
Moment zginający możemy wyobrazić sobie jako parę sił, w której jedna z tych sił będzie rozciągać część
przekroju pręta natomiast druga będzie ściskać pozostałą część przekroju pręta. Przedstawia to rysunek 1.57.
Zaoczni
05/06
P1
C
B
P2
α
D
P1
X
1
α
α
P3
F
HA
α
C
B
E
1
27
A
HA
G
VA
A
VA
VG
Rys. 1.55. Brak równowagi w odciętej części ramy.
α
P1
C
B
T
X
1
α
HA
N
M
A
VA
Rys. 1.56. Część ramy znajdująca się w równowadze.
M
S
S
Rys. 1.57. Moment zginający.
Moment zginający jest dodatni jeżeli powoduje rozciąganie dolnej części przekroju pręta a ściskanie
górnej części przekroju pręta. Moment zginający przedstawiony na rysunkach 1.56 i 1.57 jest dodatni.
Powyższa zasada sprawdza się w przypadku prętów poziomych i ukośnych natomiast nie działa w
przypadku prętów pionowych. Dlatego w ramie będziemy stosować bardziej ogólną zasadę znakowania
momentu zginającego. Według niej wartości momentów zginających będziemy zaznaczać po stronie
rozciąganej pręta.
Zaoczni
05/06
28
Rysunek 1.58 przedstawia dodatnie zwroty sił przekrojowych w dwóch sąsiadujących przekrojach ramy. Siły
przekrojowe w obu przekrojach posiadają te same wartości lecz przeciwne zwroty. Oczywiście ich wartości
i zwroty są takie aby obie części ramy były w równowadze.
P1
C
B
T
N
P2
T
N
D
M
M
P3
F
HA
E
1
A
G
VA
VG
Rys. 1.58. Dodatnie zwroty sił przekrojowych.
1.10 Wyznaczanie sił przekrojowych
Podstawową metodą wyznaczania sił przekrojowych jest sprawdzenie równowagi odciętej części
belki lub ramy. Najpierw należy podzielić belkę lub ramę na przedziały. Podział powinien być zrobiony tak
aby granicami przedziałów były punkty, w których są przyłożone siły skupione (siły czynne i bierne),
momenty skupione oraz punkty, w których obciążenie ciągłe zmienia swoją wartość (obciążenie ciągłe
równomiernie rozłożone) lub swoją postać (obciążenie liniowe). Podział ten powinien także uwzględniać
kształt ramy. Granicami przedziałów powinny być w tym przypadku także punkty, w których oś prętów
ulega załamaniu. Rysunek 1.55 pokazuje prawidłowy podział na przedziały dla ramy. Granicami
przedziałów są punkty od A do G.
Belkę lub ramę złożoną możemy podzielić na poszczególne belki lub ramy proste. Należy pamiętać o tym,
że w poszczególnych przegubach działają na każdą z belek lub ram prostych reakcje o tych samych
wartościach lecz przeciwnych zwrotach.
Zakładamy, że przedstawiona na rysunku 1.59 belka znajduje się w równowadze.
q
P
B
A
VA
C
VB
a
b
Rys. 1.59. Belka w równowadze.
Granicami przedziałów są punkty A, B i C. Chcąc wyznaczyć siły przekrojowe w przedziale AB należy
rozpatrzyć równowagę odciętej części belki. Rysunek 1.60 przedstawia dwie części belki, dla których
sprawdzamy równowagę i na jej podstawie wyznaczamy siły przekrojowe. Siły te będą funkcjami zmiennej
x, która zmienia się od zera do wymiaru a. W przypadku części belki na rysunku 1.60 a oś X jest zwrócona
w prawo natomiast w przypadku części belki na rysunku 1.60 b oś X jest zwrócona w lewo.
Zaoczni
05/06
a)
29
b)
q
N
A
X
X
O
N
B
C
O
T
T
VA
P
q
M
M
x
VB
x
b
Rys. 1.60. Siły przekrojowe w przedziale AB.
Siłę normalną wyznacza się z sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki lub ramy na
kierunek siły normalnej czyli
 N =0
.
(1.48)
W przypadku belki przedstawionej na rysunku 1.60 siła normalna wynosi oczywiście zero.
Siłę poprzeczną wyznacza się z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki lub
ramy na kierunek siły poprzecznej czyli
T =0
.
(1.49)
Moment zginający wyznacza się z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część
belki lub ramy względem punktu O czyli
.
 M O=0
(1.50)
Warunek ten w skrócie będziemy zapisywać jako
 M =0
.
(1.51)
W przypadku obciążenia liniowego będziemy rozpatrywać głównie przypadek obciążenia trójkątnego.
Przypadek ogólny zostanie omówiony w dalszej części. Zakładamy, że q1=0 natomiast q2=q. Równanie
(1.10) będzie miało teraz postać
q
q  x = ⋅x .
L
(1.52)
Rysunek 1.60 przedstawia belkę o takim właśnie obciążeniu trójkątnym.
Na rysunku 1.61 zaznaczona jest wartość obciążenia q(x) w dowolnym miejscu przedziału AB wyrażona
równaniem (1.52). Chcąc wyznaczyć wartości sił przekrojowych w przedziale AB należy zastosować
równowagę odciętej części belki pokazanej na rysunku 1.62.
Zaoczni
05/06
x
30
q
q(x)
P
B
A
VA
C
VB
a
b
Rys. 1.61. Belka z obciążeniem trójkątnym.
q
q  x = ⋅x
a
M
X
A
T
VA
x
Rys. 1.62. Część belki do wyznaczenia sił przekrojowych.
Zastosowanie drugiej części belki wiązałoby się z koniecznością wyznaczenia wypadkowej z obciążenia
liniowego (rysunek 1.42). Na rysunku 1.62 nie zaznaczono siły normalnej, która jak wiadomo wynosi zero.
Rysunek 1.63 przedstawia belkę z obciążeniem trójkątnym, które jest odwrócone do pokazanego na rysunku
1.61. Aby obciążenie q(x) było opisane równaniem (1.52) oś X musi być zwrócona w lewo a początek
układu znajduje się w punkcie B.
x
q
P
q(x)
B
A
VA
C
VB
a
b
Rys. 1.63. Belka z obciążeniem trójkątnym.
q
q  x = ⋅x
a
M
X
P
B
T
C
VB
x
b
Rys. 1.64. Część belki do wyznaczenia sił przekrojowych.
Zaoczni
05/06
31
