Finał Wojewódzkiego Konkursu Matematycznego dla uczniów

Finał Wojewódzkiego Konkursu Matematycznego dla uczniów gimnazjów
rok szkolny 2014/2015
W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi.
Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeo otrzymuje maksymalną liczbę punktów.
Tytuł finalisty:6 pkt
Tytuł laureata: 16 pkt
Zadanie 1 [4 pkt.]
Dany jest trójkąt ABC taki, że 𝐴𝐵 = 12; 𝐵𝐶 = 16; 𝐶𝐴 = 20. Oblicz pola wielokątów, na które
symetralna boku AC podzieliła trójkąt ABC.
A
Przykładowe rozwiązanie:
I sposób
D
B
C
E
122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202
Trójkąt ABC jest prostokątny.
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐸𝐷𝐶 (kk)
𝐸𝐷
𝐴𝐵
=
𝐷𝐶
𝐵𝐶
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝐸𝐶
𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝐷𝐶
20 ∙ 10
1
𝐸𝐶 =
=
= 12
𝐵𝐶
16
2
𝐸𝐷
12
=
10
16
𝐸𝐷 =
12
∙ 10 = 7,5
16
𝐸𝐷
2
= 𝐸𝐶
2
− 𝐷𝐶
2
=
625 400 225
−
=
4
4
4
𝐸𝐷 = 7,5
1
1
𝐴𝐵 𝐵𝐶 = ∙ 12 ∙ 16 = 96
2
2
1
1
𝑃∆𝐸𝐶𝐷 = 𝐷𝐶 𝐷𝐸 = 10 ∙ 7,5 = 37,5
2
2
𝑃𝐵𝐸𝐷𝐴 = 𝑃𝐴𝐵𝐶 − 𝑃𝐸𝐷𝐶 = 96 − 37,5 = 58,5
𝑃∆𝐴𝐵𝐶 =
Odpowiedź:
Pole wielokąta ECD jest równe 37,5, a pole wielokąta BEDA jest równe 58,5.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy
 Obliczy długośd odcinka EClub pole trójkąta ABC
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 Obliczy długośd odcinka ED
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 Obliczy pole trójkąta EDC
Uczeo otrzymuje 4 punktów, gdy
 Obliczy pole wielokąta BEDA
Uwaga!
Jeżeli uczeo zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny ale nie przedstawi poprawnej metody
rozwiązania zadania, to otrzymuje 0 punktów.
1
Przykładowe rozwiązanie:
II sposób
A
D
B
C
E
122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202
Trójkąt ABC jest prostokątny.
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐸𝐷𝐶 (kk)
k – skala podobieostwa
10 5
=
16 8
25
𝑘2 =
64
𝑘=
𝑃∆𝐴𝐵𝐶 =
1
1
𝐴𝐵 𝐵𝐶 = ∙ 12 ∙ 16 = 96
2
2
𝑃∆𝐸𝐶𝐷 = 𝑘 2 ∙ 𝑃∆𝐴𝐵𝐶 = 37,5
𝑃𝐵𝐸𝐷𝐴 = 𝑃𝐴𝐵𝐶 − 𝑃𝐸𝐷𝐶 = 96 − 37,5 = 58,5
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy
 Obliczy skalę podobieostwa lub obliczy pole trójkąta ABC
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 Obliczy skalę podobieostwa i obliczy pole trójkąta ABC
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 Obliczy pole trójkąta EDC
Uczeo otrzymuje 4 punktów, gdy
 Obliczy pole wielokąta BEDA
Uwaga!
Jeżeli uczeo zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny ale nie przedstawi poprawnej metody
rozwiązania zadania, to otrzymuje 0 punktów.
2
Zadanie 2 [4pkt.]
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokośd ma długośd 8, a stosunek wysokości ściany bocznej
3
do krawędzi bocznej jest równy
2
. Oblicz objętośd ostrosłupa.
S
b
k
D
C
R
P
A
B
a
Przykładowe rozwiązanie:
I sposób
a–długośd krawędzi podstawy
k – długośd wysokości ściany bocznej
b – długośd krawędzi bocznej
h –długośd wysokości ostrosłupa
𝑘
3
Z zależności 𝑏 = 2 wynika, że ściana boczna jest trójkątem równobocznym i b=a.
Stosujemy Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta CPS
ℎ2 +
𝑎 2
Podstawiamy b=a
2
2
= 𝑏2
2
𝑎 2
ℎ +
= 𝑎2
2
1
64 + 𝑎2 = 𝑎2
2
1
64 = 𝑎2
2
𝑃𝑝 = 𝑎2 = 128
2
𝑉=
1
1
1024
1
∙ 𝑃𝑝 ∙ ℎ = ∙ 128 ∙ 8 =
= 341
3
3
3
3
𝟏
Odpowiedź: Objętośd ostrosłupa jest równa 𝟑𝟒𝟏 𝟑 .
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 uzasadni, że ściana boczna jest trójkątem równobocznym.
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 zastosuje twierdzenie Pitagorasa wybranego trójkąta (SPR lub CPS)
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 obliczy długośd krawędzi podstawy ostrosłupa
Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy
 obliczy objętośd ostrosłupa
Uwaga!
Jeżeli uczeo rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje 0 punktów.
