Powtórzenie wiadomości -Graniastosłupy i Ostrosłupy

GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY – zadania maturalne.
WZORY NA OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI CAŁKOWITEJ GRANIASTOSŁUPÓW
Pole powierzchni
Pole podstawy
Objętość
całkowitej
GRANIASTOSŁUP
23
sześcian
prostopadłościan
graniastosłup
prawidłowy
czworokątny
graniastosłup
prawidłowy
trójkątny
graniastosłup
prawidłowy
sześciokątny
<= = >
<= = > ∙ D
@=>
@ = >DB
<B = 6>?
<B = 2(>D + >B + DB)
<= = >?
@ = >? ∙ ℎ
<B = 2>? + 4>ℎ
<= =
?
>? √3
4
3>? √3
<= =
2
4 = 23 ∙ 7
A
@=
>? √3
∙ℎ
4
3>? √3
@=
∙ℎ
2
28 = 923 + 2;
<B =
>? √3
+ 3>ℎ
2
<B = 3>? √3 + 6>ℎ
Oznaczenia : a,b,c – długości krawędzi, h - wysokość graniastosłupa, Pp – pole podstawy, Pb – pole powierzchni bocznej, Pc – pole
powierzchni całkowitej, V - objętość.
1. Wysokość prostopadłościanu jest równa 16 cm, a krawędzie podstawy mają długość
8cm i 6cm. Oblicz tangens nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy.
2. Wyznacz objętość i pole całkowite sześcianu, którego przekątna ma długość 9 cm.
3. Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10
i tworzy z podstawą kąt o mierze 30°. Wyznacz objętość i pole powierzchni całkowitej
tego graniastosłupa.
4. Pojemności dwóch pudeł sześciennych różnią się o 91 l. Długości ich krawędzi różnią
się o 10 cm. Wyznacz pojemność każdego z pudeł.
5. Wysokość prostopadłościanu jest równa 4. Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej
do płaszczyzny podstawy jest równy 60°, a kąt nachylenia przekątnej
prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy jest równy 45°. Znajdź objętość bryły.
6. Pudełko ma kształt graniastosłupa prawidłowego prostokątnego o podstawie
trójkątnej. Na podstawy pudełka zużyto 32√3BW? tektury, a na powierzchnię boczną
240BW? . Oblicz objętość tego pudełka.
7. Wyznacz objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego, którego podstawą jest
romb o przekątnych 6cm i 8cm, a przekątna ściany bocznej ma długość 11 cm.
8. Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt, którego jeden bok wynosi √2.
Przekątna graniastosłupa ma długość 2√3 i jest nachylona do płaszczyzny pod kątem
60° . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. [@ = 3√2, < = 6 + 8√2]
9. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej
długości 6 cm i kącie ostrym przy niej leżącym o mierze 30 stopni. Przekątna ściany
bocznej o najmniejszym polu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 45 stopni.
Oblicz objętość graniastosłupa.
[V=36cm3]
MATEMATYKA
mgr Dariusz Winkhof
GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY – zadania maturalne.
WZORY NA OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI CAŁKOWITEJ OSTROSŁUPÓW
Pole powierzchni
Pole podstawy
Objętość
całkowitej
OSTROSŁUP
czworościan
foremny
ostrosłup
prawidłowy
trójkątny
ostrosłup
prawidłowy
czworokątny
23
<= =
>? √3
4
<= =
>? √3
4
<= = >?
4=
\
23 ∙ 7
]
@=
@=
>A √2
12
>? √3
ℎ
12
1
@ = >? ℎ
3
28 = 23 + 2;
<B = >? √3
<B =
>? √3 3>a
+
4
2
<B = >? + 2>a
Oznaczenia : a – długość krawędzi podstawy, h - wysokość ostrosłupa, Pp – pole podstawy, Pb – pole powierzchni bocznej, Pc – pole
powierzchni całkowitej, V - objętość, l – długość wysokości ściany bocznej.
1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość
4√2 BW, a kąt między krawędzią boczną ostrosłupa i jego wysokością ma miarę
30°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
2. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy > = 18 i kącie
nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy 60°. Wyznacz objętość
i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
[@ = 486√3, <D = 81√39]
3. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości
> = 8. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem c, takim, że
?
Bdec = A. Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej. [@ = f?g√fh
, <D = 32√14]
A
4. W pewnym ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają taką
samą długość, równą 3. Wyznacz wysokość ostrosłupa.
[i = √6]
5. Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 4, a krawędź boczna
jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz długość krawędzi
podstawy ostrosłupa.
[12]
6. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym pole przekroju płaszczyzną
przechodzącą przez jego wysokość oraz dwie krawędzie boczne jest dwukrotnie
większe od pola podstawy i wynosi 6√3. Oblicz odległość spodka wysokości
ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.
MATEMATYKA
[
A√j?
fj
]
mgr Dariusz Winkhof