Lista zadań 4

Zadania z fizyki 3
Wydział PPT
4
Elementy ogólnej teorii względności
Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.
Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale
również obowiązkowe.
Zad. 1(c). Oszacuj nadwyżkę promienia kuli obejmującej (a) Ziemię; (b) Słońce. Przyjmij do
celów oszacowania, że te ciała są jednorodne.
Zad. 2(c). Grawitacyjne przesunięcie częstości z zasady zachowania energii. Rozważmy
atom, który może znajdować się (między innymi) w stanach energetycznych E0 i E1 . Przejściu
pomiędzy tymi poziomami odpowiada emisja kwantu promieniowania (fotonu) o energii Ef =
E1 − E0 . Zgodnie z zasadami mechaniki kwantowej, częstość światła odpowiadającą fotonowi o
energii Ef równa jest ω = Ef /h̄, gdzie h̄ jest stałą Plancka. Wyobraźmy sobie scenariusz, w którym
atom jest podnoszony na wysokość h, emituje kwant promieniowania, a następnie zostaje obniżony
na pierwotną wysokość. Oblicz pracę wykonaną na atomie w tym procesie i znajdź energię końcową.
Wykaż z zasady zachowania energii, że jeśli foton ma zostać zaabsorbowany w dolnym położeniu,
to jego częstość musi wzrosnąć o ∆ω = ω0 (1 + gh/c2 ), czyli zgodnie ze wzorem na przesunięcie
częstości uzyskanym w inny sposób na wykładzie. Wskazówka: podnosimy i opuszczamy atom o
różnych masach mi = Ei /c2 .
Zad. 3. Grawitacyjne przesunięcie częstości z metryki Schwarzschilda. Korzystając z
metryki Schwarzschilda, porównaj obserwowane okresy oscylacji dwóch identycznych oscylatorów
(zegarów) znajdujących się w polu grawitacyjnym w położeniach r i r + h i wykaż, że w słabych
polach i dla małych h częstość górnego zegara przesunięta jest w stosunku do częstości dolnego o
∆ω = ωdolny gh/c2 .
Zad. 4. Satelita geostacjonarny znajdujący się nad równikiem przekazuje sygnał w postaci mikrofal wysyłanych przez bazę na Ziemi. Na jaką częstość powinien zostać nastawiony odbiornik
satelity, jeśli częstość sygnału wysyłanego z Ziemi wynosi dokładnie 9,375 GHz? Zaniedbaj wszystkie efekty Dopplera.
Odp: Mniejszą o 5,5 Hz.
Zad. 5. Syriusz jest układem podwójnym, którego jednym ze składników jest biały karzeł o masie
2 · 1030 kg (czyli mniej-więcej o masie Słońca). Porównanie linii widmowych emitowanych przez
białego karła z takimi samymi liniami obserwowanymi na ziemi wykazuje względne przesunięcie
częstości o czynnik 7·10−4 . Oblicz gęstość białego karła zakładając, że przesunięcie to ma wyłącznie
charakter grawitacyjny. Dla porównania gęstość Słońca to 1409 kg/m3 .
Odp: 2 · 1011 kg/m3 .
Zad. 6. Zegar położony na równiku porusza się z prędkością ok. 463 m/s względem zegara na
biegunie. Ze względu na spłaszczenie Ziemi, znajduje się on też ok. 21 km dalej od środka Ziemi.
Dla układu odniesienia związanego z Ziemią oblicz przesunięcia częstości obu zegarów i wykaż
że są one w obu przypadkach niemal jednakowe. Przyspieszenie ziemskie w rozważanym zakresie
odległości od środka Ziemi można uznać za stałe.
Odp: „Lorentzowskie”: ∆ω/ω = 1,2 · 10−12 ; grawitacyjne: ∆ω/ω = 2,3 · 10−12 ).
Zad. 7(c). Znajdź promień Schwarzschilda dla ciała o masie (a) Ziemi; (b) Słońca.
Zad. 8(c). Oblicz kąt ugięcia promieni świetlnych przewidywany przez ogólną teorię względności,
jaki zobaczyłby obserwator na Księżycu, badając promienie muskające skraj tarczy Ziemi.
Zad. 9. Pewna gwiazda znajduje się w odległości 92 lat świetlnych od Ziemi. Na linii prostej
pomiędzy Ziemią a gwiazdą, w odległości 35 lat świetlnych od gwiazdy, znajduje się biały karzeł
o masie 3 razy większej od masy Słońca i promieniu 104 km. Ugięcie światła gwiazdy w polu
grawitacyjnym białego karła sprawia, że odległa gwiazda widoczna jest jako dwa fragmenty łuku.
Znajdź kąt rozwarcia 2α pomiędzy tymi fragmentami łuku.
Odp: 0,18 rad.
Zad. 10(c). Jowisz wykonuje 8,43 obiegu wokół Słońca w ciągu jednego stulecia ziemskiego,
a mimośród jego orbity jest równy ε = 0,048. Planeta ta znajduje się średnio w odległości 5,2
jednostek astronomicznych od Słońca, a jej masa jest 318 razy większa od masy Ziemi, równej
5,98 · 1024 kg. Jaką prędkość kątową precesji peryhelium orbity Jowisza (jak dotąd niezmierzoną)
przewiduje ogólna teoria względności? Uwaga: jednostka astronomiczna (a.u.) równa jest średniej
odległości Ziemia– Słońce, 1 a.u. = 1,5 · 1011 m.