Chcąc wyznaczyć wartości sił przekrojowych w przedziale AB należy zastosować równowagę odciętej
części belki pokazanej na rysunku 1.64. Zastosowanie drugiej części belki wiązałoby się z koniecznością
wyznaczenia wypadkowej z obciążenia liniowego (rysunek 1.42). Na rysunku 1.64 nie zaznaczono siły
normalnej, która jak wiadomo wynosi zero.
1.11 Zależności pomiędzy siłami przekrojowymi
W niniejszym rozdziale skupimy się nad zależnościami pomiędzy obciążeniem q(x), siłą poprzeczną
T(x) oraz momentem zginającym M(x). Zależność pomiędzy obciążeniem q(x) i siłą normalną
N(x), ze względu na to, że jest ona rzadko wykorzystywana (w przypadku belek w ogóle się jej nie
wykorzystuje ze względu na to, że siła normalna jest równa zero) zostanie pominięta.
Pomiędzy obciążeniem q(x) a siłą poprzeczną T(x) istnieje zależność różniczkowa w postaci
dT
=−q  x .
dx
(1.53)
Pomiędzy momentem zginającym M(x) i siłą poprzeczną T(x) istnieje zależność różniczkowa w postaci
dM
=T  x .
dx
(1.54)
Zależności (1.53) i (1.54) są prawdziwe dla osi X zwróconej w prawo. Będą więc one prawdziwe dla funkcji
T(x) i M(x) wyznaczonych dla części belki pokazanej na rysunkach 1.60 a i 1.62.
W przypadku, kiedy oś X jest zwrócona w lewo zależność pomiędzy obciążeniem q(x) a siłą poprzeczną
T(x) ma postać
dT
=q  x .
dx
(1.55)
Zależność pomiędzy momentem zginającym M(x) i siłą poprzeczną T(x) ma postać
dM
=−T  x  .
dx
(1.56)
Zależności (1.55) i (1.56) będą więc prawdziwe dla funkcji T(x) i M(x) wyznaczonych dla części belki
pokazanej na rysunkach 1.60 b i 1.64.
Konsekwencją zależności (1.53), (1.54) lub (1.55), (1.56) jest to, że funkcje obciążenia q(x), siły
poprzecznej T(x) oraz momentu zginającego M(x) posiadają postacie przedstawione w Tabeli 1.
Rysunek 1.65 przedstawia przykładowe wykresy obciążenia ciągłego q(x), siły poprzecznej T(x) oraz
momentu zginającego M(x). Funkcje tych wielkości spełniają zależności (1.53) i (1.54), ponieważ oś X jest
zwrócona w prawo. Osie rzędnych q(x) i T(x) skierowane są do góry (dodatnie obciążenie q działa w dół).
Oś rzędnych M(x) jest skierowana w dół ze względu na zasadę znakowania dodatnich momentów
zginających, które rozciągają dolną część przekroju pręta (rysunek 1.57). Dodatni kąt będzie zawsze kręcił
osią X w kierunku osi q(x), T(x) i M(x). Dla obciążenia ciągłego q(x) i siły poprzecznej dodatni kąt kręci
odwrotnie do obrotu wskazówek zegara natomiast dla momentu zginającego M(x) dodatni kąt kręci zgodnie
Zaoczni
05/06
32
z ruchem wskazówek zegara. Sytuacja przedstawiona na tym rysunku odpowiada ostatniej kolumnie Tabeli
1.
Tabela 1. Postacie funkcji q(x), T(x) oraz M(x).
Postacie funkcji
q(x)
q  x =0
q  x =0
q  x =const.
q  x =a⋅xb
T(x)
T  x =0
T  x =const.
T  x =a⋅xb
T  x=c⋅x 2d⋅xe
M(x)
M  x =const.
M  x =a⋅xb
M  x=c⋅x2d⋅xe
M  x= f⋅x 3g⋅x 2
h⋅x j
q(x)
q1
O1
X
q2
T(x)
T3
O3
O2
T4
X
α2
TEXT
α1
MEXT2
X
MEXT1
α3
α4
M(x)
Rys. 1.65. Przykładowe funkcje q(x), T(x) i M(x).
Punkt O1 odpowiada miejscu zerowemu funkcji q(x). Na wykresie siły poprzecznej odpowiada on wartości
ekstremalnej siły poprzecznej TEXT (warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest zerowanie się
pierwszej pochodnej funkcji). Analogicznie punkty O2 i O3 na wykresie siły poprzecznej oznaczają miejsca
zerowe tej funkcji a na wykresie momentu zginającego oznaczają one wartości ekstremalne momentu
zginającego MEXT1 i MEXT2.
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji jednej zmiennej oznacza jak wiadomo tangens kąta
nachylenia stycznej do wykresu funkcji. Czyli
Zaoczni
05/06
33
tan1=−q1
,
(1.57)
tan2 =−q2
,
(1.58)
tan3=T 3
,
(1.59)
tan4 =T 4
.
(1.60)
Kąty α1 i α4 mają wartość ujemną natomiast kąty α2 i α3 mają wartość dodatnią.
Punkt O1 na wykresie momentu zginającego oznacza punkt przegięcia funkcji momentu zginającego,
ponieważ warunkiem koniecznym istnienia punktu przegięcia jest zerowanie się drugiej pochodnej funkcji.
Przypadek, kiedy zarówno obciążenie ciągłe i siła poprzeczna są równe zero a moment zginający ma wartość
stałą nazywa się czystym zginaniem. Czyste zginanie zachodzi w przedziale BC w belce przedstawionej na
rysunku 1.66.
P
P
D
A
C
B
P
P
a
b
a
+P
0
T(x)
-P
M(x)
P⋅a
Rys. 1.66. Belka z przypadkiem czystego zginania.
1.12 Wskazówki praktyczne – siła poprzeczna w belkach
Narysowanie wykresu siły poprzecznej w belce jest bardzo proste. Należy „poruszać się” po belce od
lewego końca i analizować jakie jest obciążenie belki.
Jeżeli na jakimś fragmencie belki obciążenie ciągłe q(x) będzie wynosiło zero to siła poprzeczna będzie
miała stałą wartość.
Siła poprzeczna nie ulegnie zmianie w miejscy przegubu, ponieważ reakcje działające w przegubie
równoważą się (ich wypadkowa wynosi zero).
Jeżeli w jakiś punkcie belki działa moment skupiony to w tym punkcie siła poprzeczna nie zmienia swojej
wartości.
Zaoczni
05/06
34
Inaczej ma się sprawa z siłą skupioną, która może być obciążeniem czynnym lub reakcją (obciążeniem
biernym). W punkcie, w którym jest przyłożona siła skupiona wartość siły poprzecznej ulegnie zmianie o
wartość siły skupionej. Jeżeli siła skupiona działa w dół wartość siły poprzecznej ulegnie zmniejszeniu
