Wyk lad 1. Wyk lad 2. Wyk lad 3. Wyk lad 4. Wyk lad 5.

S YLABUS DO W YKLADU
Autor: G rzegorz Karch
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE A1
http://www.math.uni.wroc.pl/˜karch/A1
20 czerwca 2000 r.
Podstawowymi podrecznikami do wykladu sa:
‘
‘
[B] M. Braun, Differential Equations and Their Applications, An Introduction to Applied Mathematics, Springer, New York, 1983.
[P] A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa 1999.
[S] W.A. Strauss, Partial Differential Equations, An Introduction, John Wiley & Sons, Inc., New
York 1992.
Literatura uzupelniajaca:
‘
> W.I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975.
> A. Pelczar, J. Szarski, Wstep do teorii równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1987.
‘
> L.S. Pontriagin, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1964.
> D.K. Arrowsmith, C.M. Place, Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall, London, 1982 (jest
też tlumaczenie rosyjskie).
> A.F. Filippov, Problem Book in Differential Equations, Nauka, Moskva, 1973 (sa też wersje rosyjska
‘
i francuska).
> Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Wiley, New York, 1964 (jest też tlumaczenie rosyjskie).
> P. Biler, T. Nadzieja, Problems and Examples in Differential Equations, M. Dekker, New York, 1992.
Wyklad 1.
> Definicja równania różniczkowego zwyczajnego. Przyklad: y 0 = f (x).
> Równanie rózniczkowe 1-go rzedu liniowe: jednorodne y 0 + a(x)y = 0 i niejednorodne y 0 +
‘
a(x)y = b(x). Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie poczatkowe). [B, §1.2], [P, §4.1]
‘
> Równanie o zmiennych rozdzielonych, krzywa calkowa równania, [B, §1.4], [P, §3.1].
> Zastosownia równań różniczkowych
> w geometrii – trajektorie ortogonalne [B, §1.8.c]
> w biologii – wykladniczy wzrost kolonii bakterii [P, §1.1, Przyklad 1.2]
> w demografii – model Verhulsta (dp/dt) = ap − bp2 , krzywa logistyczna. [B, §1.5]
Wyklad 2.
> Metoda uzmienniania stalej dla niejednorodnego równan liniowego niejednorodnego [P, §4.1]
> Równanie postaci M (x, , y)dx + N (x, y)dy = 0 [P, §3.2]. Równania w postaci różniczek
zupelnych, czynnik calkujacy [B, §1.9], [P, §3.3].
‘
> Iteracja Picarda. Konstrukcja ciagu aproksymujacego rozwiazanie zagadnienia y 0 = (t, y),
‘
‘
‘
y(t0 ) = y0 . Przyklady. [B, §1.10]
Wyklad 3.
Twierdzenia o istnieniu rozwiazań dla zagadnienia poczatkowego.
‘
‘
> Dowód Twierdzenia Picarda-Lindelöfa. [B, §1.10, str. 76] (Dowód powinien być konstruktywny,
taki jak w [B])
> Lemat Gronwalla. [P, §3.6, str. 83], [B, §1.10, str. 78]
> Przyklady na końcu paragrafu [B, §1.10].
> Twierdzenie Peano (bez dowodu) [P, §3.4]. Przyklad: y 0 = y 1/3 , y(0) = 0 [P, Przyklad 3.9]
Wyklad 4.
>
>
>
>
>
Pojecie izokliny, przyklad y 0 = y.
‘
Numeryczna aproksymacja rozwiazań, schemat Eulera, yk+1 = yk + hf (tk , yk ) [B, §1.13]
‘
Szacowanie bledu w schemacie Eulera [B, §1.13.1]
‘
Krótka wzmianka o innych metodach numerycznych wg [B, §1.13].
Wstep do równań liniowych drugiego rzedu, równania liniowe jednorodne [B, §2.1].
‘
‘
Wyklad 5.
Równania liniowe drugiego rzedu
‘
> Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiazań (Tw. 1 [B, §2.1]) zagadnienia y 00 + p(t)y 0 +
‘
q(t)y = 0, y(t0 ) = y0 , y 0 (t0 ) = y1 . Dowód tylko jednoznaczności rozwiazań w oparciu o Lemat
‘
Gronwalla.
> Operator liniowy L [B, §2.1].
> Wyznacznik Wrońskiego. Postać ogólnego rozwiazania równania jednorodnego [B, Twierdzenie
‘
2, §2.1]
> Równanie liniowe o stalych wspólczynnikach, równanie charakterystyczne, postać rozwiazania
‘
ogólnego gdy rónanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki rzeczywiste, jeden pierwiastek
podwójny, pierwiastki zespolone. [B, §2.2]
Wyklad 6.
> Równanie liniowe drugiego rzedu niejednorodne. Postać rozwiazania ogólnego gdy znamy jedno
‘
‘
rozwiazanie szczególne. [B, §2.3 ] [P, §4.3]
‘
> Równanie liniowe drugiego rzedu niejednorodne – metoda uzmieniania stalej [B, §2.3 i §2.4]
‘
> Metody zgadywania szczególnego rozwiazania równania niejednorodnego [B, §2.5], [P, §4.3]
‘
> Konstrukcja rozwiazań równania P (t)y 00 + Q(t)y 0 + R(t)y = 0 w postaci szeregów potegowych
‘
‘
przy zalóżeniu, że funkcje Q(t)/P (t) i R(t)/P (t) sa analityczne w pewnym otoczeniu t0 (Glówne
‘
twierdzenia bez dowodu). [B,§2.8], [P, §4.5]
Wyklad 7.
> Przyklady rozwiazywania równań liniowych drugiego rzedu metoda szeregów potegowych [B,
‘
‘
‘
‘
§2.8]
> Zastosowania równań II-go rzedu [B, §2.6, §2.7]:
‘
> drgania mechaniczne:
– drgania swobodne,
– drgania tlumione,
– drgania wzbudzane,
> równania II-go rzedu w opisie drgań w obwodach elektrycznych;
‘
> inne zastosowania.
Wyklad 8.
Podstawowe wlasności transformaty Laplace’a. Metoda rozwiazywania równań liniowych II-go
‘
rzedu oparta na transformacie Laplace’a. [B, §2.9, §2.10]
‘
Wyklad 9.
> Równania liniowe wyższych rzedów. [B, §2.15]
‘
> Wstep do ukladów równań liniowych I-rzedu
‘
‘
> Redukcja ukladów dwóch równań liniowych do jednego równania II-go rzedu. [B, §2.14]
‘
> Zapisywanie równań n-tego rzedu w postaci ukladu równań I-go rzedu [B, §3.1]
‘
‘
> Zapis liniowych ukladów I-go rzedu w postaci macierzowej. [B, §3.1]
‘
> Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiazań dla jednorodnych ukladów liniowych
‘
(bez dowodu) [B, §3.4, Tw. 4]
> Twierdzenie o tym, że rozwiazania ukladu n-wymiarowego tworza n-wymiarowa przestrzeń
‘
‘
‘
liniowa (pelny dowód) [B, §3.4, Tw. 5], [P, §6.1, §6.2]
‘
Wyklad 10.
Wektory wlasne i wartości wlasne macierzy ukladu równań liniowych I-go rzedu. Konstrukcja bazy
‘
rozwiazań ukladu równań liniowych. [P, §6.2]
‘
> Przypadek n różnych wartości wlasnych. [B, §3.8]
> Przypadek zepolonych wartości wasnych [B, §3.9]
‘
> Wykladnicza postać macierzy etA . Definicja i podstawowe wlasności. [B, §3.10]
> Wielokrotne warości wlasne macierzy. Konstrukcja fundamentalnego zbioru rozwiazań. [B,
‘
§3.10]
Wyklad 11.
> Macierz fundamentalna ukladu x̄0 = Ax̄.
> Równania liniowe niejednorodne. Metoda uzmieniania stalych. [B, §3.12]
> Przyklady konstrukcji rozwiazań, metody zgadywania rozwiazania szczególnego [B, §3.12]
‘
‘
Wyklad 12.
Wstep do równań różniczkowych czastkowych.
‘
‘
> Proste równania różniczkowe czastkowe typu: uxx = 0, uxx + u = 0, uxy = 0. [B, §5.2] [S, §1.1]
‘
> Równanie różniczkowe czastkowe pierwszego rzedu: aux +buy = 0. Szukanym rozwiazaniem jest
‘
‘
‘
funkcja dwóch zmiennych u = u(x, y); a, b sa zadanymi stalymi; pochodne czastkowe oznaczamy
‘
‘
∂u
∂u
∂x = ux oraz ∂y = uy . Dwa dowody, geometryczny (metoda charakterystyk) i analityczny
(zamiana zmiennych) faktu, że u(x, y) = F (by − ax), gdzie F jest dowolna różniczkowalna
‘
‘
funkcja. [S, §1.2]
‘
> Uogólnienie metody charakterystyk na przypadek równania f (x, y)ux + g(x, y)uy = 0, gdzie
f (x, y) i g(x, y) sa zadanymi funkcjami.
‘
> Przyklady [S, §1.2]
