Trygonometria

Stereometria - Zadania optymalizacyjne
1. Z prostokątnego arkusza papieru o wymiarach 50 cm na 70 cm wycinamy w narożach cztery
jednakowe kwadraty. Z pozostałej części papieru sklejamy otwarte prostopadłościenne
pudełko. Wyznacz wymiary pudełka tak, aby pole jego powierzchni bocznej było największe.
2. Wśród prostopadłościanów, w których stosunek długości krawędzi podstawy wynosi 2:3, a
suma długości wszystkich krawędzi jest równa 152 cm, znajdź ten o największym polu
powierzchni całkowitej. Oblicz objętość znalezionego prostopadłościanu.
3. Rozważmy te ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma długości krawędzi
podstawy i wysokości jest równa 8 cm. Spośród tych ostrosłupów wybrano taki, że pole
przekroju płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i krawędź boczną ostrosłupa ,
jest największe.
a) Znajdź długość krawędzi postawy i wysokość ostrosłupa.
b) Oblicz objętość tego ostrosłupa.
4. Rozważmy te walce, które powstają z obrotu prostokąta o obwodzie 60 cm wokół jednego z
boków. Wyznacz długości boków prostokąta wiedząc, żę pole powierzchni bocznej
otrzymanej bryły jest największe.
5. Wśród stożków o sumie wysokości i tworzącej równej 6 dm znajdź ten, który ma największą
objętość.
6. Jaką największą objętość może mieć bryła, którą otrzymamy w wyniku obrotu trójkąta
równoramiennego o obwodzie 6 wokół podstawy?
7. Trapez równoramienny obracamy wokół dłuższej podstawy. Obwód trapezu wynosi 20, a
dłuższa podstawa ma długość 8. Jakie długości powinny mieć pozostałe boki trapezu, aby
bryła otrzymana w wyniku obrotu miała największą objętość?
8. Kwadrat o boku długości π rozcięto na dwa prostokąty, które po zwinięciu tworzą
powierzchnie boczne walców o wysokości π. Jak należy dokonać cięcia, aby suma objętości
tych walców była najmniejsza?
9. Wyznacz promień podstawy oraz wysokość walca o największym polu powierzchni bocznej
wpisanego w kulę o promieniu R.