natomiast jeżeli siła skupiona działa do góry wartość siły poprzecznej ulegnie zwiększeniu. Rysunek 1.67
przedstawia takie przypadki.
R
R
R
T(x)
R
R
T(x)
R
T(x)
R
R
R
T(x)
R
T(x)
R
R
T(x)
Rys. 1.67. Zmiany wartości siły poprzecznej w punkcie działania siły skupionej.
Jeżeli na jakimś odcinku belki działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone to zgodnie z Tabelą 1 siła
poprzeczna będzie funkcją liniową. Jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone będzie działać w dół
to wartość siły poprzecznej będzie maleć liniowo i na końcu przedziału zmaleje o wartość wypadkowej z
obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego. Jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone będzie
działać do góry to wartość siły poprzecznej będzie rosnąć liniowo i na końcu przedziału zwiększy się o
wartość wypadkowej z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego. Rysunek 1.68 przedstawia takie
przypadki.
Jeżeli wartości sił poprzecznych na początku i końcu przedziału mają przeciwne wartości to pomiędzy nimi
znajduje się miejsce zerowe. Rysunek 1.69 przedstawia równowagę części przedziału, w którym obciążenie
ciągłe równomiernie rozłożone jest w dół i siła poprzeczna na lewym końcu przedziału jest do góry
(dodatnia). Siła poprzeczna T(x) będzie równa zero wtedy, gdy wartość bezwzględna wypadkowej z
obciążenia równomiernie rozłożonego będzie równa wartości bezwzględnej siły poprzecznej z lewej strony
TL czyli
∣T L∣=∣q∣⋅x 0L .
(1.61)
Ostatecznie miejsce zerowe funkcji poprzecznej będzie się znajdowało od lewego końca przedziału w
odległości
Zaoczni
05/06
∣T ∣
x 0L = L
∣q∣
35
.
(1.62)
q
q
q
L
L
L
q⋅L
q⋅L
T(x)
T(x)
T(x)
q⋅L
q
q
q
L
L
L
q⋅L
q⋅L
T(x)
T(x)
T(x)
q⋅L
Rys. 1.68. Zmiany wartości siły poprzecznej w przedziale od działania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego..
q
M(x)
ML
TL
T(x)
L
0
x
Rys. 1.69. Równowaga części przedziału.
Wzór (1.62) jest także prawdziwy dla obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego do góry i siły
poprzecznej na lewym końcu TL w dół (ujemnej). Sytuację taką przedstawia rysunek 1.70.
q
M(x)
ML
TL
T(x)
x0L
Rys. 1.70. Równowaga części przedziału.
Analogicznie odległość od prawego końca przedziału wynosi
Zaoczni
05/06
36
∣T ∣
x 0P = P ,
∣q∣
(1.63)
w którym TP oznacza wartość siły poprzecznej z prawej strony przedziału.
Przypadek obciążenia liniowego zostanie ograniczony do obciążenia trójkątnego. Z Tabeli 1 wynika, że
jeżeli obciążenie jest funkcją liniową to siła poprzeczna jest funkcją kwadratową. Aby jednoznacznie
narysować parabolę potrzebne są trzy punkty. Dwa z nich to odpowiednio: początek i koniec przedziału
natomiast trzeci punkt to będzie ekstremum tego wykresu. Jak wiadomo warunkiem koniecznym istnienia
ekstremum funkcji jest zerowanie się pierwszej pochodnej tej funkcji. Zgodnie z (1.53) pierwszą pochodną
siły poprzecznej jest minus obciążenie ciągłe. Siłą poprzeczna będzie miała ekstremum w miejscu, w którym
wartość obciążenia ciągłego wynosi zero.
Jeżeli obciążenie trójkątne będzie działać w dół to wartość siły poprzecznej będzie maleć i na końcu
przedziału zmaleje o wartość wypadkowej z obciążenia trójkątnego. Jeżeli obciążenie trójkątne będzie
działać do góry to wartość siły poprzecznej będzie rosnąć i na końcu przedziału zwiększy się o wartość
wypadkowej z obciążenia trójkątnego. Rysunki 1.71, 1.72, 1,73 oraz 1.74 przedstawiają takie przypadki. Na
rysunkach 1.71 i 1.72 ekstremum siły poprzecznej znajduje się na lewym końcu przedziału a na rysunkach
1.73 i 1.74 na prawym końcu przedziału.
Jeżeli wartości sił poprzecznych na początku i końcu przedziału mają przeciwne wartości to pomiędzy nimi
znajduje się miejsce zerowe. Najwygodniej wyznaczyć położenie miejsca zerowego siły poprzecznej od
punktu, w którym obciążenie trójkątne równa się zero. Rysunek 1.75 przedstawia równowagę części
przedziału. Na rysunku tym T0 oraz M0 oznaczają siłę poprzeczną oraz moment zginający w miejscu, w
którym obciążenie trójkątne ma wartość zero. Natomiast q oznacza wartość obciążenia trójkątnego na
drugim końcu przedziału a L oznacza długość przedziału, w którym działa obciążenie trójkątne. Siła
poprzeczna będzie miała miejsce zerowe w punkcie, w którym wartość bezwzględna wypadkowej z
obciążenia trójkątnego będzie się równała się wartości bezwzględnej siły poprzecznej w punkcie, w którym
obciążenie trójkątne przyjmuje wartość zero. Prawdziwa jest zatem zależność
q
q
0
q
0
L
0
L
1
⋅q⋅L
2
L
T(x)
1
⋅q⋅L
2
T(x) 1
2
T(x)
⋅q⋅L
Rys. 1.71. Zmiany wartości siły poprzecznej w przedziale od działania obciążenia trójkątnego.
q
q
0
q
0
L
0
L
1
⋅q⋅L
2
1
⋅q⋅L
2
T(x)
L
T(x)
T(x) 1
2
⋅q⋅L
Zaoczni
05/06
q
q
37
q
0
0
L
0
L
1
⋅q⋅L
2
L
1
⋅q⋅L
2
T(x)
T(x)
T(x)
1
⋅q⋅L
2
q
q
q
0
0
L
0
L
1
⋅q⋅L
2
L
1
⋅q⋅L
2
T(x)
T(x)
T(x)
1
⋅q⋅L
2
q
q  x = ⋅x 0
L
M(x)
M0
T0
T(x)
x0
Rys. 1.75. Równowaga części przedziału z obciążeniem trójkątnym.
1 ∣q∣
∣T 0∣= ⋅ ⋅x 0⋅x 0 .
2 L
(1.64)
Ostatecznie zatem odległość miejsca zerowego od punktu, w którym obciążenie trójkątne ma wartość zero
wynosi
x 0=