Wyklad 13.
Równanie falowe utt − c2 uxx = 0 dla x ∈ IR. [S, §2.1]
> Kostrukcja rozwiazania ogólnego – dwie metody.
‘
> Rozwiazanie zagadnienia poczatkowego – wzór d’Alemberta.
‘
‘
> Przyklady
Wyklad 14.
Równanie ciepla ut − kuxx = 0 dla x ∈ (0, 1).
> Kostrukcja rozwiazania przy pomocy metody Fouriera rozdzielania zmiennych. [B, §5.3, §5.6]
‘
[S, §4.1 - §4.3]
> Wstep o szeregach Fouriera. [B, §5.4 - 5.5] [S, §5.1 - §5.4]
‘
> Dowód jednoznaczności rozwiazań ”Metoda energetyczna”
‘
‘
‘
Wyklad 15.
Uzupelnienie i powtórzenie
> Zagadnienia brzegowe dla równań zwyczajnych pierwszego rzedu. [B, §5.1]
‘
> Wiecej o szeregach Fouriera.
‘
> Metoda Fouriera dla równania falowego. [B. §5.7]
> Pojecie energii dla równania falowego. Jednoznaczność rozwiazań. [S, §2.2]
‘
‘
ZADANIA
Zadanie 1. Sprawdź, czy podana funkcja jest rozwiazaniem podanego równania różniczko‘
wego:
b) x(t) = sint t , tx0 + x = cos t,
a) x(t) = tg t, x0 = 1 + x2 ,
√
c) x(t) = 2 + 1 − t2 , (1 − t2 )x0 + tx = 2t.
Zadanie 2. Znaleźć rozwiazania ogólne nastepujacych równań różniczkowych o rozdzielonych
‘
‘
‘
zmiennych i naszkicować ich wykresy dla
różnych stalych C.
q
√
a) y 0 = ex+y , b) y 0 = x/y, c) y 0 = y/x, d) y 0 = (y + 1)/(x + 1).
Zadanie 3. Znajdź rozwiazania nastepujacych równań spelniajacych podany dodatkowy
‘
‘
‘
‘
warunek:
a) y 0 = 2, y(0) = 2, b) y 0 = y/x, y(1) = 5, c) y 0 = −y 2 ex ; y(0) = 1/2,
2
d) xyy 0 = ln x, y(1) = 1, e) yy 0 = xe−y , y(0) = 0, f) yy 0 = x(1 + y 2 ), y(0) = 1.
Zadanie 4. Pewna osoba uczy sie pisać na maszynie. Niech N oznacza maksymalna liczbe
‘
‘
‘
slow jakie potrafi napisać ona napisać w ciagu minuty. Zalóżmy, że predkość zmian N (tzn.
‘
‘
N 0 (t)) jest proporcjonalna do różnicy pomiedzy N oraz górna granica 140. Rozsadnym jest
‘
‘
‘
‘
zalożyć, że na poczatku osoba ta nie potrafila napisać żadnego slowa (tzn. N (0) = 0).
‘
Okazalo sie, że osoba ta potafi napisać 35 slów na minute po 10 godzinach uczenia sie.
‘
‘
‘
a) Ile slów na minute bedzie pisać ta osoba po 20 godzinach uczenia sie?
‘ ‘
‘
b) Jak dlugo musi ona ćwiczyć, aby napisać 105 slów na minute?
‘
Zadanie 5. Plotka rozprzestrzenia sie w populacji liczacej 1000 osób z predkościa propor‘
‘
‘
‘
cjonalna do iloczynu liczby osób, które już slyszly te plotke oraz liczby osób, ktore jeszcze
‘
‘
‘
nie slyszaly tej plotki. Zalóżmy, że 5 osób rozprzestrzenia plotke i po jednym dniu wie o niej
‘
już 10 osób. Ile czasu potrzeba, aby o plotce dowiedzialo sie 850 osób?
‘
Zadanie 6. (Inny model rozprzestrzeniania sie plotki). Zalożmy teraz, że plotka rozprzes‘
trzenia sie w populacji liczacej 1000 osób wedlug prawa Gompertza:
‘
‘
dy
= kye−(73/520)t ,
dt
gdzie y(t) jest licza osób, które slyszaly plotke po t dniach. Zalóżmy, że 5 osób rozprzestrzenia
‘
‘
plotke i po jednym dniu wie o niej już 10 osób. Ile czasu potrzeba, aby o plotce dowiedzialo
‘
sie 850 osób?
‘
Zadanie 7. Wiadomo, że szybkość zmian temperatury danego ciala jest proporcjonalna do
różnicy miedzy temperatura tego ciala i temperatura otoczenia (prawo Newtona). Zakladamy,
‘
‘
‘
że S(0) = 100o C w temperaturze otoczenia 20o C. Po dziesieciu minutach temperatura ciala
‘
wynosila 60o C. Po ilu minutach cialo bedzie mialo temperature 25o C?
‘
‘
Zadanie 8. Cialo zamordowanego znaleziono o 19:30. Lekarz sadowy przybyl o 20:20 i
‘
natychmiast zmierzyl temperature ciala denata. wynosila ona 32, 6o C. Godzine póżniej, gdy
‘
‘
usuwano cialo, temperatura wynosila 31, 4o C. W tym czasie temperatura w pomieszczeniu
wynosila 21o C. Najbardziej podejrzana osoba, która mogla popelnić to morderstwo – Jan
G., twierdzi jednak, że jest nie winny. Ma alibi. Po poluniu byl on w restauracji. O 17:00
mial rozmowe zamiejscowa, po której natychmiast opuścil restauracje. Restauracja znajduje
‘
‘
‘
sie 5 minut na piechote od miejsca morderstwa. Czy alibi to jest niepodważalne?
‘
‘
Zadanie 9. ( Ciag dalszy zadania poprzedniego). Obrońca Jana G. zauważyl, że zamor‘
dowany byl u lekarza o 16:00 w dniu śmierci i wtedy jego temperatura wynosila 38, 3o C.
Zalóżmy, że taka temperature mial on w chwili śmierci. Czy możda dalej podejrzewać, że
‘
‘
Jan G. popelnil to morderstwo?
Zadanie 10. Rozwój populacji liczacej M (t) osobników w chwili t można opisać równa‘
niem Verhulsta M 0 (t) = aM (t) − bM 2 (t) (dla populacji ludzkiej, z dobrym przybliżeniem
a = 0, 029, b = 2, 941 · 10−12 ). Udowodnić, że limt→∞ M (t) = a/b. Określić dla jakiego t,
M 0 (t) osiaga maksimum.
‘
Zadanie 11. Epidemia grypy w populacji liczacej 50000 osób rozprzestrzenia sie wedlug
‘
‘
prawa Gompertza:
dy
= kye−0,03t ,
dt
gdzie y(t) oznacza liczbe zarażonych grypa po t dniach. Zalóżmy, że na poczatku bylo 100
‘
‘
‘
chorych, a po 10 dniach – 500. Kiedy polowa populacji bedzie zarażona?
‘
Równania liniowe pierwszego rzedu
‘
Zadanie 12. Znaleźć calke ogólna (tzn. znaleźć rozwiazanie ogólne) równań liniowych
‘
‘
‘
mnożac je przez odpowiedni czynnik calkujacy:
‘2t
‘
1
x0 + x cos t = 0 , x0 + t2 x = t2 , x0 + 1+t
, x0 + x = tet .
2 x = 1+t2
Zadanie 13. Rozwia
ż nastepujace zagadnienia
poczatkowe bez znajdowania rozwiazania
√
√
‘2
‘
‘
‘
‘
0
0
y + ty = 1 + t, y(3/2) = 0.
ogólnego: y + 1 + t y = 0, y(0) = 5;
Zadanie 14. Znajdź ciagle rozwiazanie zagadnienia Cauchy’ego y 0 + y = g(t), y(0) = 0,
‘
‘
gdzie g(t) = 2 dla 0 ≤ t ≤ 1 oraz g(t) = 0 dla t > 1.
Zadanie 15. Udowodnij, że dla równania x0 +a(t)x = f (t), gdzie a i b sa funkcjami ciaglymi,
‘
‘
a(t) ≥ c > 0, oraz limt→∞ f (t) = 0, zachodzi relacja limt→∞ x(t) = 0.
Zadanie 16. Udowodnij, że równanie Bernoulliego x0 + a(t)x = b(t)xm , m ∈ IR, sprowadza
sie przez zamiane zmiennych z(t) = x(t)1−m do równania liniowego. Rozwiaż równania:
‘
‘
‘
tx0 + x = x2 log t, x0 = tx + t3 x2 .
Zadanie 17. Równanie postaci x0 + a(t)x = b(t)x2 + f (t), gdzie a, b, f sa danymi funkcjami,
‘
nazywa sie równaniem Riccatiego. Nie istnieje ogólny sposób calkowania tego równania.
‘
Udowodnij, że jeżeli znamy jedno rozwiazania x1 (t), to funkcja u(t) = x(t) − x1 (t) spelnia
‘
równanie Bernoulliego.
Zadanie 18. Znaleźć rozwiazania szczególne nastepujacych równań Riccatiego, zredukować
‘
‘
‘
je do równań typu Bernoulliego i scalkować:
t2 x0 + tx + t2 x2 = 4, x0 + 2xet − x2 = e2t + et .
Równania o zmiennych rozdzielonych
Zadanie 19. Rozwiaż równania nie rozdzielajac różniczek dy i dt:
‘
‘
y 0 = (1 + t)(1 + y), y 0 = et+y+3 .
Zadanie 20. Rozwiaż zagadnienia poczatkowe nie rozdzielajac różniczek dy i dt:
‘
‘
‘
xyy 0 = ln x, y(1) = 1, y 0 = −y 2 ex ; y(0) = 1/2.
Zadanie 21. Równania postaci dy/dt = f (y/t), gdzie f jest dana funkcja, nazywamy
‘
‘
równaniem jednorodnym. Udowodnij, jeżeli y jest rozwiazaniem równania jednorodnego,
‘
to funkcja v(t) = y(t)/t spelnia równanie o zmiennych rozdzielonych t(dv/dt) + v = f (v).
Zadanie 22. Rozwiaż równania jednorodne:
‘

