IV.9. Alternatywne opisy matematyczne drga´n harmonicznych.

IV.9. Alternatywne opisy matematyczne drgań harmonicznych.
Zmieniajaca
˛ si˛e harmonicznie z cz˛estościa˛ kołowa˛ ω0 pewna wielkość fizyczna ψ (np. przemieszczenie x, kat
˛ θ, ciśnienie p, ...) spełnia równanie różniczkowe
ψ̈ + ω02 ψ = 0.
(1)
Funkcja ψ, b˛edaca
˛ rozwiazaniem
˛
ogólnym równania (1), może być przedstawiona w kilku alternatywnych postaciach.
(a) Postać A
Ogólne rozwiazanie
˛
równania (1), przedstawiajace
˛ drgania harmoniczne o cz˛estości ω0 , może być
zapisane w postaci
ψ = A cos(ω0 t + δ),
(2)
gdzie A ≡ ψmax jest amplituda˛ wielkości fizycznej ψ, δ – faza˛ poczatkow
˛
a˛ drgań, ω0 – cz˛estościa˛
kołowa˛ drgań.
Stałe A oraz δ wyznacza si˛e z warunków poczatkowych.
˛
W szczególnym przypadku, gdy faza
poczatkowa
˛
drgań δ = 0, to równanie (2) ma postać ψ = A cos ω0 t, natomiast dla δ = − π2 , mamy
ψ = A sin ω0 t.
Wyrażenie (2) b˛edziemy nazywać postacia˛ A opisu matematycznego drgań harmonicznych.
(b) Postać B
Korzystajac
˛ z relacji
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
(3)
możemy równanie (2) zapisać nast˛epujaco:
˛
ψ = A cos δ cos ω0 t − A sin δ sin ω0 t.
(4)
Wprowadzajac
˛ teraz dwie nowe stałe Bc i Bs
Bc = A cos δ,
(5)
Bs = −A sin δ,
(6)
ψ = Bc cos ω0 t + Bs sin ω0 t.
(7)
mamy
Wyrażenie (7), podobnie jak (2), jest ogólnym rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego (1) i b˛edziemy
nazywać je postacia˛ B matematycznego opisu drgań harmonicznych. Dwie stałe Bc i Bs dla danych
drgań harmonicznych wyznacza si˛e z warunków poczatkowych.
˛
W szczególnym przypadku, gdy faza poczatkowa
˛
drgań w postaci A (równanie (2)) δ = 0, to Bc = A,
a Bs = 0, natomiast dla drgań z faza˛ poczatkow
˛
a˛ δ = ∓ π2 , mamy Bc = 0 i Bs = ±A.
1
(b) Postać C
W tym przypadku do matematycznego opisu drgań harmonicznych wykorzystuje si˛e liczby i funkcje
zespolone. Wówczas rozwiazanie
˛
ogólne równania (1) możemy zapisać nast˛epujaco:
˛
ψ = Ceiω0 t + C ∗ e−iω0 t ,
(8)
√
gdzie C jest stała˛ zespolona,˛ i = −1 jest jednostka˛ urojona,˛ natomiast symbol ∗ oznacza sprz˛eżenie,
czyli C ∗ jest wielkościa˛ sprz˛eżona˛ z C.
Wyrażenie(8) b˛edziemy nazywać postacia˛ C matematycznego opisu drgań harmonicznych. Funkcja
ψ w równaniu (8) jest rzeczywista, podobnie jak w równaniu (2) (postać A) i w równaniu (7) (postać
B), (suma Ceiω0 t + C ∗ e−iω0 t = Ceiω0 t + (Ceiω0 t )∗ jest rzeczywista).
Ponieważ C jest w ogólnym przypadku stała˛ zespolona,˛ możemy ja˛ rozdzielić na cz˛eść rzeczywista˛ Re C i cz˛eść urojona˛ Im C
C = Re C + i Im C = C 0 + i C 00 ,
(9)
gdzie wprowadzone stałe C 0 i C 00 sa˛ już rzeczywiste, przy czym C 0 ≡ Re C, natomiast C 00 ≡ Im C.
Ponieważ dla dowolnej liczby zespolonej C mamy
C ∗ = C 0 − i C 00 ,
(10)
wi˛ec w równaniu (8) wyst˛epuja˛ dwie stałe C 0 i C 00 , które dla określonych drgań harmonicznych
wyznacza si˛e z warunków poczatkowych.