2⋅∣T 0∣⋅L .
∣q∣
(1.65)
Wzór (1.65) jest prawdziwy dla obciążenia trójkątnego dodatniego i ujemnego oraz dla siły poprzecznej T 0
dodatnie i ujemnej.
Zaoczni
05/06
38
1.13 Wskazówki praktyczne – moment zginający w belkach
Chcąc wyznaczyć wykres momentu zginającego wystarczy obliczyć jego wartości w
charakterystycznych punktach korzystając z równowagi części belki. W większości przypadków wykres
momentu zginającego jest funkcją ciągłą.
W przegubie rzeczywistym moment wynosi zawsze zero.
Jeżeli belka jest zakończona podporą przegubowo-nieprzesuwną lub przegubowo przesuwną i dodatkowo w
tym miejscu nie działa moment skupiony to moment zginający wynosi zero.
Jeżeli nad podporami przegubowymi na końcu belki działa moment skupiony to moment zginający ma
wartość momentu skupionego. Znak momentu zginającego zależy od kierunku działania momentu
skupionego. Rysunek 1.76 przedstawia sytuację, kiedy na końcu belki na podporami przegubowymi działa
moment skupiony. Na rysunku 1.76 a i b jest rozciągana część górna przekroju pręta nad podporą natomiast
na rysunku 1.76 c i d jest rozciągana część dolna przekroju pręta nad podporą.
Jeżeli obciążenie ciągłe q(x) równa się zero to wykres momentu zginającego jest liniowy. Do jego
jednoznacznego określenia potrzebne są dwa punkty. Punktami tymi będą wartości momentu zginającego na
początku i końcu przedziału. Jeżeli siła poprzeczna jest dodatnia to wykres momentu maleje. Jeżeli siła
poprzeczna jest ujemna to wykres momentu rośnie. Kąt nachylenia liniowego wykresu momentu
zginającego równa się sile poprzecznej w przedziale (zgodnie z (1.51)) czyli moment zginający wzrośnie lub
zmaleje o wartość iloczynu wartości bezwzględnej siły poprzecznej w przedziale i długości przedziału.
Przedstawia to rysunek 1.77.
Jeżeli obciążenie ciągłe q(x) jest stałe to wykres momentu zginającego jest paraboliczny. Do jego
jednoznacznego określenia potrzebne są trzy punkty. Dwoma z tych punktów będą wartości momentu
zginającego na początku i końcu przedziału. Jeżeli siła poprzeczna posiada miejsce zerowe to trzecim
punktem potrzebnym do jednoznacznego narysowania paraboli będzie ekstremum wykresu momentu
zginającego. Jeżeli siła poprzeczna nie posiada miejsca zerowego w przedziale to aby narysować wykres
momentu zginającego trzeba wykorzystać właściwość momentu zginającego, który jest krzywą
łańcuchową. Innymi słowy „brzuszek paraboli” musi być zawsze zwrócony w stronę obciążenia ciągłego
równomiernie rozłożonego. Jeżeli obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone skierowane jest w dół to
„brzuszek paraboli” skierowany jest w dół i odwrotnie.
Rysunek 1.78 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale jeżeli obciążenie
ciągłe równomiernie rozłożone jest dodatnie i siła poprzeczna w całym przedziale jest dodatnia. Moment
zginający posiada ekstremum poza przedziałem z prawej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna
posiada miejsce zerowe.
ciągłe równomiernie rozłożone jest dodatnie i siła poprzeczna posiada w przedziale miejsce zerowe.
Moment zginający posiada ekstremum w miejscu, w którym siła poprzeczna posiada miejsce zerowe.
ciągłe równomiernie rozłożone jest dodatnie i siła poprzeczna w całym przedziale jest ujemna. Moment
zginający posiada ekstremum poza przedziałem z lewej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna
ciągłe równomiernie rozłożone jest ujemne i siła poprzeczna w całym przedziale jest dodatnia. Moment
zginający posiada ekstremum poza przedziałem z lewej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna
ciągłe równomiernie rozłożone jest ujemne i siła poprzeczna posiada w przedziale miejsce zerowe. Moment
zginający posiada ekstremum w miejscu, w którym siła poprzeczna posiada miejsce zerowe.
ciągłe równomiernie rozłożone jest ujemne i siła poprzeczna w całym przedziale jest ujemna. Moment
zginający posiada ekstremum poza przedziałem z prawej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna
Zaoczni
05/06
a)
b)
M1
M1
39
M1
M1
M(x)
M(x)
c)
d)
M1
M1
M(x)
M(x)
M1
M1
Rys. 1.76. Działanie momentu skupionego na podporą przegubową.
q=0
q=0
q=0
L
L
L
+T
+T
+T
T(x)
∣T∣⋅L
T(x)
∣T∣⋅L
T(x)
M(x)
M(x) ∣T∣⋅L
M(x)
q=0
q=0
q=0
L
L
L
T(x)
T(x)
-T
-T
-T
∣T∣⋅L
∣T∣⋅L
T(x)
M(x)
M(x) ∣T∣⋅L
M(x)
Rys. 1.77. Wykresy momentu zginającego dla obciążenia q(x)=0.
Rysunek 1.84 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale dla dodatniego
obciążenia trójkątnego oraz siły poprzecznej dodatniej w całym przedziale. Moment zginający posiada
ekstremum poza przedziałem z prawej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna posiada miejsce
zerowe.
trójkątne jest dodatnie i siła poprzeczna posiada w przedziale miejsce zerowe. Moment zginający posiada
ekstremum w miejscu, w którym siła poprzeczna posiada miejsce zerowe.
Zaoczni
05/06
q
q
L
L
T(x)
40
q
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
Rys. 1.78. Wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale.
q
q
L
L
q
L
T(x)
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
q
L
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
Zaoczni
05/06
q
q
L
L
T(x)
41
q
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
q
L
L
T(x)
q
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
obciążenia trójkątnego oraz siły poprzecznej ujemnej w całym przedziale.
Rysunek 1.87 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale dla ujemnego
obciążenia trójkątnego oraz siły poprzecznej dodatniej w całym przedziale.
trójkątne jest ujemne i siła poprzeczna posiada w przedziale miejsce zerowe. Moment zginający posiada
obciążenia trójkątnego oraz siły poprzecznej ujemnej w całym przedziale. Moment zginający posiada
ekstremum poza przedziałem z prawej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna posiada miejsce
zerowe.
obciążenia trójkątnego oraz siły poprzecznej dodatniej w całym przedziale.
trójkątne jest dodatnie i siła poprzeczna posiada w przedziale miejsce zerowe. Moment zginający posiada
Zaoczni
05/06
q
q
L
L
T(x)
42
q
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
q
L
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
q
q
L
L
T(x)
q
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
Zaoczni
05/06
q
L
43
q
L
q
L
T(x)
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
L
q
L
q
L
T(x)
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
L
q
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
Zaoczni
05/06
q
L
44
q
L
q
L
T(x)
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
L
q
L
T(x)
q
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
obciążenia trójkątnego oraz siły poprzecznej ujemnej w całym przedziale. Moment zginający posiada
ekstremum poza przedziałem z lewej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna posiada miejsce zerowe.
obciążenia trójkątnego oraz siły poprzecznej dodatniej w całym przedziale. Moment zginający posiada
ekstremum poza przedziałem z lewej strony, ponieważ tam właśnie siła poprzeczna posiadać miejsce
zerowe.
trójkątne jest ujemne i siła poprzeczna posiada w przedziale miejsce zerowe. Moment zginający posiada
obciążenia trójkątnego oraz siły poprzecznej ujemnej w całym przedziale.
Rysunek 1.96 przedstawia belkę wspornikową obciążoną momentem skupionym na końcu. Na całej długości
belki działa tylko moment zginający czyli mamy do czynienia z czystym zginaniem.
Rysunek 1.97 przedstawia belkę wspornikową obciążoną siła skupioną na końcu. Rysunek 1.98 przedstawia
belkę wspornikową obciążoną obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na całej długości belki.
Zaoczni
05/06
q
L
45
q
L
q
L
T(x)
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
L
q
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
q
L
q
L
T(x)
q
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
Zaoczni
05/06
q
q
L
46
q
L
L
T(x)
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
q
L
q
L
T(x)
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
q
L
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
Zaoczni
05/06
q
q
47
q
L
L
T(x)
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
q
q
L
L
L
T(x)
T(x)
M(x)
T(x)
M(x)
M(x)
Rysunek 1.99 przedstawia belkę swobodnie podpartą obciążoną momentem skupionym na prawym końcu
belki natomiast rysunek 1.100 przedstawia belkę swobodnie podpartą obciążoną momentem skupionym na
lewym końcu.
Rysunek 1.101 przedstawia belkę swobodnie podpartą obciążoną momentem skupionym na długości belki.
W punkcie przyłożenia momentu skupionego nastąpi skok momentu o wartość


