Ćwiczenia 9 - Rozkłady Choleskiego LLT , LDLT , LL i MDM

Ćwiczenia 9 - Rozkłady Choleskiego LLT , LDLT , LL∗ i M DM ∗
1. Stosując algorytm Choleskiego znajdź rozkład macierzy na czynniki LLT .





1
1 −2
3
1
4 −2
6
 −1 

 −2
5
−8
1



 −2
5 −5 
a) A = 
 3 −8 17 −7  b =  3  b) A =
6 −5 26
1
1 −7 18
−4

W oparciu o te rozkłady wyznacz rozkład A = LDLT . Dla punktu a) rozwiąż układ równań
Ax = b.
2. Stosując algorytm Choleskiego znajdź rozkład macierzy na czynniki LL∗ .

4
4i
−6i

40
−6 − 36i 
a) A = −4i
6i −6 + 36i
81


b) A =






1 2
0
0
0
2 8 −6
2
0
0 −6 18
−9
3
0 2 −9
21
−2 − 8i
0 0
3 −2 + 8i
30







3. Stosując metodę Choleskiego LLT rozwiąż układ równań Ax = b, gdzie
a)
2 4 −2 2
0

 4 12

8
4
4 
 b=

A=

 −2

8 40 2
4 
2 4
2 11
−18




b)
1
 1
A=
 1
1

0
1 1 1


−4 
5 5 5 

b=


−4 
5 14 14
−20
5 14 30



4. Napisz funkcję w C++, która rozkłada macierz rzeczywistą A na LLT .
5. Znaleźć rozkład LL∗ macierzy A i na podstawie tego rozkładu wyznaczyć rozkład M DM ∗
1 2 −1 −2
4 −4i 4i 2
 2 13


1
5 
4i
5 −2 3i 

a) A = 
, b) A = 

 −1

1
6
3
−4i −2 17 9 
−2 5
3 15
2 −3i
9 27




6. Stosując algorytm Choleskiego bez pierwiastków kwadratowych znajdź rozkład macierzy
2 4 6 8
 4

9 15 20 


a) A = 
 6 15 28 40  b = 
8 20 40 66



4
2
4
4 −4
 4

9 
10
10
−10 
 b) A = 
 b=




18
4
10 13 −4
34
−4 −10 −4
26




4
12 
,
6 
4
a następnie w oparciu o ten rozkład rozwiąż układ równań Ax = b.
7. Stosując metodę Choleskiego bez pierwiastków kwadratowych rozwiąż układ równań
2x1 + 4x2 − 4x3 = 6
4x1 + 10x2 − 4x3 = 4

−4x1 − 4x2 + 18x3 = −26


