Ćwiczenia 16 - Metoda Choleskiego (Rozkład LL* i MDM*.)

Ćwiczenia 16 - Metoda Choleskiego
(Rozkład LL* i MDM*.)
5. Znaleźć rozkład LL∗ macierzy A i na podstawie tego rozkładu wyznaczyć rozkład M DM ∗

1. Stosując algorytm Choleskiego znajdź rozkład macierzy na czynniki
LL∗ .

1 −2
3
1
 −2
5 −8
1

a) A = 
 3 −8 17 −7
1
1 −7
18




1
4 −2
6

 −1 




5 −5 
 b=
 b) A =  −2


 3 

6 −5
−4



4
4i
−6i

40
−6 − 36i 
c) A =  −4i

6i −6 + 36i
81



d) A = 



Dla punktu a) rozwiąż układ równań Ax = b.
2. Stosując metodę Choleskiego rozwiąż układ równań Ax = b, gdzie
a)
2
4 −2 2
12
8 4
8 40 2
2 4
2 11

b)
 4

A=
 −2


A=


1
1
1
1
1 1 1
5 5 5
5 14 14
5 14 30







 b=







 b=


0
4
4
−18
0
−4
−4
−20










3. Napisz funkcję w C++, która rozkłada macierz rzeczywistą A na LL∗ .
4. Podaj warunek konieczny i dostateczny na to, aby macierz hermitowska A była dodatnio określona
A=
"
a b
b a
#
164
, a ∈ R b ∈ C.
2 −1 −2
13
1
5 


1
6
3 
−2 5
3 15

6. Stosując algorytm Choleskiego bez pierwiastków kwadratowych znajdź
rozkład macierzy na czynniki M DM ∗ .
26
1 2
0
0
0
2 8 −6
2
0
0 −6 18
−9
3
0 2 −9
21
−2 − 8i
0 0
3 −2 + 8i
30
1
 2

A=
 −1









2

4 6
10 20 

6 20 52

A= 4
7. Stosując algorytm Choleskiego bez pierwiastków kwadratowych znajdź
rozkład macierzy na czynniki M DM ∗ .

2
4 6 8
9 15 20
15 28 40
8 20 40 66
 4

A=
 6





w oparciu o ten rozkład rozwiąż układ równań Ax = [4, 9, 18, 34]T .
8. Stosując algorytm Choleskiego bez pierwiastków kwadratowych znajdź
rozkład macierzy na czynniki M DM ∗ .


A=


2
4
4 −4
4
10 10 −10 


4
10 13 −4 
−4 −10 −4
26

w oparciu o ten rozkład rozwiąż układ równań Ax = [4, 12, 6, 4]T .
9. Stosując metodę Choleskiego bez pierwiastków kwadratowych rozwiąż
układ równań


 2x1 + 4x2 − 4x3 = 6
4x1 + 10x2 − 4x3 = 4


−4x1 − 4x2 + 18x3 = −26
165