13. Ortogonalizacja Grama-Schmidta, dopeªnienie i rzut ortogonalny

Zestaw zada« z Geometrii z algebr¡ liniow¡
dla kierunku Informatyka, rok akadem. 2015/2016
13. Ortogonalizacja Grama-Schmidta, dopeªnienie i
rzut ortogonalny
R3
Zad. 1. W przestrzeni
ze standardowym iloczynem skalarnym przeprowadzi¢ ortogona-
lizacj¦ Grama-Schmidta ukªadu wektorów
~x1 = [1, 2, −2]T ,
~x2 = [−2, −1, 7]T ,
~x3 = [5, 0, −2]T .
Czy otrzymany ukªad jest baz¡ ortogonaln¡? Je»eli tak, to zapisa¢ wektor
~e1
za
pomoc¡ wektorów z tej bazy.
Zad. 2. W przestrzeni
R[x]2
z iloczynem skalarnym
hp, qi = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
przeprowadzi¢ ortogonalizacj¦ Grama-Schmidta ukªadu wielomianów
t2 − 1,
Zad. 3. W przestrzeni
R4
−t + 1,
t + 1.
ze standardowym iloczynem skalarnym przeprowadzi¢ ortogona-
lizacj¦ Grama-Schmidta ukªadu wektorów
~v1 = [1, 1, −1, −1]T ,
~v2 = [−3, 1, −1, 3],
~v3 = [6, −4, −2, 0].
Uzyskany ukªad wektorów uzupeªni¢ do bazy ortogonalnej przestrzeni
czy¢ wspóªrz¦dne wektora
Zad. 4. W przestrzeni
R3
~e1
R4
i wyzna-
w tej bazie.
ze standardowym iloczynem skalarnym przeprowadzi¢ ortogona-
lizacj¦ Grama-Schmidta ukªadu wektorów
~v1 = [1, 2, −2]T ,
~v2 = [−2, −1, 7],
~v3 = [5, 0, −2].
Czy otrzymany ukªad jest baz¡ ortogonaln¡? Je»eli tak, to zapisa¢ wektor
~e1
za
pomoc¡ wektorów z tej bazy.
Zad. 5. W przestrzeni
R4
ze standardowym iloczynem skalarnym dane s¡ wektory
v~1 = [1, −2, −1, 2]T ,
~v2 = [0, 3, 2, −1]T ,
~v3 = [7, −1, −5, 3]T .
Stosuj¡c ortogonalizacj¦ Grama-Schmidta znale¹¢ baz¦ ortogonaln¡ podprzestrzeni
V = span (~v1 , ~v2 , ~v3 ).
α1 , α2 , α3 , α4 takie,
V = ~x ∈ R4 : α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 + α4 x4 = 0 .
Zad. 6. W przestrzeni
R3
Wyznaczy¢ liczby rzeczywiste
»e
ze standardowym iloczynem skalarnym znale¹¢ baz¦ ortogonaln¡
podprzestrzeni
V = ~x ∈ R3 : x1 − 2x2 + x3 = 0
i uzupeªni¢ j¡ do bazy ortogonalnej caªej przestrzeni
R3 .
Zad. 7. W przestrzeni
R[t]2
rozwa»amy iloczyn skalarny
hp, qi = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1).
Wyznaczy¢ wszystkie wielomiany
1.
q ∈ R[x]2
ortogonalne do wielomianu
Poda¢ przykªad bazy ortogonalnej w przestrzeni
R[t]2
p(x) = x2 −
z podanym iloczynem
skalarnym.
Zad. 8. W przestrzeni
R3
znale¹¢ bazy ortogonalne podprzestrzeni
V = {~x ∈ R3 : x1 − 3x2 + x3 = 0}
i podprzestrzeni
V ⊥.
Znale¹¢ rzuty ortogonalne wektora
~x = [−2, 1, 4]T
na te pod-
przestrzenie.
Zad. 9. W przestrzeni
R3
znale¹¢ rzut ortogonalny wektora
~x[−2, 1, 4]T
na pªaszczyzn¦
x1 −
3x2 + x3 = 0.
R3
x1 + x2 + x3 = 0.
Zad. 10. W przestrzeni
Zad. 11. Niech
n > 1.
znale¹¢ rzut ortogonalny wektora
W przestrzeni euklidesowej
Rn
~x = [−2, 1, 4]T
na pªaszczyzn¦
ze standardowym iloczynem skalarnym
rozwa»amy podprzestrze«
V = {~x ∈ Rn : x1 + x2 + · · · + xn = 0} .
(a)
Znale¹¢ baz¦ ortogonaln¡ podprzestrzeni
(b)
Wyznaczy¢ rzut ortogonalny wektora
Zad. 12. W przestrzeni euklidesowej
R4
V ⊥.
~x = [n, 0, ..., 0]T
na podprzestrze«
V.
ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest
podprzestrze« liniowa
X = ~x ∈ R4 : x1 − x2 − x4 = x2 + x3 − x4 = 0 .
X i X ⊥.
X i X ⊥.