M 0⋅a −M 0⋅b M 0⋅ ab 
−
=
=M 0
L
L
L
(1.66)
dla momentu skupionego M0 kręcącego przeciwnie do ruchu wskazówek zegara oraz


M 0⋅b −M 0⋅a M 0⋅ ba 
−
=
=M 0
L
L
L
(1.67)
Zaoczni
05/06
48
dla momentu skupionego M0 kręcącego zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Na rysunku 1.101 jest także
zaznaczona równowaga momentów: skupionego i zginających w punkcie przyłożenia momentu skupionego.
q
q
L
q
L
T(x)
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
q
q
L
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
q
q
L
q
L
T(x)
L
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
M(x)
Zaoczni
05/06
M0
M0
49
M0
M0
L
L
T=0
T=0
T(x)
M(x)
T(x)
M0
M0
M(x)
Rys. 1.96. Belka wspornikowa obciążona momentem skupionym na końcu.
P⋅L
P
P⋅L
P
P
P
L
L
+P
-P
T(x)
P⋅L
0
M(x)
T(x)
0
P⋅L
M(x)
Rys. 1.97. Belka wspornikowa obciążona siłą skupioną na końcu.
q⋅L
2
q
2
q⋅L
2
q
2
q⋅L
q⋅L
L
q⋅L
q⋅L
2
L
0
T(x)
−q⋅L
2
0
0
0
M(x)
q⋅L
2
T(x)
M(x)
2
Rys. 1.98. Belka wspornikowa obciążona obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na całej długości.
Zaoczni
05/06
50
M0
M0
M0
L
M0
L
M0
L
M0
L
L