‘
2x + t − tx0 = 0, tx0 = x − tex/t , tx0 = x cos log xt .
Zadanie 23. Dla danej rodziny krzywych znajdź trajektorie ortogonalne:
y = Cx2 , y = C sin x, y = Cex , x2 + y 2 = Cx.
Równania zupelne
Zadanie 24. W podanych równaniach dobierz stala a tak, aby bylo ono zupelne, a nastepnie
‘
‘
1
+ y12 + (at+1)
y 0 = 0.
rozwiaż je: t + ye2ty + ate2ty y 0 = 0,
t2
y3
‘
Zadanie 25. Znajdź wszystkie funkcje f (t), dla których równanie y 2 sin t+yf (t)(dy/dt) = 0
jest zupelne. Rozwiaż równanie dla tych f .
‘
Zadanie 26. Znaleźć wspólczynnik f = f (t) w równaniu f (t)x0 +t2 +x = 0, jeżeli wiadomo,
że ma ono czynnik calkujacy postaci u(t) = t.
‘
Równania zupelne, cd.
Zadanie 27. Rozwiazać równania w postaci różniczek zupelnych:
‘
2tx dt + (t2 − x2 ) dx = 0, e−x dt − (2x + te−x ) dx = 0.
Zadanie 28. Sprawdź, że podana funkcja µ(x, t) jest czynnikiem calkujacym danego równania.
‘
Rozwiaż równanie.
‘
a) 6xy dx + (4y + 9x2 ) dy = 0, µ(x, t) = y 2
b) −y 2 dx + (x2 + xy) dy = 0, µ(x, y) = 1/(x2 y)
c) y(x + y + 1) dx + (x + 2y) dy = 0, µ(x, y) = ex
Zadanie 29. Równanie różniczkowe może mieć wiecej niż jeden czynnik calkujacy. Udowod‘
‘
nij, że µ1 (x, y) = 1/(xy), µ2 (x, y) = 1/y 2 , µ3 (x, y) = 1/(x2 + y 2 ) sa czynnikami calkujacymi
‘
‘
równania y dx−x dy = 0. Uzasadnij, że otrzymane przy pomocy tych czynników calkujacych
‘
rozwiaznia sa formalnie równoważne.
‘
‘
Zadanie
30.
równania metoda czynnika calkujacego:

‘
Scalkować
‘
‘
‘
x
x
(y + x2 )dy + (x − xy)dx = 0.
+ 1 dx + y − 1 dy = 0,
(x2 + y)dx − xdy = 0,
y
Zadanie 31. Uzasadnij, że równanie o zmiennych rozdzielonych M (t) + N (y)(dy/dt) = 0
jest zupelne.
R
Zadanie 32. Uzasadnij, że jeżeli ∂M/∂y = ∂N/∂t, to wyrażenie M (t, y)− (∂N (t, y)/∂t)dy
nie zależy od od y (tzn. zależy tylko od t).
Iteracja Picarda
Zadanie 33. Oblicz pierwsze dwie iteracje Picarda dla zagadnienia y 0 = t2 + y 2 , y(0) = 1.
Zadanie 34. Oblicz pierwsze trzy iteracje Picarda dla zagadnienia y 0 = et + y 2 , y(0) = 0.
Zadanie 35. Wyprowadź wzór na n-ta iteracje Picarda yn (x) i oblicz jej granice gdy n → ∞
‘
‘
‘
dla podanych zagadnień Cauchy’ego:
a) y 0 = −y, y(0) = 1
b) y 0 = x + y, y(0) = 1
0
c) y = 2xy, y(0) = 1
d) y 0 + y 2 = 0, y(0) = 0
Zadanie 36. Oblicz kolejne iteracje Picarda dla zagadnienia Cauchy’ego y 0 = 2t(y + 1),
2
y(0) = 0 i udowodnij, że zbiegaja one do rozwiazania y(t) = et − 1.
‘
‘
Zastosowania Twierdzenia Picarda-Lindelöfa
Zadanie 37. Dla podanich niżej zagadnień Cauchy’ego udowodnij, że rozwiazanie y = y(t)
‘
istnieje na zadanym przedziale. Czy jest to jedyne rozwiazanie?
‘
a)
b)
c)
d)
e)
f)
y 0 = y 2 + cos t2 ; y(0) = 0; 0 ≤ t ≤ 1/2
y 0 = 1 + y + y 2 cos t; y(0) = 0; 0 ≤ t ≤ 1/3
y 0 = t + y 2 ; y(0) = 0; 0 ≤ t ≤ (1/2)2/3
2
y 0 = e−t + y 2 ; y(0) = 0; 0 ≤ t ≤ 1/2 √
2
y 0 = e−t + y 2 ; y(1) = 0; 1 ≤ t ≤ 1 + e/2
y 0 = y + e−y + e−t ; y(0) = 0; 0 ≤ t ≤ 1
Zadanie 38. Udowodnij, że y(t) = −1 jest jedynym rozwiazaniem zagadnienia
‘
y 0 = t(1 + y), y(0) = −1.
Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiazań
‘
Zadanie 39. Wskazać przedzial, na którym istnieje rozwiazanie zagadnienia:
‘
a) y 0 = 2y 2 − t, y(1) = 1;
b) y 0 = t + ey , y(1) = 0.
Zadanie 40. Uzasadnij, że zagadnienie y 0 = 1+y 2 , y(0) = 0 nie ma rozwiazania określonego
‘
na calej prostej.
Zadanie 41. Czy wykresy dwóch różnych rozwiazań danego równania moga sie przecinać
‘
‘ ‘
w pewnym punkcie (t0 , y0 ) jeżeli równaniem tym jest:
a) y 0 = y 2 + t,
b) y 0 = y 1/2 + t.
Zadanie 42. Rozważamy zagadnienie poczatkowe y 0 = t2 + y 2 , y(0) = 0. Niech R bedzie
‘
‘
prostokatem 0 ≤ t ≤ a, −b ≤ y ≤ b. Udowodnij poniższe stwierdzenia.
‘
a) Rozwiazanie tego zagadnienia y(t) istnieje dla 0 ≤ t ≤ min{a, b/(a2 + b2 )}.
‘
b) Przy ustalonym a, maksymalna wartościa wyrażenia b/(a2 + b2 ) jest 1/(2a). √
‘
‘
c) Maksymalna wartość wyrażenia min{a, 1/(2a)} jest
√ przyjmowana dla a = 1/ 2.
d) Rozwiazanie y(t) istnieje na przedziale 0 ≤ t ≤ 1/ 2.
‘
√
Zadanie 43. Znajdź rozwiazanie zagadnienia y 0 = t 1 − y 2 , y(0) = 1, różne od rozwiazania
‘
‘
y(t) ≡ 1. Które z zalożeń Tw. Picarda-Lindelöfa nie jest spelnione?
Zadanie 44. Wyznaczyć nieskończenie wiele rozwiazań równania y 0 = 2y 1/2 z warunkiem
‘
poczatkowym y(0) = 0. Które z zalożeń Tw. Picarda-Lindelöfa nie jest spelnione?
‘
Zadanie 45. Inny dowód uproszczonej wersji Lematu Gronwalla. Niech w(t) bedzie nieujemna
‘
‘
ciagla funkcja spelniajaca
Z
‘ ‘
‘
‘ ‘
t
w(t) ≤ L w(s) ds
t0
na odcinku t0 ≤ t ≤ t0 + α. Ponieważ w jest ciagla, istnieje taka stala A, że 0 ≤ w(t) ≤ A
‘
dla wszystkich t0 ≤ t ≤ t0 + α.
a) Udowodnij, że w(t) ≤ LA(t − t0 ).
b) Użyj tego oszacowania do dowodu, że w(t) ≤ AL2 (t − t0 )2 /2.
c) Pokaż indukcyjnie, że w(t) ≤ ALn (t − t0 )n /n!.
d) Udowodnij, że w(t) = 0 dla t0 ≤ t ≤ t0 + α.
Interpretacja geometryczna rozwiazania
‘
Rozważamy równanie y 0 = f (y, t). Krzywe opisane
równaniem f (y, t) = k dla różnych
stalych k nazywamy izoklinami. Z równania wynika, że styczna do rozwiazania w punkcie
‘
przeciecia z dana izoklina ma staly wspólczynnik kierunkowy równy k.
‘
‘
‘
Zadanie 46. W poniższych przykladach narysuj izokliny i przy ich pomocy naszkicuj przebieg przykladowych rozwiazań:
‘
t+y
t
, y 0 = t2 + y 2 .
y 0 = −t, y 0 = − , y 0 = 1 + y 2 , y 0 =
y
t−y
Metody iteracyjne
Zadanie 47. Wzorujac sie na dowodzie Twierdzenia Picarda-Lindelöfa, udowodnić nastepu‘ ‘
‘
jace twierdzenie: Zalóżmy, że f (x) i f 0 (x) sa ciagle na odcinku a ≤ x ≤ b oraz |f 0 (x)| ≤ λ < 1
‘
‘ ‘
na tym odcinku. Zalóżmy dodatkowo, że ciag zdefiniowany rekurencyjnie xn+1 = f (xn )
‘
spelnia: xn ∈ [a, b] dla wszystkich n = 0, 1, 2, 3, .... Przy tych zalożeniach ciag xn zbiega, gdy
‘
n → ∞, do jedynego rozwiazania równania: x = f (x).
‘ wedlug nastepujacego schematu:
Wskazówka. Przeprowadzić dowód
‘
‘
1. Opierajac sie na Twierdzeniu o Wartości Średniej, udowodnić, że
‘ ‘
|xn − xn−1 | = |f 0 (ξ)(xn−1 − xn−2 )| ≤ λ|xn−1 − xn−2 |
2.
3.
4.
5.
dla pewnej stalej ξ ∈ [a, b].
xn−1 | ≤ λn−1 |x1 − x0 |.
Indukcyjnie pokazać, że |xn −P
∞
Udowodnić zbieżność szeregu n=1 (xn − xn−1 ).
Zapisujac xn w postaci sumy teleskopowej udowodnić, że limn→∞ xn = y dla pewnego y ∈ [a, b].
‘
Jednoznaczność rozwiazania wywnioskować z równości:
‘
y1 − y2 = f (y1 ) − f (y2 ) = f 0 (ξ)(y1 − y2 )
dla pewnego ξ leżacego pomiedzy y1 i y2 .
‘
Zadanie 48. Udowodnij, że ciag iteracji x0 , xn+1 = 1 + (1/2)arc tgxn zbiega do jedynego
‘
rozwiazania równania x = 1 + (1/2)arc tgx.
‘
Zadanie 49. Udowodnij, że równanie x = sin x + 1/4 ma jedyne rozwiazanie na odcinku
‘
[π/4, π/2]. Udowodnij, że ciag iteracji x0 ∈ [π/4, π/2], xn+1 = sin xn + 1/4 zbiega do tego
‘
rozwiazania.
‘
Zadanie 50. Zalóżmy, że y jest rozwiazaniem równania x = sin x + 1/4.
‘
a) Niech x0 = π/4. Udowodnij, że potrzeba 20 iteracji aby wyznaczyć y z dokladnościa 8
‘
miejsc po przecinku. b) Niech x0 = 3π/8. Udowodnij, że potrzeba 16 iteracji aby wyznaczyć
y z dokladnościa 8 miejsc po przecinku.
‘
Zadanie 51. a) Dla jakich przykladowych wartości x0 iteracje xn+1 = xn − 41 (xn2 − 2)
√
√
zbiegaja do 2. b) Niech x0 = 1, 4. Udowodnij, że potrzeba 30 iteracji aby wyznaczyć 2
‘
z dokladnościa 8 miejsc po przecinku.
‘
iteracje x0 = 1, 7; xn+1 = xn −α(x2n −3)
Zadanie 52.√a) Podaj przyklady tych α, dla których
√
zbiegaja do 3. b) W jaki sposób wyznaczyć 3 z dokladnościa do 6 miejsc po przecinku?
‘
‘
Schemat Eulera
Zadanie 53. Używajac metody Eulera z krokiem h = 0, 1 wyznacz przybliżona wartość
‘
‘
rozwiazania dla t = 1. Oszacuj blad jaki popelniamy. Nastenie znajdź rozwiazanie podanego
‘
‘
‘
‘
zagadnienienia i porównaj otrzymana wartość z wartościa rzeczywista.
‘0
‘
‘
y 0 = 1 + y 2 − t2 , y(0) = 0.
y 0 = 1 + t − y, y(0) = 0;
y = 2ty, y(0) = 2;
Zadanie 54. Oszacuj blad jaki popelniamy używajac metody Eulera z krokiem h aby znaleźć
‘
‘
przybliżona wartość rozwiazania zagadnienia y 0 = (t2 + y 2 )/2, y(0) = 1 dla dowolnego
‘
‘
t ∈ [0, 2/5]. Wskazówka: Rozważaj prostokat R: 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
‘
Zadanie 55. Oszacuj blad jaki popelniamy używajac metody Eulera z krokiem h aby znaleźć
‘
‘
przybliżona wartość rozwiazania zagadnienia y 0 = t + ey , y(0) = 0 dla dowolnego t ∈
‘
‘
[0, 1/(e + 1)]. Wskazówka: Rozważaj prostokat R: 0 ≤ t ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1.
‘
Zadanie 56. Wyznacz odpowiednia wielkość kroku h w metodzie Eulera tak aby blad,
‘
‘
który popelniamy wyznaczajac wartośći rozwiazania zagadnienia y 0 = ey − y 2 , y(0) = 0 w
‘
‘
dowolnym punkcie t ∈ [0, 1/e] byl nie wiekszy niż 0,0001.
‘
Równania liniowej jednorodne drugiego rzedu
‘
Dwa rozwiazania y1 (t) i y2 (t) równania liniowego drugiego rzedu, spelniajace
‘
‘
‘
W [y1 (t), y2 (t)] 6= 0, bedziemy nazywali fundamentalnym zbiorem rozwiazań równania.
‘
‘
√
Zadanie 57. Udowodnij, że funkcje y1 (t) = t i y2 (t) = 1/t tworza fundamentalny zbiór
‘
rozwiazań równania 2t2 y 00 + 3ty 0 − y = 0. Znajdź rozwiazanie tego równania spelniajace
‘
‘
‘
warunki poczatkowe: y(1) = 2, y 0 (1) = 1.
‘