˛
Pokażemy teraz, jaki jest zwiazek
˛
stałych C 0 i C 00 (wyst˛epujacych
˛
w wyrażeniu (8)) ze stałymi Bc
i Bs (wyst˛epujacymi
˛
w wyrażeniu (7)) i stałymi A i δ (w równaniu (2)).
W tym celu skorzystamy ze znanego przedstawienia liczb zespolonych:
eiω0 t = cos ω0 t + i sin ω0 t,
(11)
e−iω0 t = cos ω0 t − i sin ω0 t.
(12)
Podstawiajac
˛ (9)-(12) do (8), otrzymujemy
ψ = (C 0 + i C 00 )(cos ω0 t + i sin ω0 t) + (C 0 − i C 00 )(cos ω0 t − i sin ω0 t),
(13)
a po wykonaniu mnożenia i skorzystaniu z wyrażenia i2 = −1, mamy
ψ = 2C 0 cos ω0 t − 2C 00 sin ω0 t .
(14)
Porównujac
˛ równania (7) i (14) otrzymujemy
2C 0 = Bc ,
(15)
−2C 00 = Bs .
(16)
Biorac
˛ pod uwag˛e zwiazki
˛ (5) i (6) mamy
C0 =
1
1
Bc = A cos δ ,
2
2
1
1
C 00 = − Bs = A sin δ .
2
2
(17)
(18)
W szczególnym przypadku drgań z faza˛ poczatkow
˛
a˛ δ = 0, mamy C 0 = 21 A i C 00 = 0, co oznacza,
że stała C w równaniu (8) jest rzeczywista (C = C 0 ); jeżeli jednak faza poczatkowa
˛
δ = ± π2 , to
1
0
00
00
C = 0, C = ± 2 A, a to oznacza, że stała C w równaniu (8) jest urojona (C = iC ).
2
(d) Postać D
Postać D opisu drgań harmonicznych, w której również wykorzystuje si˛e funkcje zespolone, otrzymamy z wcześniej już wprowadzonej postaci C. Mianowicie, równanie (8) możemy zapisać:
ψ = Ceiω0 t + C ∗ e−iω0 t = Ceiω0 t + (Ceiω0 t )∗ = 2Re[Ceiω0 t ] = Re[2Ceiω0 t ]
(19)
ψ = Re[Deiω0 t ],
(20)
D = 2C
(21)
D = ReD + i ImD = D0 + i D00 .
(22)
czyli
gdzie
nazywamy zespolona˛ amplituda˛ drgań:
Wyrażenie (20) b˛edziemy nazywać postacia˛ D opisu matematycznego drgań harmonicznych. Jest ono
ogólnym rozwiazaniem
˛
równania różniczkowego (1), przy czym dwie stałe D0 i D00 wyznacza si˛e z
warunków poczatkowych.
˛
Stałe te powiazane
˛
sa˛ ze stałymi wyst˛epujacymi
˛
w postaciach A, B i C
nast˛epujaco:
˛
D0 = 2C 0 = Bc = A cos δ,
(23)
D00 = 2C 00 = − Bs = A sin δ.
(24)
Łatwo zauważyć, że jeżeli δ = 0, to D00 = 0 i amplituda D jest rzeczywista, czyli D = D0 . Jeżeli
natomiast δ = ± π2 to D0 = 0 i amplituda D jest urojona, czyli D = iD00 .
Amplitud˛e zespolona˛ D możemy również wyrazić poprzez amplitud˛e A i faz˛e poczatkow
˛
a˛ δ nast˛epujaco:
˛
D = D0 + i D00 = A cos δ + i A sin δ = A(cos δ + i sin δ) = Aeiδ .
(25)
A wi˛ec zwiazek
˛
pomi˛edzy amplituda˛ zespolona˛ D i amplituda˛ rzeczywista˛ A ma postać
D = Aeiδ .
(26)
ψ = A Re[ei(ω0 t+δ) ].
(27)
Wówczas równanie (20) przyjmie postać
Powyższe wyrażenie jest równoważne równaniu (2):
ψ = A Re[ei(ω0 t+δ) ] = A Re[cos(ω0 t + δ) + i sin(ω0 t + δ)] = A cos(ω0 t + δ).
3
(28)