L
M0
L
T(x)
−
T(x)
M(x)
M0
0
M0
L
M0
M(x)
0
Rys. 1.99. Belka swobodnie podparta obciążona momentem skupionym na prawym końcu.
M0
M0
M0
L
M0
L
M0
L
M0
L
L

L
M0
L
T(x)
−
T(x)
M0
0
M(x)
M0
M0
L
0
M(x)
Rys. 1.100. Belka swobodnie podparta obciążona momentem skupionym na lewym końcu.
Rysunek 1.102 przedstawia belkę swobodnie podpartą obciążoną siłą skupioną na długości. Jak łatwo
zauważyć skok siły poprzecznej w miejscu przyłożenia siły skupionej P wynosi właśnie wartość tej siły.
Jeżeli siła skupiona działa w dół skok na wykresie siły poprzecznej jest także w dół. Jeżeli siła skupiona
działa do góry skok na wykresie siły poprzecznej jest także do góry.
Rysunek 1.103 przedstawia szczególny przypadek działania siły skupionej na długości belki swobodnie
podpartej czyli siła skupiona znajduje się na środku rozpiętości L belki.
Rysunek 1.104 przedstawia belkę swobodnie podpartą obciążoną obciążeniem ciągłym równomiernie
rozłożonym. Wykres siły poprzecznej opada liniowo i w połowie rozpiętości belki osiąga miejsce zerowe.
Moment zginający jest parabolą, która nad podporami osiąga wartość zero natomiast w środku rozpiętości
belki znajduje się ekstremum momentu zginającego. Jak widać na tym rysunku różnica pomiędzy
wartościami siły poprzecznej na początku i na końcu belki wynosi zawsze q⋅L w górę lub w dół w
zależności od kierunku działania obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego.
Zaoczni
05/06
51
M0
M0
M0
L
M0
L
M0
L
a
b
M0
L
a
b
L