Zadanie 58. Udowodnij, że funkcje
2 /2
y1 (t) = e−t
i
y2 (t) = e−t
2 /2
Z t
0
es
2 /2
ds
tworza fundamentalny zbiór rozwiazań równania y 00 + ty 0 + y = 0. Znajdź rozwiazanie tego
‘
‘
‘
równania spelniajace warunki poczatkowe: y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
‘
‘
Zadanie 59. Niech y1 (t) i y2 (t) beda rozwiazaniami równania y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0, gdzie
‘
‘ ‘
p(t) i q(t) sa ciagle w pewnym przedziale [α, β]. Oznaczmy
‘ ‘
W (t) = W [y1 (t), y2 (t)] = y1 (t)y20 (t) − y10 (t)y2 (t).
a. Poprzez bezpośredni rachunek sprawdź, że W 0 + p(t)W = 0.
b. Na podstawie poprzedniego punktu wywnioskuj, że dla każdych t, t0 ∈ [α, β] jest prawdziwa równość
’
W [y1 (t), y2 (t)] = W [y1 (t0 ), y2 (t0 )] exp −
Z t
t0
“
p(s) ds.
c. Udowodnij, że wyznacznik Wrońskiego W [y1 (t), y2 (t)] jest albo tożsamościowo równy 0
lub nigdy nie zeruje sie na przedziale [α, β].
‘
Zadanie 60. Udowodnij, że y(t) = t2 nigdy nie może być rozwiazaniem równania y 00 +
‘
p(t)y 0 + q(t)y = 0 dla ciaglych p(t) i q(t).
‘
Zadanie 61. Zalóżmy, że wyznacznik Wrońskiego rozwiazań równania y 00 +p(t)y 0 +q(t)y = 0
‘
jest staly (niezależny od t) i różny od 0. Udowodnij, że p(t) ≡ 0.
Zadanie 62. Znajdź rozwiazania nastepujacych zagadnień:
‘
‘
‘
a) y 00 + y 0 − 10y = 0,
y(1) = 5, y 0 (1) = 2;
b) y 00 + y 0 + 2y = 0,
y(0) = 1, y 0 (0) = −2;
c) 2y 00 − y 0 + 3y = 0,
d) 9y 00 + 6y 0 + y = 0,
y(1) = 1,
y(0) = 1,
y 0 (1) = 1;
y 0 (0) = 0;
Zadanie 63. Równanie postaci t2 y 00 + αty 0 + βy = 0, α, β − stale, nazywa sie równaniem
‘
Eulera. Udowodnij, że funkcja y(t) = tr jest rozwiazaniem tego równania o ile r2 + (α −
‘
1)r + β = 0.
Zadanie 64. Znajdź rozwiazanie ogólne równania t2 y 00 + 5ty 0 − 5y = 0.
‘
Zadanie 65. Znajdź rozwiazanie zagadnienia t2 y 00 − ty 0 − 2y = 0, y(1) = 0, y 0 (1) = 1 na
‘
przedziale 0 < t < ∞.
Zadanie 66. Sprawdź, że W [eαt cos βt, eαt sin βt] = βe2αt .
Zadanie 67. a) Niech r1 = λ+iµ bedzie pierwiastkiem zespolonym równania r2 +(α−1)r +
‘
β = 0. Sprawdź, że funkcja tλ+iµ = tλ e(ln t)iµ jest rozwiazaniem (o wartościach zespolonych)
‘
równania Eulera t2 y 00 + αty 0 + βy = 0.
b) Wywnioskuj z punktu (a), że tλ cos µ ln t i tλ sin µ ln t sa dwoma niezależnymi rozwia‘
‘
zaniami równania Eulera.
Zadanie 68. Znajdź rozwiazanie ogólne równania t2 y 00 + ty 0 + y = 0.
‘
Zadanie 69. Zalóżmy, że a > 0, b > 0 i c > 0. Udowodnij, że każde rozwiazanie równania
‘
ay 00 + by 0 + cy = 0 daży do 0 gdy t → ∞.
‘
Równania liniowej drugiego rzedu niejednorodne
‘0
00
Zadanie 70. Zalóżmy, że równanie y + p(t)y + q(t)y = g(t) ma trzy rozwiazania
‘
t2 ,
t2 + e2t ,
1 + t2 + 2e2t .
Znajdź rozwiazanie ogólne.
‘
Zadanie 71. Zalóżmy, że równanie y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = g(t) ma trzy rozwiazania
‘
2
3et + et ,
2
7et + et ,
3
2
5et + e−t + et .
Znajdź rozwiazanie tego równania spelniajace warunki poczatkowe y(0) = 1, y 0 (0) = 2.
‘
‘
‘
Zadanie 72. Stosujac metode uzmieniania stalych znajdź rozwiazanie nastepujacych równań:
‘
‘
‘
‘
‘
y 00 − 4y 0 + 4y = te2t ,
2y 00 − 3y 0 + y = (t2 + 1)et ,
3y 00 + 4y 0 + y = (sin t)e−t .
Zadanie 73. Stosujac metode uzmieniania stalych znajdź rozwiazanie zagadnienia
‘
‘
‘
y 00 − y = f (t),
y(0) = y 0 (0) = 0.
Zadanie 74. Znajdź jedno szczególne rozwiazanie równań:
‘
a) y 00 + 3y = t3 − 1,
b) y 00 + 4y 0 + 4y = teαt ,
c) y 00 − y = t2 et ,
d) y 00 + y 0 + y = 1 + t + t2
e) y 00 + 4y = t sin 2t,
f) y 00 − 2y 0 + 5y = 2(cos2 t)et ,
g) y 00 + y = cos t cos 2t.
Zadanie 75. Znaleźć rozwiazanie ogólne równania (1 − t2 )y 00 − ty 0 + 9y = 0, jeżeli wiadomo,
‘
że ma ono rozwiazanie szczególne bedace wielomianem stopnia 3. Uwaga: równanie Cze‘
‘ ‘
byszewa (1 − t2 )y 00 − ty 0 + n2 y = 0 zawsze ma rozwiazanie szczególne bedace wielomianem
‘
‘ ‘
stopnia n.
Zadanie 76. Dla jakich wartości k i ω równanie x00 + k 2 x = sin ωt ma przynajmniej jedno
rozwiazanie okresowe?
‘
Zadanie 77. Dla jakich wartości a zagadnienie y 00 + ay = 1, y(0) = 0, y(1) = 0, nie ma
rozwiazań?
‘
Rozwiazania w postaci szeregów potegowych
‘
‘ 0
00
Zadanie 78. Znajdź rozwiazanie ogólne równań: y +ty +y = 0,
‘
Zadanie 79. Znajdź rozwiazanie nastepjacych zagadnień:
‘ ‘
‘
a) y 00 + t2 y = 0,
y(0) = 2, y 0 (0) = −1
b) t(2 − t)y 00 − 6(t − 1)y 0 − 4y = 0,
y(1) = 1, y 0 (1) = 0
y 00 −ty = 0, y 00 −t3 y = 0
Zadanie 80. Równanie postaci y 00 − 2ty 0 + λy = 0, gdzie λ jest pewna stala nazywa sie
‘
‘
‘
równaniem Hermite’a.
a) Znajdź dwa niezależne rozwiazania równania Hermite’a.
‘
b) Udowodnij, że dla λ = 2n (n – liczba naturalna) równanie Hermite’a ma rozwiazanie w
‘
postaci wielomianu stopnia n
Zadanie 81. W poniższych zagadnieniach znajdź rekurencyjne wzory na wspólczynniki w
P
n
rozwinieciu rozwiazania w szereg ∞
n=0 an t (PS. W przypadku jakiś problemów wyznacz
‘
tylko pieć pierwszych wspólczynników szeregu.)
‘
a) (1 − t)y 00 + ty 0 + y = 0,
y(0) = 1, y 0 (0) = 0;
b) y 00 + ty 0 + et y = 0,
y(0) = 1, y 0 (0) = 0;
c) y 00 + y 0 + e−t y = 0,
y(0) = 3, y 0 (0) = 5;
Transformata Laplace’a
√
R
2
Zadanie 82. Stosujac wzór 0∞ e−x dx = π/2 oblicz L{t−1/2 }.
‘
Zadanie 83. Uzasadnij, że każda z podanych
funkcji ma wzrost podwykladniczy:
√
n
t
t (dla każdego n > 0); sin at; e .
2
Zadanie 84. Uzasadnij, że nie istnieje transformata Laplace’a funkcji et .
Zadanie 85. Zalóżmy, że f (t) ma wzrost podwykladniczy. Udowodnij, że F (s) = L{f (t)}
daży do 0 gdy s → ∞.
‘
Zadanie 86. Niech F (s) = L{f (t)}. Udowodnij indukcyjnie, że
(
dn f (t)
L
dtn
)
= sn F (s) − sn−1 f (0) − ... −
(dn−1 f )(0)
.
dtn−1
Zadanie 87. Stosujac transformate Laplace’a znajdź rozwiazania nastepujacych zagadnień:
‘
‘
‘
‘
‘
y(0) = 1, y 0 (0) = −1;
a) y 00 − 5y 0 + 4y = e2t ,
y(0) = 1, y 0 (0) = 0;
b) y 00 − 3y 0 + 2y = e−t ,
c) y 000 − 6y 00 + 11y 0 − 6y = e4t ,
y(0) = 0, y 0 (0) = 0, y 00 (0) = 0;
Zadanie 88. Oblicz transformaty Laplace’a funkcji: tn , tn eat , t sin at, t2 cos at.
Zadanie 89. Zalóżmy, że F (s) = L{f (t)} oraz granica limt&0 f (t)/t istnieje. Udowodnij,
że
Z ∞
L{f (t)/t} =
F (u) du.
s
Oblicz transformaty Laplace’a funkcji:
sin t cos at−1 eat −ebt
,
, t .
t
t
Zadanie 90. Stosujac transformate Laplace’a znajdź rozwiazania nastepujacych zagadnień:
‘
‘
‘
‘
‘
a) y 00 + y = sin t,
y(0) = 1, y 0 (0) = 2;
b) y 00 + y = t sin t,
y(0) = 1, y 0 (0) = 2;
y(0) = 3, y 0 (0) = −5;
c) y 00 + y 0 + y = 1 + e−t ,
Równania liniowe wyższych rzedów
‘
Zadanie 91. Znajdź rozwiazania nastepujacych zagadnień:
‘
‘
‘
a) y (iv) − y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = y 00 (0) = 0, y 000 (0) = −1;
b) y (v) − 2y (iv) + y 000 = 0, y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = y 000 (0) = 0, y (iv) (0) = −1;
Uklady równań liniowych pierwszego rzedu
‘
Zadanie 92. Znajdź
giego rzedu:
‘
a) x0 = x + y, y 0
b) x0 = 3x − 2y,
c) x0 = y + f1 (t),
rozwiazania nastepujacych ukladów sprowadzajac je do równań dru‘
‘
‘
‘
= 4x + y,
x(0) = 2, y(0) = 3;
0
y = 4x − y,
x(0) = 1, y(0) = 5;
y 0 = −x + f2 (t),
x(0) = 0, y(0) = 0; (f1 i f2 to dane funkcje).
Zadanie 93. Zapisz w postaci ukladu równań pierwszego rzedu nastepujace równania:
‘
‘
‘
y 000 + (y 0 )2 = 0, y 000 + cos y = et , y (iv) + y 00 = 1.
Zadanie 94. Zapisz w postaci wektorowej x̄0 = Ax̄, x̄(t0 ) = x̄0 nastepujace uklady
‘
‘
a) x01 = 3x1 − 7x2 , x20 = 4x1 ,
x1 (0) = 1, x2 (0) = 1;
b) x10 = x1 + x2 − x3 , x02 = x1 , x03 = −x2 ,
x1 (0) = 2, x2 (0) = 3 x3 (0) = 4;
Zadanie 95. Znajdź baze rozwiazań nastepujacych ukladów równań liniowych sprowadzajac
‘
‘
‘
‘
‘
je do jednego równania wyższego rzedu




