Ciekawostki

Ciekawostki
Wyznaczniki form kwadratowych
Jeśli formy kwadratowe rozwaŜamy nie nad ciałem, lecz nad pierścieniem przemiennym R
z jedynką, nie ma Ŝadnej gwarancji, Ŝe element 2=1+1 jest odwracalny w R. W związku z tym przy
definiowaniu formy dwuliniowej B stowarzyszonej z formą kwadratową Q nie uŜywa się czynnika
1/2. Praktyczny rezultat tej zmiany jest taki, Ŝe B(x,x) równa się nie Q(x), lecz 2Q(x). Tym samym
macierz formy Q ma na przekątnej wyrazy postaci 2a (czyli parzyste) i jest, jak zwykle, symetryczna.
Co moŜna powiedzieć o wyznaczniku det(Q) takiej macierzy? Pytanie jest o tyle istotne, Ŝe na
przykład (według propozycji z [1]) forma Q jest niezdegenerowana (odp. nieosobliwa), o ile det(Q)
jest elementem niezerowym (odp. odwracalnym). Pisząc [1] zauwaŜyłem, Ŝe wartość det(Q) zaleŜy
następująco od wymiaru n macierzy Q:
(1) jeśli n jest nieparzyste, to det(Q)∈2R (czyli jest parzysty),
(2) jeśli n=2m, to det(Q) jest postaci (−1)md2+4r, gdzie d,r∈R.
Dowód (1) moŜna łatwo przeprowadzić korzystając ze wzoru, w którym det(Q) przedstawia się
w postaci sumy po wszystkich permutacjach z Sn (Lemma 1.1). Jest teŜ inna metoda: przechodząc do
pierścienia R/2R mamy 2=0, a zatem macierz po redukcji staje się alternująca. O takich macierzach
wiadomo, Ŝe mają wyznacznik 0, jeśli wymiar jest nieparzysty, a więc det(Q)∈2R. Jeśli natomiast
wymiar jest parzysty, to wyznacznik jest kwadratem elementu, zwanego pfaffianem macierzy, skąd
det(Q) jest postaci d2+2r, gdzie d,r∈R. Ta informacja jest zgodna z (2), choć mniej precyzyjna. Kiedy
pisałem pracę [1], było dla mnie intuicyjnie jasne, Ŝe (2) moŜna udowodnić w podobny sposób, jak
(1), lecz nie potrafiłem tego sformalizować, a dziś juŜ tego przebłysku po prostu nie pamiętam.
Ostatecznie zrezygnowałem z ogólnego dowodu na rzecz takiego, który moŜna przeprowadzić dla
pierścieni ideałów głównych. OtóŜ moŜna udowodnić, Ŝe nad takimi pierścieniami macierz formy
kwadratowej daje się sprowadzić do postaci "quasi-diagonalnej", to jest takiej, w której wyrazy aij są
zerowe, jeśli |i−j|>1 (Theorem 4.2). Stąd korzystając z rozwinięcia Laplace'a i (1) moŜna łatwo
wyprowadzić (2). Tymczasem ogólna wersja (2) pozostaje, jak na razie, bez dowodu - chyba, Ŝe
znajdzie go czytelnik tej notatki.
[1] A. Prószyński, On Quadratic Forms over S-Rings, Bull. Acad. Polon. Sci. 20 (1972), 121-129
Pierścienie z ograniczonym rozkładem
Pomiędzy dobrze znanymi klasami pierścieni z rozkładem i pierścieni z jednoznacznym
rozkładem (UFD) moŜna wyróŜnić dodatkową klasę pierścieni, określoną w [2]. OtóŜ pierścień
z rozkładem R będziemy nazywać pierścieniem z ograniczonym rozkładem, jeśli dla kaŜdego
rozkładu a=a1...an tego samego elementu a∈R* na iloczyn czynników nieodwracalnych a1,...,an ilość
tych czynników jest ograniczona z góry przez pewną liczbę, zaleŜną tylko od elementu a.
Okazuje się, Ŝe pierścień całkowity R jest pierścieniem z ograniczonym rozkładem dokładnie
wtedy, gdy istnieje funkcja N: R* → N={0,1,2,...} spełniająca dla dowolnych a,b,c∈R* implikację:
(*) jeśli a=bc i c nie jest elementem odwracalnym, to N(a)>N(b).
Korzystając z tej charakteryzacji moŜemy łatwo wskazać przykłady pierścieni z (ograniczonym)
rozkładem. Są nimi na przykład: pierścień liczb całkowitych Z, pierścienie Z[ − d ], gdzie d>0 jest
liczbą całkowitą, pierścienie wielomianów K[X1,...,Xn], gdzie K jest ciałem.
Jeśli ponadto R naleŜy do klasy pierścieni z ograniczonym rozkładem, to pierścień wielomianów
R[X1,...,Xn] równieŜ do niej naleŜy. W szczególności dotyczy to pierścienia Z[X1,...,Xn].
[2] A. Prószyński, Algebra z teorią liczb (ukaŜe się w Wydawnictwie UKW)