L
M0
L
T(x)
−
T(x)
M 0⋅b
L
0
0
M(x)
M0
L
M 0⋅a
L
M(x)
0
M 0⋅a
L
M0
M 0⋅a
L
0
M 0⋅b
L
M 0⋅b
L
M0
M 0⋅a
L
M 0⋅b
L
Rys. 1.101. Belka swobodnie podparta obciążona momentem skupionym na długości.
P
P
P⋅b
L
a
P⋅b
L
P⋅a
L
b
a
L

P⋅a
L
b
L
P⋅b
L

P⋅a
L
T(x)
−
0
P⋅a
L
−
0
P⋅a⋅b
L
T(x)
M(x)
P⋅b
L
P⋅a⋅b
L
0
0
M(x)
Rys. 1.102. Belka swobodnie podparta obciążona siłą skupioną na długości.
Zaoczni
05/06
P
P
2
P
L
2
P
2
L
2
P
2
L
2
L

52
P
2
L
2
L
P
2

P
2
T(x)
−
T(x)
P
2
−
0
0
P
2
M(x)
P⋅L
4
P⋅L
4
0
0
M(x)
Rys. 1.103. Belka swobodnie podparta obciążona siłą skupioną w połowie rozpiętości.
q
q
q⋅L
2
q⋅L
2
q⋅L
2
q⋅L
2
L
L