‘ !
!
0
1 0
1 0 0
0
1
1
0



0
0
0
0
0 1  x̄, x̄ =  1 1 0 
x̄ =
x̄, x̄ =
x̄, x̄ =  0
 x̄.
−1 −1
2 1
2 −1 2
1 1 1
Zadanie 96. Obliczajac wartości wlasne i wektory wlasne macierzy ukladu, skonstruuj roz‘
wiazanie ogólne:




‘
!
!
3 2 4
−7 0 6
−2 1
6 −3



x̄, x̄0 =
x̄0 =
x̄, x̄0 = 
 2 0 2  x̄, x̄0 =  0 5 0  x̄.
2
1
−4 3
4 2 3
6 0 2
Zadanie 97. Obliczajac wartości wlasne i wektory wlasne macierzy ukladu, rozwiaż naste‘
‘
‘
pujace zagadnienia poczatkowe
‘
‘
x̄0 =
1 1
4 1
!
x̄,
x̄(0) =
2
3
!


2
1 −3

0
0 
x̄ =  0 −1
 x̄,
0 −1 −2
;
Zespolone wartości wlasne


−2


x̄(0) =  0 
.
3
Zadanie 98. Obliczajac wartości wlasne i wektory wlasne macierzy ukladu, skonstruuj roz‘
wiazanie ogólne:




‘
!
1 0
1
1 −5 0
2
−3




x̄, x̄0 =  1 −3 0  x̄, x̄0 =  0 1 −1  x̄.
x̄0 =
−1 −1
0
0 1
−2 0 −1
Zadanie 99. Obliczajac wartości wlasne i wektory wlasne macierzy ukladu, rozwiaż
‘
‘
pujace zagadnienia poczatkowe



‘
‘
0 2 0
0
!
!


 −2 0 0
−2
3
0
1


x̄0 =
x̄, x̄(0) =
;
 x̄, x̄(0) = 
x̄0 = 


 0 0 0 −3 
4 −1
5
0 0 3
0
naste‘
1
1
1
0
Zadanie
100. Wyznacz
wszystkie wektory x̄0 takie, że rozwiazanie zagadnienia


‘
1
0 −2

0
1
0 
x̄0 = 
jest okresowa funkcja t.
 x̄, x̄(0) = x̄0
‘
‘
1 −1 −1



.

Wielokrotne pierwiastki równania charakterystycznego
Zadanie 101. Znajdź rozwiazania nastepujacych zagadnień

‘
‘
‘




3 0
−1 1 2
1
 1 3




x̄0 = 
x̄0 = 
 −1 1 1  x̄, x̄(0) =  0  ;
 0 0
−2 1 3
1
0 0

0
0
3
2


0
0
0
3



 x̄,



x̄(0) = 



λ1 0 0
e λ1 t 0
0




At
Zadanie 102. Niech A =  0 λ2 0 . Udwodnij, że e =  0 eλ2 t 0 
.
λ3 t
0 0 λ3
0
0 e



λ 1 0
1 t

λt 
At
λ
0
1
Zadanie 103. Niech A = 
=
e
.
Udwodnij,
że
e


 0 1
0 0
0 0 λ


Zadanie 104. Oblicz eAt dla macierzy A równej 

!

2
0
0
0
1
2
0
0
0
1
2
0
0
0
1
2

1 2
t
2
1
1
1
1



.


t 
.
1


.

0 1
Zadanie 105. Niech A =
. Uzasadnij, że A2 = −I i wykorzystujac ten fakt
−1 0
‘
!
cos t sin t
udowodnij, że eAt =
.
− sin t cos t
Macierz fundamentalna
Zadanie 106. Oblicz eAt




1 −1 −1
1
1
1



3
1  oraz  2
1 −1 
dla macierzy A równej  1
.
−3
1 −1
0 −1
1
Zadanie 107. Znajdź macierz A, dla której eAt


