Szereg i transformata Fouriera

SZEREG FOURIERA
x(t), t ∈ R – sygnał okresowy o okresie T
Przebieg x(t) przedstawiamy w postaci nieskończonej sumy składowych harmonicznych
o postaci:
xn (t ) = An cos (ω nt + ϕ n ) = An cos ( 2π f nt + ϕ n ) , n = 1,2,...
gdzie:
An – amplituda n-tej składowej harmonicznej
fn – częstotliwość n-tej składowej harmonicznej ( ω n = 2π f n - pulsacja)
ϕn – faza początkowa n-tej składowej harmonicznej
*
Rozwijając ( ) otrzymujemy
xn ( t ) = an cos ( 2π f nt ) + bn sin ( 2π f nt ) , an = An cos (ϕn ) , bn = − An sin (ϕn )
b 
An = an2 + bn2 , ϕ n = − arctg  n 
 an 
Szereg trygonometryczny Fouriera
Trygonometryczny szereg Fouriera dla przebiegów okresowych ma postać:
∞
x ( t ) = A0 + ∑ An cos ( nω 0t + ϕ n ), ω n = nω 0
n =1
lub równoważnie:
x (t ) =
a0 ∞
+ ∑ an cos ( nω0t ) + bn sin ( nω0t ) 
2 n=1 
T 2
an =
2
x ( t ) cos ( nω 0t ) dt - współczynniki widma parzystego
T −T∫ 2
bn =
2
x ( t ) sin ( nω0t ) dt - współczynniki widma nieparzystego
T −T∫ 2
T 2
Sygnał parzysty ma zawsze widmo parzyste (bn=0), natomiast sygnał nieparzysty – widmo
nieparzyste (an=0).
Szereg zespolony Fouriera
e jx + e − jx
,
Wzory Eulera: cos ( x ) =
2
x (t ) =
∞
∑ce
n =−∞
n
jnω0t
e jx − e − jx
sin ( x ) =
2j
T 2
,
1
cn = ∫ x ( t ) e− jnω0t dt cn- amplituda zespolona
T −T 2
*
( )
Pomiędzy szeregiem trygonometrycznym a zespolonym zachodzą związki:
an = cn + c− n = cn + cn∗ = 2 Re ( cn )
(
)
bn = j ( cn − c− n ) = j cn − cn∗ = −2 Im ( cn )
An = 2 cn = an2 + bn2
cn = c−∗ n
Widmo amplitudowe: { cn , n = 0, ±1, ±2,...}
Widmo fazowe:
 arg ( cn )

ϕn =  0
π ⋅ sgn ( n )

gdy Im ( cn ) ≠ 0
gdy Im ( cn ) = 0, Re ( cn ) ≥ 0
gdy
Im ( cn ) = 0, Re ( cn ) < 0
Wykres widma otrzymanego z trygonometrycznego szeregu Fouriera nie zawiera
częstotliwości ujemnych. Widmo otrzymane z szeregu zespolonego zawiera zarówno
częstotliwości dodatnie, jak i ujemne.
{
}
2
Widmo mocy: cn , n = 0, ±1, ±2,...
Własności zespolonego szeregu Fouriera
Liniowość
x1 ( t ) =
∞
∑
n =−∞
cn e jnω0t , x2 ( t ) =
∞
∑de
n =−∞
n
jnω 0t
x ( t ) = C ⋅ x1 ( t ) + D ⋅ x2 ( t ) =
∞
∑ (C ⋅ c
n
n =−∞
+ D ⋅ dn ) e jnω0t
Przesunięcie w czasie
x1 ( t ) = x ( t − t0 ) +
x1 ( t ) =
∞
∑ cne
n =−∞
jnω0 ( t −t0 )
=
∞
∑ce
n =−∞
n
jnω0t0
e jnω0t
Twierdzenie Parsevala
Wartość średnia mocy przebiegu periodycznego wyliczona w dziedzinie czasu jest równa
sumie mocy składowych harmonicznych oraz mocy składowej stałej.
T 2
∞
∞
An2
1
2
2
2
P = ∫ x ( t ) dt = A0 + ∑
= ∑ cn
T −T 2
n =1 2
n =−∞
Zależności energetyczne mogą służyć do oceny dokładności przybliżenia kształtu danego
przebiegu przez sumy cząstkowe szeregu Fouriera. Miarą takiego przybliżenia może być
odchylenie standardowe.
σ m2 =
T
2
1
x ( t ) − xm ( t )} dt
{
∫
T0
gdzie:
∞
m
x ( t ) = A0 + ∑ An cos ( nω 0t + ϕ n ), xm ( t ) = A0 + ∑ An cos ( nω 0t + ϕ n )
n =1
n =1
σ m2 =
∞
2
n
A
n = m +1 2
∑
Błąd średniokwadratowy jest równy sumie mocy pominiętych składowych harmonicznych.