q⋅L

2
T(x)
−
0
0
q⋅L
8
L
2
2
q⋅L
2
−
T(x)
q⋅L
2
q⋅L
8
M(x)
2
0
0
L
2
q⋅L
2
L
2
M(x)
L
2
Rys. 1.104. Belka swobodnie podparta obciążona obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym.
1.14 Wskazówki praktyczne – siły przekrojowe w ramach płaskich
Wykresy sił przekrojowych w ramach wyznacza się stosując równowagę odciętej części ramy. W
większości przypadków ram płaskich będziemy wyznaczali oprócz siły poprzecznej i momentu zginającego
także i siłę normalną. Spowodowane to jest tym, że pręty w ramie nie leżą na jednej prostej tak jak w belce.
Zaoczni
05/06
53
Jeżeli w jakimś przedziale ramy, który znajduje się w pręcie poziomym lub pionowym, nie ma obciążenia
ciągłego to zarówno siła poprzeczna jaki siła normalna będą miały stałą wartość w całym przedziale. Nie ma
więc potrzeby wyznaczania funkcji tych sił przekrojowych. Wystarczy rozpatrzyć równowagę wszystkich sił
działających na odciętą część ramy. Moment zginający będzie natomiast funkcją liniową. Aby ją
jednoznacznie wyznaczyć wystarczy obliczyć wartości momentu zginającego na początku i na końcu
przedziału.
Jeżeli w jakimś przedziale ramy, który znajduje się w pręcie ukośnym, nie ma obciążenia ciągłego to
zarówno siła poprzeczna jaki siła normalna będą miały stałą wartość w całym przedziale a moment
zginający będzie funkcją liniową. Postępowanie jest więc identyczne jak opisane wyżej.
Inaczej jest w przypadku, w którym na pręcie ukośnym działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone na
rzucie pręta lub na jego długości. Chcąc wyznaczyć siły normalną i poprzeczną należy sprawdzić
równowagę wszystkich sił działających na odciętą część pręta na kierunek siły normalnej i poprzecznej.
Siły, które mają zwrot zgodny z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będą zapisywane
jako ujemne natomiast siły, które mają zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu siły normalnej lub
poprzecznej będą zapisywane jako dodatnie. Także moment siły, który kręci zgodnie z przyjętym
zwrotem momentu zginającego będzie zapisywany jako ujemny natomiast moment siły, który kręci
przeciwnie do założonego zwrotu momentu zginającego będzie zapisywany jako dodatni.
Rysunek 1.105 przedstawia równowagę pręta ukośnego z pionowym obciążeniem ciągłym równomiernie
rozłożonym na rzucie poziomym pręta.
Siła normalna ma postać
N =−H A⋅cos −V A⋅sin q⋅x⋅cos ⋅sin  .
(1.68)
Siła poprzeczna ma postać
T =−H A⋅sinV A⋅cos− q⋅x⋅cos ⋅cos  .
(1.69)
Moment zginający ma postać
M =V A⋅x⋅cos−H A⋅x⋅sin − q⋅x⋅cos ⋅
x⋅cos .
2
(1.70)
Rysunek 1.106 przedstawia równowagę pręta ukośnego z pionowym obciążeniem ciągłym równomiernie
rozłożonym na długości pręta.
N =−H A⋅cos −V A⋅sin q⋅x ⋅sin .
(1.71)
T =−H A⋅sinV A⋅cos− q⋅x ⋅cos  .
(1.72)
Zaoczni
05/06
54
X
N
q
HA
M
α
W =q⋅x⋅cos 
T
VA(T)
-x
-
x⋅sin 
HA(N)
HA(T)
VA(N)
α
HA
α
VA α
α
W(T)
α
W α
VA
W(N)
x⋅cos 
Rys. 1.105. Równowaga pręta ukośnego z pionowym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na rzut poziomy
pręta.
M =V A⋅x⋅cos−H A⋅x⋅sin − q⋅x ⋅
x⋅cos .
2
(1.73)
Rysunek 1.107 przedstawia równowagę pręta ukośnego z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie
rozłożonym na rzucie pionowym pręta.
N =−H A⋅cos −V A⋅sin− q⋅x⋅sin ⋅cos  .
(1.74)
T =−H A⋅sinV A⋅cos− q⋅x⋅sin ⋅sin .
(1.75)
M =V A⋅x⋅cos−H A⋅x⋅sin − q⋅x⋅sin⋅
x⋅sin  .
2
(1.76)
Zaoczni
05/06
55
X
HA
α
N
W =q⋅x
HA(N)
HA(T)
M
q
VA(T)
T
VA(N)
-x
-
x⋅sin 
VA α
α
HA
α
α
W(T)
W α
α
W(N)
VA
x⋅cos 
Rys. 1.106. Równowaga pręta ukośnego z pionowym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości pręta.
X
N
HA
q
M
T
α
HA(N)
HA(T)
W =q⋅x⋅sin
VA(T)
-x
-
x⋅sin 
VA α
α
HA
α
VA(N)
α
W
α
α
VA
x⋅cos 
W(T)
W(N)
Rys. 1.107. Równowaga pręta ukośnego z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na rzut pionowy
pręta.
Rysunek 1.108 przedstawia równowagę pręta ukośnego z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie
Zaoczni
05/06
56
rozłożonym na długości pręta.
N =−H A⋅cos −V A⋅sin− q⋅x ⋅cos  .
(1.77)
T =−H A⋅sinV A⋅cos− q⋅x ⋅sin .
(1.78)
M =V A⋅x⋅cos−H A⋅x⋅sin − q⋅x ⋅
x⋅sin  .
2
(1.79)
Oczywiście jeżeli obciążenie ciągłe lub reakcje podporowe będą miały przeciwne zwroty do zaznaczonych
na rysunkach 1.105, 1.106, 1.107 i 1.108 to do równań równowagi odpowiednie rzuty i momenty sił wejdą
ze znakami przeciwnymi jak we wzorach od (1.68) do (1.79).
X
N
q
HA
M
α
T
-x
-
W =q⋅x
HA(N)
HA(T)
VA(T)
x⋅sin 
VA α
α
HA
α
VA(N)
α
α
W
α
VA
x⋅cos 
W(T)
W(N)
Rys. 1.108. Równowaga pręta ukośnego z poziomym obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym na długości pręta.
Zaoczni
05/06
57
N
q
M
W =q⋅L⋅cos 
T
-L
-
L⋅sin
HA
α
A
VA
L⋅cos 
Rys. 1.109. Równowaga pręta ukośnego.
Mając już wykonane wykresy sił przekrojowych należy je sprawdzić. Pierwszy sprawdzeniem jest
sprawdzenie równowagi węzłów ortogonalnych, w których pręty przecinają się pod kątem prostym. Na
węźle zaznaczamy odczytane, prawidłowe zwroty odpowiednich sił przekrojowych i sprawdzamy sumę
rzutów wszystkich sił na oś poziomą i ponową oraz sumę momentów względem punktu węzła.
q
M2
N2
W =q⋅L⋅cos 
-L
-
M1
T2
L⋅sin
α
N1
T1
L⋅cos 
Rys. 1.110. Równowaga pręta ukośnego.
Drugim sprawdzeniem jest sprawdzenie równowagi całego pręta ukośnego. Rysunek 1.109 przedstawia taki
pręt ukośny. Warunkiem sprawdzającym będzie warunek sumy momentów wszystkich sił działających na
pręt ukośny względem punktu A. Oczywiście wszystkie siły muszą mieć swoje prawidłowe zwroty (na
rysunku 1.109 zaznaczono schematycznie dodatnie siły przekrojowe).
Jeżeli pręt ukośny, który przedstawia rysunek 1.109, nie jest zakończony podporą to należy sprawdzić
warunek sumy momentów wszystkich sił działających na pręt ukośny względem jednego z jego końców.
Zaoczni
05/06
58
Rysunek 1.110 przedstawia taki pręt.
Drugi warunek służy sprawdzeniu czy siła poprzeczna na końcu pręta jest wyznaczona poprawnie, ponieważ
do równania sprawdzającego nie wchodzą wartości sinusa i kosinusa kąta nachylenia pręta ukośnego α.
Ostatnim, trzecim, sprawdzeniem jest sprawdzenie węzła nieortogonalnego. Sprawdzenie to wykonuje się
tak samo jak dla węzła ortogonalnego czyli sumą rzutów wszystkich sił działających na węzeł na oś poziomą
i pionową.
Zaoczni

1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH

Transkrypt

Podobne dokumenty

Dopisywanie Kodu Centralnego do istniejącego towaru w magazynie

Rysunki przedstawiające przyrządy służące do mierzenia

Wzory rysunków Laserowe urządzenie będzie słuyło do

Wjazd do garażu – obsługa instalacji dzwonkowej

Maj jest miesiącem gdzie większośd paostw obchodzi Dzieo Matki.

Z1/6. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 2

Rozwiązać podaną ramę (wykresy M Q N ) HB 30 3 20 20 C 20 3 x

Schemat podłączenia Battery Protect