e2t − et
et − e2t
2e2t − et

2t
t
2t
t
2e − e
et − e2t 
= e −e
.
2t
t
2t
t
t
2t
3e − 3e 3e − 3e 3e − 2e
Zadanie 108. Zalóżmy, że φ̄j (t) (j = 1, 2, ..., n) sa rozwiazaniami zagadnienia x̄0 = Ax̄,
‘
‘
x̄(0) = ēi . Udowodnij, że eAt = (φ̄1 (t), ..., φ̄n (t)).
Równania niejednorodne
zania nastepuja
Zadanie 109.
cych zagadnień:
!
!
Znadź rozwia
‘ t
‘ ! ‘
4e cos t
0
4
5
0
;
x̄(0) =
x̄ +
,
a) x̄ =
0
0
−2 −2
!
!
!
3 −4
1
1
0
t
b) x̄ =
x̄ +
e,
x̄(0) =
;
1 −1
1
1
!
!
!
0
0 1
f1 (t)
0
x̄ +
;
c) x̄ =
,
x̄(0) =
0
−1 0
f2 (t)
Wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych
‘
Zadanie 110. Sprawdź, że u(x, y) = f (x)g(y) jest rozwiazaniem równania różniczkowego
‘
czastkowego uuxy = ux uy dla dowolnych różniczkowalnych funkcji f, g jednej zmiennej.
‘
Zadanie 111. Sprawdź, że un (x, y) = sin nx sinh ny jest rozwiazaniem równania uxx +uyy =
‘
0 dla każdego n > 0.
Zadanie 112. Znajdź rozwiazania ogólne u = u(x, y) nastepujacych równań:
‘
‘
‘
uyy = 6y,
ux = 1,
uy = 2xy,
uxy = 1,
ux + y = 0,
uxxyy = 0.
Zadanie 113. Znajdź funkcje u = u(x, y) spelniajaca podane równanie różniczkowe czastkowe
‘
‘ ‘
‘
i warunki dodatkowe:
a) uxx = 6x;
u(0, y) = y, u(1, y) = y 2 + 1
u(x, 1) = x2 , u(x, e) = 1.
b) yuyy + uy = 0,
Zadanie 114. Znaleźć rozwiaznie ogólne równania 3uy +uxy = 0 (Wsk. Podstawić v = uy .).
‘
Czy istnieje jedyne rozwiazanie przy dodatkowych warunkach u(x, 0) = e−3x , uy (x, 0) = 0.
‘
Równania pierwszego rzedu
‘
Zadanie 115. Rozwiazać równanie 2ut + 3ux = 0 przy dodatkowym warunku u = sin x dla
‘
t = 0.
Zadanie 116. Rozwiazać równanie (1 + x2 )ux + uy = 0. Naszkicować charakterystyki.
‘
√
Zadanie 117. Rozwiazać równanie 1 − x2 ux + uy = 0 przy warunku u(0, y) = y.
‘
Zadanie 118. Rozwiazać aux + buy + cu = 0, gdzie a, b, c sa stalymi. Wsk. Szukać
‘
‘
rozwiazania w postaci u(x, y) = v(x, y)ecx .
‘
Zadanie 119. Rozwiazać równanie ux + uy + u = 0 przy warunku u(x, 0) = 0.
‘
Zadanie 120. Znaleźć rozwiazanie ogólne = u(x, y) równania xux + yuy = 0.
‘
Równanie falowe na prostej
Zadanie 121. Rozwiaż zagadnienie: utt = c2 uxx , u(x, 0) = ex , ut (x, 0) = sin x.
‘
Zadanie 122. Rozwiaż zagadnienie: utt = c2 uxx , u(x, 0) = log(1 + x2 ), ut (x, 0) = 4 + x.
‘
Zadanie 123. Mloteczek o średnicy 2a uderzyl w środek struny fortepianowej o napieciu
‘
T , gestości ρ i dlugości `. Pchla siedzi na tej strunie w odleglości `/4 od jednego z końców.
‘
(Zakladamy, że a < `/4; w przeciwnym wypadku – biedna pchla!). Ile czasu minie od
momentu uderzenia, do momentu gdy pchla odczuje pierwsze drgania? (Wsk.: równanie
drgajacej struny: ρutt = T uxx .)
‘
Zadanie 124. Zalóżmy, że ϕ i ψ sa funkcjami nieparzystymi wzgledem x. Udowodnij,
‘
‘
że rozwiazanie równania falowego u(x, t) z tymi warunkami poczatkowymi jest też funkcja
‘
‘
‘
nieparzysta wzgledem x dla każdego t.
‘
‘
Zadanie 125. Rozwiaż zagadnienie
‘
uxx − 3uxt − 4utt = 0, u(x, 0) = x2 , ut (x, 0) = ex .
(Wsk. Zapisz operator po lewej stronie równania w postaci (...)(...), podobnie jak to bylo
zrobione na wykladzie).
Zadanie 126. Rozwiaż zagadnienie
‘
uxx + uxt − 20utt = 0, u(x, 0) = ϕ(x),
ut (x, 0) = ψ(x).
Funkcje wlasne i wartości wlasne
Zadanie 127. Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne z warunkami brzegowymi:
d2 u
u(0) = 0, u(L) = 0.
+ u = 0,
dx2
Oczywiście funkcja u(x) ≡ 0 jest rozwiazaniem tego zagadnienia. Czy jest to jedyne
‘
rozwiazanie? Czy odpowiedź zależy od L?
‘
Zadanie 128. Dla jakich wartości λ zagadnienie y 00 + λy = 0, y(0) = y(2π), y 0 (0) =
y 0 (2π) ma nietrywialne rozwiazanie?
‘
Zadanie 129. Rozwiaż zagadnienie brzegowe
‘
u00 = 0 dla 0 < x < 1, u0 (0) + ku(0) = 0, u0 (1) ± ku(1) = 0
dla każdej stalej k. Rozważaj przypadki + i − osobno. Dlaczego przypadek z k = 2 jest
wyróżniony?
Zadanie 130. Wyznacz graficznie wartości wlasne zagadnienia
−X 00 = λX,
X(0) = 0, X 0 (1) + aX(1) = 0
dla pewnej stalej a 6= 0.
Zadanie 131. Znajdź wartości wlasne i odpowiadajace im funkcje wlasne zagadnienia
‘
d4 X
X(0) = X(1) = X 00 (0) = X 00 (1) = 0.
= λX,
dx4
Zadanie 132. Znajdź wartości wlasne i odpowiadajace im funkcje wlasne zagadnienia
‘
d4 X
= λX,
X(0) = X 0 (0) = X(1) = X 0 (1) = 0.
dx4
Szeregi Fouriera
Zadanie 133. Znaleźć szereg Fouriera funkcji
f (x) = x na (−π, π)
f (x) = |x| na (−π, π)
f (x) = ex na (0, 2π)
f (x) = x2 na (0, 2π)
)
f (x) = |x| na (− π2 , 3π
2
f (x) = ex na (−π, π)
Metoda Fouriera rozdzielania zmiennych
Zadanie 134. Skonstruuj rozwiazanie nastepujacych zagadnień metoda rozdzielania zmien‘
‘
‘
‘
nych: a) ut = uy , u(0, y) = ey + e−2y ;
b) ut = uy + u, u(0, y) = 2e−y − e2y .
Zadanie 135. Rozdzielajac zmienne rozwiaż równanie tut = uxx + 2u z warunkami brze‘
‘
gowymi u(0, t) = u(π, t) = 0. Udowodnij, że równanie to ma nieskończenie wiele rozwiazań
‘
spelniajacych warunek poczatkowy u(x, 0) = 0. Tak wiec, w tym przypadku brak jest jed‘
‘
‘
noznaczności rozwiazań!
‘
Zadanie 136. Rozwiaż równanie dyfuzji ut = uxx , 0 < x < 1, z mieszanym warunkiem
‘
brzegowym: u(0, t) = ux (1, t) = 0 i warunkiem poczatkowym ϕ(x).
‘
Zadanie 137. Rozważamy równanie falowe utt = uxx , 0 < x < 1, z mieszanym warunkiem
brzegowym: ux (0, t) = u(1, t) = 0. Znajdź funkcje wlasne i wartości wlasne, oraz zapisz
rozwiazanie w postaci szeregu.
‘
Zadanie 138. Rozważamy równanie dyfuzji ut = uxx , −1 < x < 1, z okresowymi warunkami
brzegowymi:
u(−1, t) = u(1, t) oraz ux (−1, t) = ux (1, t).
Udowodnij, że rozwiazanie ma nastepujaca postać
‘
‘ ‘
‘
’
“
∞
X
1
2 2
u(x, t) = a0 +
an cos nπx + bn sin nπx e−n π t .
2
n=1
Zadanie 139. Znajdź rozwiazanie równania uxx + uyy = 0 w prostokacie 0 < x < a,
‘
‘
0 < y < b spelniajace nastepujace warunki brzegowe:
‘
‘
‘
ux = 0 dla x = a,
ux = −a dla x = 0,
uy = b dla y = 0,
uy = 0 dla y = b.
(Wsk. To zadanie można zrobić na dwa sposoby: metoda Fouriera rozdzielania zmiennych
‘
lub można szukać rozwiazania w postaci wielomianu.)
‘
Zadanie 140. Znajdź rozwiazanie zagadnienia
‘
u(x, 0) = cos x, u(0, t) = u(1, t) = 0.
ut = uxx + u, x ∈ (0, 1);
Jednoznaczność rozwiazań
‘
Zadanie 141. Udowodnij, że energia rozwiazania struny z tlumieniem
‘
utt − uxx + rut = 0, gdzie r > 0,
maleje w czasie.
Zadanie 142. Udowodnij, metoda energetyczna, jednoznaczność rozwiazań dla równania
‘
‘
‘
dyfuzji z warunkami typu Neumanna:
ut − kuxx = f (x, t) dla 0 < x < `, t > 0
u(x, 0) = φ(x), ux (0, t) = g(t), ux (`, t) = h(t)
