Szkice rozwiązań – Zestaw I

Szkice rozwiązań – Zestaw I
Zadanie 1. Obliczamy współczynniki szeregu Fouriera funkcji f :
1 Z π x −inx
(−1)n+1
cn =
e
dx =
2π −π 2
2in
dla n 6= 0, c0 = 0.
Widmo to ciąg postaci
powyżej.
n
n
,c
2π n
o
n∈Z
, gdzie współczynniki cn zostały wyznaczone
n
Widmo amplitudowe to ciąg postaci


o
n
, |cn |
2π
1
|cn | =  2|n|
0
Widmo fazowe ma postać
θn =

π


2
−π
 2


0
n
n
, θn
2π
o
n∈Z
n∈Z
, gdzie
dla n 6= 0,
dla n = 0.
, gdzie
dla n dodatnich nieparzystych lub ujemnych parzystych,
dla n dodatnich parzystych lub ujemnych nieparzystych,
dla n = 0.
Zadanie 2.
1. Zapisujemy tożsamość Parsevala:
2
1
8
·
4
π
∞
8 X
1
1 Zπ
x
+ 2
=
cos2 dx.
2
2
π n=1 (1 − 4n )
2π −π
2
Obliczamy
x Z π cos x + 1
cos
=
dx = π.
2
2
−π
−π
Z
A zatem
π
2
∞
X
1
π2
=
− 2.
2 2
16
n=1 (1 − 4n )
2. f jest ciągła na R, ma więc wahanie ograniczone na dowolnie wybranym otoczeniu każdego punktu x ∈ R. Zachodzi zatem zbieżność
SN (f, x) → f (x) ∀x∈R
i f (x) = cos x2 dla x ∈ [−π, π].
3. W powyższej równości podstawiamy x = 0 i x = π.
1
1
1
1
2
1
Zadanie 3. Funkcje f1 (t) = a2 +t
2 i f2 (t) = b2 +t2 należą do L (R ) ∩ L (R ). Na mocy
twierdzenia Plancherela ich transformaty postaci f (ξ) = πa e−2πa|ξ| należą do L2 (R1 ) i
zachodzi równość
hf1 , f2 iL2 = hfˆ, q̂iL2 ,
czyli
Z
0
∞
dt
1
1 ˆ
π 2 Z −2πa|ξ| −2πb|ξ|
2
2
=
hf
,
f
i
=
h
f
,
q̂i
=
e
e
dξ =
1 2 L
L
(a2 + t2 )(b2 + t2 ) 2
2
2ab
π 2 Z ∞ −2πξ(a+b)
π
=
e
dξ =
.
ab 0
2ab(a + b)
Zadanie 4.
Xn =
−1
−1
1 NX
1 NX
−nk
−nk
xk ωN
=
(k + 1)(k + 2)ωN
.
N k=0
N k=0
Wyznaczmy sumę ciągu postaci (k + 1)(k + 2)q k , gdzie q 6= 1.
N
−1
X
k=0
k
(k + 1)(k + 2)q =
N
−1
X
k=0
N +1
!00
q
k+2
− qN
= q
1−q
21
!00
=
!0
2q − q 2 − (N + 2)q
+ (N + 1)q N +2
=
=
(1 − q)2
(2 − (N + 2)(N + 1)q N )(1 − q)2 + 2(2q − q 2 − (N + 2)q N +1 + (N + 1)q N +2 )
.
=
(1 − q)3
−n
−nN
Podstawiamy w miejsce q wyrażenie ωN
i korzystamy z własności, że ωN
= 1.
Otrzymujemy, że
−n
ωN
(N + 1) − (N + 3)
.
Xn =
−n 2
(1 − ωN
)