Znale¹¢ bazy ortogonalne podprzestrzeni
wektora
T
[3, 3, 3, 3]
Zad. 13. W przestrzeni
R4
na podprzestrzenie
Wyznaczy¢ rzuty ortogonalne
ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest podprzestrze«
V = span [1, 1, 1, 1]T , [0, −3, 1, 0]T .
Znale¹¢ rzuty ortogonalne wektora
~x = [1, 0, −1, 0]T
na podprzestrzenie
Zad. 14. W sko«czenie wymiarowej przestrzeni z iloczynem skalarnym
przestrzenie
U, V .
V
i
V ⊥.
(X, h·, ·i) dane s¡ pod-
Pokaza¢, »e
(a) (U ⊥ )⊥ = U ;
(b)
je»eli
U ⊂V,
to
V ⊥ ⊂ U ⊥;
(c) (U + V )⊥ = U ⊥ ∩ V ⊥ ;
(d) U ∩ V )⊥ = U ⊥ + V ⊥ .
Zad. 15. Pokaza¢, »e nierówno±¢ Schwarza staje si¦ równo±ci¡ wtedy i tylko wtedy, gdy wektory
xiy
s¡ liniowo zale»ny.
Zad. 16. Udowodni¢, »e w przestrzeni euklidesowej / unitarnej
PZ (x)
wektora
x∈X
na podprzestrze« liniow¡
Z
(X, h·, ·i)
rzut ortogonalny
speªnia nierówno±¢
kx − PZ (x)k ≤ kx − zk
dla ka»dego wektora
z ∈ Z.
Pokaza¢, »e równo±¢ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
z = PZ (x).
Zad. 17. Ukªad
x1 , ..., xk
Udowodni¢
(X, h·, ·i)
wektora y ∈ X
w przestrzeni z iloczynem skalarnym
nierówno±¢ Bessela :
dla dowolnego
k
X
jest ortogonalny.
| hxi , yi |2 ≤ kyk2 .
i=1
Zad. 18. W przestrzeni
V.
Kn
ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest podprzestrze«
Ukªad wektorów
~v1 , ..., ~vk
jest baz¡ ortonormaln¡ podprzestrzeni
V.
Niech
A = ~v1~v1H + · · · + ~vk~vkH .
(a)
Pokaza¢, »e dla ka»dego wektora
(b)
Jaki jest rz¡d macierzy
Zad. 19. W przestrzeni
Rn
A?
~x ∈ Kn PV (~x) = A~x.
Wyznaczy¢ podprzestrze« imA oraz
ker A.
ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest podprzestrze«
U = {~x ∈ Rn : x1 = x2 = . . . xn } .
Wyznaczy¢ bazy ortogonalne podprzestrzeni
rzuty ortogonalne wektorów
Zad. 20. W przestrzeni
Kn
~e1 , ..., ~en
U i U⊥
i okre±li¢ ich wymiary. Znale¹¢
na podprzestrze«
U
i
U ⊥.
rozwa»amy standardowy iloczyn skalarny.
zaªó»my, »e kolumny macierzy
A
Zad. 21. W
jest nieosobliwa. Jak
Rn
A tworz¡ ukªad ortonormalny.
wygl¡da macierz A−1 ?
wyznaczy¢ cosinus k¡ta mi¦dzy wektorem
Niech
A ∈ Kn,n
i
Uzasadni¢, »e macierz
~ek , k = 1, 2, ..., n
i podprzestrzeni
V = {~x ∈ Rn : x1 + x2 + · · · + xn = 0}.
Zad. 22. Pokaza¢, »e wyznacznik Grama liniowo niezale»nego ukªadu wektorów jest liczb¡
rzeczywist¡ dodatni¡.
Zad. 23. Pokaza¢, »e wyznacznik Grama liniowo niezale»nego kªadu wektorów
v1 , ..., vk
nie
ulegnie zmianie w wyniku ortogonalizacji Grama-Schmidta tego ukªadu.
Zad. 24. Jak wygl¡da macierz Grama ortogonalnego (ortonormalnego) ukªadu wektorów?
Kn (K = R lub K = C) dana jest baza ~x1 , ..., ~xn . Niech G =
H n
~xi ~xj i,j=1 ∈ Kn,n b¦dzie macierz¡ Grama ukªadu x1 , ..., xn ze standardowym iloczynem skalarnym. Dla ~
x, ~y ∈ Kn niech
Zad. 25. W przestrzeni
h~x, ~y iA = ~xH G~y .
Pokaza¢, »e
h·, ·iA
jest iloczynem skalarnym na
(X, h·, ·i) b¦dzie przestrzeni¡
Pokaza¢, »e X ⊥ = {0} i {0}⊥ = X .
Zad. 26. Niech
Zad. 27. Pokaza¢, »e na przestrzeni
Km,n
Kn .
z iloczynem skalarnym sko«czonego wymiaru.
mo»a okre±li¢ iloczyn skalarny w nast¦puj¡cy spo-
sób:
hA, Bi = trace(AB H ).
Zapisa¢ wzór na norm¦ macierzy pochodz¡c¡ od powy»szego iloczynu skalarnego.