(f, φ, g, h sa danymi funkcjami).
‘
Klasówka nr 1, Wersja A
Zadanie 143. Czy prawdziwe jest stwierdzenie: Zagadnienie ty 0 = 3y, y(0) = 0 ma co
najmniej dwa rozwiazania.
‘
TAK — NIE (niepotrzebne skreślić)
Jeżeli TAK, to podaj te rozwiazania.
‘
Jeżeli NIE, to podaj jedno rozwiazanie i udowodnij, że nie ma innych rozwiazań.
‘
‘
2
0
2
Zadanie 144. Rozważamy zagadnienie: y + t y = 4t , y(0) = 3. Podaj trzy pierwsze
iteracje Picarda tego zagadnienia:
y0 (t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y1 (t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y2 (t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ciag {yn (t)}∞
n=1 kolejnych iteracji Picarda dla tego zagadnienia zbiega do . . . . . . . . . . . . .
‘
Zadanie 145. Rozważamy rodzine krzywych y = Cex gdzie C jest dowolna stala.
‘
‘
‘
Równaniem różniczkowym tej rodziny jest: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Równaniem różniczkowym rodziny trajektorii ortogonalnych jest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rodzina trajektorii ortogonalnych jest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
‘
Zadanie 146. Plotka rozprzestrzenia sie w populacji liczacej 1000 osób z predkościa pro‘
‘
‘
‘
porcjonalna do iloczynu liczby osób, które już slyszly te plotke oraz liczby osób, ktore jeszcze
‘
‘
‘
nie slyszaly tej plotki. Zalóżmy, że 10 osób rozprzestrzenia plotke i po jednym dniu wie o
‘
niej już 20 osób.
Zagadnieniem Cauchy’ego opisujacym rozprzestrzenianie sie plotki jest . . . . . . . . . . . . . . . .
‘
‘
Rozwiazaniem tego zagadnienia jest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
‘
2
Zadanie 147. Czy prawdziwe jest stwierdzenie: Zagadnienie ddt2y − y = 0, y(0) = 0, ma
dokladnie jedno rozwiazanie na odcinku [0, ∞).
‘
TAK — NIE (niepotrzebne skreślić)
Jeżeli TAK, to podaj to rozwiazanie i udowodnij, że nie ma innych rozwiazań.
‘
‘
Jeżeli NIE, to podaj co najmniej dwa różne rozwiazania.
‘
Zadanie 148. 5 Latwo zauważyć, że rozwiazaniem zagadnienia Cauchy’ego
‘
y 0 = 2y − 2, y(0) = 1
jest funkcja y(t) ≡ 1. Udowodnij, że nie ma innych rozwiazań dla t ≥ 0.
‘
DOWÓD.: Zalóżmy, że mamy dwa rozwiazania tego zagadnienia y1 (t) i y2 (t). Wtedy . . . . .
‘
Zadanie 149. Zakladamy, że y(t) jest rozwiazaniem zagadnienia
‘
0
y = 4t − 2y, y(0) = 2.
Oznaczmy przez yk , k = 0, 1, 2, 3, ..., aproksymacje rozwiazania dana przez schemat Eulera
‘
‘
‘
z krokiem h = 0, 1 dla tk = t0 + kh. Wypelnij tabelke
‘
y(t0 )
y1
y(t1 )
y2
y(t2 )
y0
Zadanie 150. Równanie Ricattiego
y 0 = −2 − y + y 2 ,
ma jedno rozwiazanie y1 (t) = c, gdzie c jest pewna stala. Wyznacz c, a nastepnie skonstruuj
‘
‘
‘
‘
rozwiazanie ogólne.
‘
Klasówka nr 1, Wersja B
√
Zadanie 151. Czy prawdziwe jest stwierdzenie: Zagadnienie y 0 = y, y(0) = 0 nie ma
√
rozwiazań ponieważ pochodna czastkowa wzgledem y funkcji f (y, t) = y nie jest ciagla dla
‘
‘
‘
‘
y = 0.
TAK — NIE (niepotrzebne skreślić)
Jeżeli TAK, to dla jakich warunków poczatkowych y(0) mamy co najmniej jedno rozwiazanie.
‘
‘
Jeżeli NIE, to podaj co najmniej jedno rozwiazanie
‘
0
Zadanie 152. Rozważamy zagadnienie: y + ty = 4t, y(0) = 3. Podaj trzy pierwsze iteracje
Picarda tego zagadnienia:
y0 (t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y1 (t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y2 (t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∞
kolejnych iteracji Picarda dla tego zagadnienia zbiega do . . . . . . . . . . . . .
Ciag {yn (t)}n=1
‘
Zadanie 153. Rozważamy rodzine krzywych y = Cx4 gdzie C jest dowolna stala.
‘
‘
‘
Równaniem różniczkowym tej rodziny jest: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Równaniem różniczkowym rodziny trajektorii ortogonalnych jest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rodzina trajektorii ortogonalnych jest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
‘
2
Zadanie 154. Czy prawdziwe jest stwierdzenie: Zagadnienie ddt2y + y = 0, y(0) = 1, ma
dokladnie jedno rozwiazanie na odcinku [0, ∞).
‘
TAK — NIE (niepotrzebne skreślić)
Jeżeli TAK, to podaj to rozwiazanie i udowodnij, że nie ma innych rozwiazań.
‘
‘
Jeżeli NIE, to podaj co najmniej dwa różne rozwiazania.
‘
Zadanie 155. Latwo zauważyć, że rozwiazaniem zagadnienia Cauchy’ego
‘
y 0 = 2ty − 2t, y(0) = 1
jest funkcja y(t) ≡ 1. Udowodnij, że nie ma innych rozwiazań dla t ≥ 0.
‘
DOWÓD.: Zalóżmy, że mamy dwa rozwiazania tego zagadnienia y1 (t) i y2 (t). Wtedy . . . . .
‘
Zadanie 156. Zakladamy, że y(t) jest rozwiazaniem zagadnienia
‘
y 0 = 2t − y,
y(0) = 0.
Oznaczmy przez yk , k = 0, 1, 2, 3, ..., aproksymacje rozwiazania dana przez schemat Eulera
‘
‘
‘
z krokiem h = 0, 1 dla tk = t0 + kh. Wypelnij tabelke
‘
y(t0 )
y1
y(t1 )
y2
y(t2 )
y0
Zadanie 157. Równanie Ricattiego
y 0 = 1 − t − y + ty 2 ,
ma jedno rozwiazanie y1 (t) = c, gdzie c jest pewna stala. Wyznacz c, a nastepnie skonstruuj
‘
‘
‘
‘
rozwiazanie ogólne.
‘
Egzamin, termin zerowy
Zadanie 158. Rozważamy równanie różniczkowe drugiego rzedu postaci
‘
y 00 + ay 0 + y = 0,
gdzie a ∈ IR jest parametrem.
i) Dla jakich wartości parametru a każde rozwiazanie tego równania spelnia
‘
lim y(t) = 0.
t→∞
ii) Dla jakich wartości parametru a każde rozwiazanie tego równania jest funkcja okresowa?
‘
‘
‘
Zadanie 159. Wyznacz wszystkie rozwiazania y = y(t) zagadnienia
‘
−y 00 = 4y
y(0) = 0
y 0 (L) = 0
w zależności od parametru L ∈ IR.
Zadanie 160. Wyznacz macierz A taka, że
‘
A = Exp
0 100
−100
0
!
.
Uwaga: Dla dowolnej macierzy B wprowadzamy oznaczenie Exp B = eB .
Zadanie 161. Skonstruuj rozwiazanie u = u(x, t) równania
‘
ut = uxx + u,
0 < x < 1,
z mieszanym warunkiem brzegowym: u(0, t) = ux (1, t) = 0
i warunkiem poczatkowym: ϕ(x).
‘
Egzamin, pierwszy termin
Zadanie 162. Znajdź rozwiazanie y = y(t) zagadnienia
‘
y 00 + y = t sin t
y(0) = 1
y 0 (0) = 2.
Zadanie 163. Wyznacz wszystkie rozwiazania zagadnienia
‘
y 00 − 2y 0 + (1 + a)y = 0
y(0) = 0
y(1) = 0
w zależności od parametru a.
Zadanie 164. Wyznacz macierz A taka, że
‘
A = Exp
2 2
0 2
!
.
Uwaga: Dla dowolnej macierzy B wprowadziliśmy oznaczenie: Exp B = eB .
Zadanie 165. Znajdź rozwiazanie zagadnienia
‘
1
y2
√
3
y(1) =
2.
ty 0 + y =
Zadanie 166. Znajdź funkcje u = u(x, t) bedaca rozwiazaniem równania
‘
‘ ‘ ‘
‘
uxx − 3uxt − 4utt = 0
i spelniajaca warunki poczatkowe
‘
‘ ‘
u(x, 0) = x2 ,
ut (x, 0) = 0.