3
Przykładowe rozwiązanie:
II sposób
𝑘
3
=
𝑏
2
2 3𝑘
𝑏=
3
2
4𝑘
𝑏2 =
3
Stosujemy twierdzenie pitagorasa do trójkątów SPR i SPC
𝑎 2
2
2
4𝑘
𝑎 2
𝑘2 =
−
3
2
4
2𝑘 2 = 64 + 𝑘 2
3
2 2
𝑘 = 64
3
𝑘=4 6
𝑘 2 = 64 +
𝑎
2
2
= 96 − 64 = 32
𝑎=8 2
1
1024
1
𝑉 = ∙ 64 ∙ 2 ∙ 8 =
= 341
3
3
3
𝟏
Odpowiedź: Objętośd ostrosłupa jest równa 𝟑𝟒𝟏 𝟑.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 Zastosuje twierdzenie Pitagorasa do jednego z trójkątów (SPR lub CPS)
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 Zastosuje twierdzenie Pitagorasa do dwóch trójkątów (SPR i CPS)
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 obliczy długośd wysokości ściany bocznej lub krawędzi bocznej i długośd krawędzi podstawy
ostrosłupa
Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy
 obliczy objętośd ostrosłupa
Uwaga!
Jeżeli uczeo rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje 0 punktów.
4
Zadanie 3 [3 pkt.]
W pewnej grupie są dziewczęta i chłopcy. Gdyby każdy chłopiec był starszy o 5 lat, a każda dziewczyna była
młodsza o 2 lata, to średnia wieku całej grupy zwiększyłaby się o 3 lata. Oblicz, jaką częśd tej grupy stanowią
dziewczęta.
Przykładowe rozwiązanie:
c - liczba chłopców
d - liczba dziewcząt
5c – 2d = 3 (d + c)
2𝑐 = 5𝑑
𝑐 = 2,5𝑑
𝑑
𝑑
2
=
=
2,5𝑑 + 𝑑 3,5 𝑑 7
2
Odpowiedź: Dziewczęta stanowią 7 grupy.
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 ułoży równanie na podstawie warunków zadania
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy:
 uzależni liczbę dziewcząt od liczby chłopców lub odwrotnie
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy:
 poda prawidłową odpowiedź.
5
Zadanie 4 [3 pkt.]
Jaś i Małgosia sprawdzając listę laureatów konkursu matematycznego zauważyli, że za Małgosią
uplasowało się dwa razy więcej laureatów niż przed Jasiem. Ponadto za Jasiem uplasowało się 1,5 razy
więcej laureatów niż przed Małgosią. Małgosia znalazła się na 21 pozycji. Ilu laureatów zawierała lista?
Przykładowe rozwiązanie:
x- liczba laureatów przed Jasiem
2x – liczba laureatów za Małgosią
Przed Małgosią jest 20 laureatów, zatem za Jasiem jest 1,5*20 = 30 laureatów
19 - x – liczba laureatów między Małgosią i Jasiem
2x + 1 + 19 – x = 30
x = 10
10 + 30 + 1 = 41
Odpowiedź: Na liście znajduje się 41 laureatów.
Rozwiązanie „graficzne”
x
Jaś
1,5*20=30
20
Małgosia
2x
30 = 20 – 1 – x + 2x + 1
x = 10
10 + 1 + 30 = 41
Odpowiedź: Na liście znajduje się 41 laureatów.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy
 obliczy liczbę laureatów znajdujących się na liście za Jasiem - 30
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 zapisze równanie z jedną niewiadomą prowadzące do obliczenia liczby laureatów znajdujących
się na liście przed Jasiem
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 poda prawidłową liczbę laureatów (41)
6
Zadanie 5 [3 pkt.]
Liczby a, b i c są naturalne. Liczba a jestliczbą czterocyfrową. Liczba b jest liczbą sześciocyfrową i
powstała przez dopisanie do liczby a na koocu dwóch cyfr: 1 oraz 2(1 jako cyfra dziesiątek, 2 jako cyfra
jedności). Liczba c jest liczbą sześciocyfrową i powstała przez dopisanie do liczby a dwóch cyfr 2 na
początku. Liczba b jest trzykrotnością liczby c. Znajdź liczbę a.
Przykładowe rozwiązanie:
a – naturalna liczba czterocyfrowa
b = 100a + 12
c = 220000+ a
3 220000 + 𝑎 = 100𝑎 + 12
97𝑎 = 659988
𝑎 = 6804
spr. 680412 = 226804*3
Szukana liczba, to 6804.
Odpowiedź: Liczba a, to 6804.
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 zapisze liczbę b i c w zależności od a (b = 100a + 12; c = 220000+ a)
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy:
 zapisze równanie wynikające z treści zadania
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy:
 poda prawidłową odpowiedź.
7
Zadanie 6 [3 pkt.]
Udowodnij, że suma
201516 + 201515 + 201514 + 201513 + ⋯ + 20152 + 20151
jest podzielna przez 16.
Przykładowe rozwiązanie:
201516 + 201515 + 201514 + 201513 + ⋯ + 20152 + 20151
= 201515 2015 + 1 + 201513 2015 + 1 + … + 2015(2015 + 1)
= (2015 + 1)(201515 + 201513 + ⋯ + 20151 ) = 2016 201515 + 201513 + ⋯ + 20151
= 16 ∙ 126 ∙ (201515 + 201513 + ⋯ + 20151 )
201515 + 201513 + ⋯ + 20151 ∈ 𝐶
Odpowiedź: Sumę 201516 + 201515 + 201514 + 201513 + ⋯ + 20152 + 20151 można
w postaci iloczynu liczby 16 i liczby całkowitej, zatem jest podzielna przez 16.
przedstawid
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy
 Przedstawi sumę w postaci 201515 2015 + 1 + 201513 2015 + 1 + … + 2015 2015 + 1 .
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 Przedstawi liczbę w postaci
(2015 + 1)(201515 + 201513 + ⋯ + 20151 )
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 Przedstawi sumę w postaci iloczynu liczby 16 i liczby całkowitej.
8