Szeregi pot¦gowe - funkcje analityczne

Szeregi pot¦gowe - funkcje analityczne
Twierdzenie 1 (o wzorze Taylora ). Niech funkcja f : R ⊃ (x0 − δ, x0 + δ) −→ R b¦dzie klasy C (∞)
której pochodne s¡ wspólnie ograniczone tzn. istnieje staªa M taka, »e dla ka»dego n ∈ Z oraz ka»dego
x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) zachodzi |f (n) (x)| < M. Wowczas dla ka»dego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0 } prawdziwa
jest równo±¢
f (x) = f (x0 ) +
∞
X
f (n) (x0 )
n!
n=1
Denicja 2. Niech b¦dzie dana funkcja f : C 3 z −→ 1 +
(x − x0 )n .
∈ C. Denicja jest poprawna poniewa»
P∞
zn
n=1 n!
na podstawie kryterium zbie»no±ci d'Alamberta szereg b¦d¡cy warto±ci¡ funkcji jest zbie»ny.
1. Denicja jest zgodna z denicj¡ na liczbach rzeczywistych, st¡d e0 = 1. Mo»na to te» ªatwo sprawdzi¢
bezpo±rednim rachunkiem.
2. Na
e
z1 +z2
podstawie
twierdzenia
o
sumowaniu
szeregów
zbie»nych
mo»na
pokaza¢,
»e
z1 z2
=e e .
3. Niech y ∈ R, wówczas
eiy
=
∞
X
(iy)n
n=0
4. Przypomnijmy |z| =
√
n!
=
∞
X
(iy)n
n=0
n!
=
n
∞
X
iy
n=0
n!
z z̄. Zatem dla y ∈ R mamy |e | =
iy
=
∞
X
(−iy)n
n=0
p
n!
eiy eiy =
= e−iy .
√
√
√
eiy e−iy = eiy−iy = e0 = 1.
5. Dla x, y ∈ R otrzymamy ex+iy = ex eiy i dalej |ex+iy | = |ex ||eiy | = |ex | = ex . Aby obliczy¢ moduª
liczby zespolonej ez wystarczy obliczy¢ eRez co jest dziaªaniem w liczbach rzeczywistych.
6. Z postaci ex+iy = ex eiy wynika, »e na argument liczby zespolonej ez nie ma wpªywu cz¦±¢ rzeczywista
Rez. Do okre±lenia argumentu wystarczy rozwa»a¢ czynnik eiy . Okazuje si¦, »e argumentem liczby
ex+iy = ex eiy jest dokªadnie y.
7. W konsekwencji wszystkich poprzednich uwag otrzymujemy wzór na posta¢ trygonometryczn¡ liczby
ex+iy = ex (cos y + i sin y). W szczególno±ci eiy = cos y + i sin y.
Szeregi Fouriera
Denicja 3. Wielomianem trygonometrycznym nazywamy funkcj¦ argumentu rzeczywistego x o warto±ciach w zbiorze liczb zespolonych postaci
f (x) = a0 +
N
X
(an cos(nx) + bn sin(nx)).
n=1
Przypomnijmy
cos(nx) + i sin(nx) = einx
oraz dla warto±ci przeciwnej
cos(nx) − i sin(nx) = e−inx .
Dodaj¡c i odpowiednio odejmuj¡c stronami otrzymamy
1
cos(nx) = (einx + e−inx ),
2
sin(nx) =
1 inx
(e − e−inx ).
2i
Mno»ymy równania przez wspóªczynniki odpowiednio an i bn
1
an cos(nx) = (an einx + an e−inx ),
2
Zdeniujmy cn = 12 an + 2i1 bn ,
c−n = 12 an −
1
b .
2i n
bn sin(nx) =
1
(bn einx − bn e−inx ).
2i
St¡d
1
1
1
1
c−n e−inx + cn einx = an e−inx − bn e−inx + an einx + bn einx =
2
2i
2
2i
1
1 inx
= an e−inx + einx + bn
e − e−inx = an cos(nx) + bn sin(nx).
2
2i
W konsekwencji ka»dy wielomian trygonometryczny mo»na przedstawi¢ w postaci
f (x) = a0 +
N
X
(an cos(nx) + bn sin(nx)) =
n=1
N
X
cn einx .
n=−N
Funkcja einx jest okresowa o okresie 2π. Jest pochodn¡ funkcji ein zatem te» funkcji okresowej o okresie
2π. W konsekwencji
Z π
einx dx = 0 dla n 6= 0.
inx
−π
Caªka po ka»dym przedziale dªugo±ci b¦d¡cej wielokrotno±ci¡ 2π jest zero. Oczywi±cie dla n = 0 caªka
powy»sza jest równa 2π.
Denicja 4. Szeregiem trygonometrycznym nazywamy funkcj¦ postaci f (x) =
∞
P
cn einx .
n=−∞
Rozwa»my przestrze« wektorow¡ funkcji generowan¡ przez wektory einx dla n ∈ Z. S¡ to funkcje okresowe o okresie 2π. Dodawanie funkcji i mno»enie przez skalary zespolone jest zadane w sposób naturalny.
Przestrze« t¦ tworz¡ wi¦c funkcje które potramy rozwin¡¢ w szereg trygonometryczny.
Twierdzenie 5. Je»eli funkcja f (x) daje si¦ przedstawi¢ w szereg trygonometryczny
czynniki cn takiego przedstawienia znajdujemy ze wzorów
1
cn =
2π
Zπ
−π
f (x)einx dx.
∞
P
−∞
cn einx to wspóª-