1. Rozpatrzmy portfel 2000 (3000) polis ubezpieczenia na życie

1. Rozpatrzmy portfel 2000 (3000) polis ubezpieczenia na życie, opisany
przez następującą tabelkę:
k
1
2
3
qk
0.01
0.01
0.02
bk
1
2
1
nk
1000
500
500
k
1
2
3
4
qk
0.001
0.001
0.002
0.002
bk
1
2
1
2
nk
1500
500
500
500
Niech S będzie całkowitą sumą wypłaconych odszkodowań. Znajdź złożony rozkład Poissona CPoiss(λ, p()), który aproksymuje rozkład zmiennej
losowej S. Znajdź również aproksymujący rozkład normalny N (µ, σ 2 ). Ponadto korzystając z przybliżenia normalnego, podaj P(S > 40) (P(S >
7.5)). Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennej S.
2. Wyznacz rozkład zmiennej losowej SN , gdzie N ∼ P(λ) oraz X1 , X2 , . . .
mają rozkład logarytmiczny
P(Xi = k) =
pk
−1
ln(1 − p) k
k = 1, 2, . . .
3. Zmienna losowa S ma złożony rozkład Poissona: (a) CPoiss(8, p()), (b)
CPoiss(6, p()), (c) CPoiss(5, p()), gdzie funkcja rozkładu prawdopodobieństwa p (dyskretna gęstość) jest dana tabelką:
(a)
1
0.25
2
0.5
3
0,25
(b)
0
0.5
1
0.25
2
0,25
(c) p(x) = 2−x ln 2, x > 0. Oblicz: P(S = 0), E S, VarS, E etS . Zmienną loP3
sową S można przedstawić w postaci j=1 vj Nj , gdzie Nj są niezależnymi
zmiennymi o rozkładzie Poissona, zaś vj są liczbami. Podaj λj = E Nj
oraz vj dla j = 1, 2, 3.
4. Zmienne losowe S1 i S2 mają złożone rozkłady Poissona z parametrami
λ1 = 2 oraz λ2 = 6 i gęstościami p1 oraz p2 danymi jako: p1 (1) =
0.2, p1 (2) = 0.6, p1 (3) = 0.2, a także p2 (3) = 0.5, p2 (4) = 0.5. Wyznacz
rozkład S1 + S2 .
5. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję i funkcję tworzącą momenty dla
złożonych rozkładów Poissona, dwumianowego oraz ujemnego dwumianowego.
6. Liczba szkód generowanych przez pewną grupę ryzyk w ciągu miesiąca
ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 66.67. Wysokość pojedynczej szkody ma rozkład prawdopodobieństwa o wartości oczekiwanej 10 i
odchyleniu standardowym 10. Wysokość szkód i liczby szkód w kolejnych
miesiącach są niezależne. Niech S12 oznacza sumaryczną wysokość szkód
w ciągu roku. Posługując się przybliżeniem normalnym, wybrać takie q,
dla którego P(S12 ≤ q) ≥ 0.95.
1
1. Rozpatrzmy portfel 2000 (3000) polis ubezpieczenia na życie, opisany
przez następującą tabelkę:
k
1
2
3
qk
0.01
0.01
0.02
bk
1
2
1
nk
1000
500
500
k
1
2
3
4
qk
0.001
0.001
0.002
0.002
bk
1
2
1
2
nk
1500
500
500
500
Niech S będzie całkowitą sumą wypłaconych odszkodowań. Znajdź złożony rozkład Poissona CPoiss(λ, p()), który aproksymuje rozkład zmiennej
losowej S. Znajdź również aproksymujący rozkład normalny N (µ, σ 2 ). Ponadto korzystając z przybliżenia normalnego, podaj P(S > 40) (P(S >
7.5)). Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennej S.
2. Wyznacz rozkład zmiennej losowej SN , gdzie N ∼ P(λ) oraz X1 , X2 , . . .
mają rozkład logarytmiczny
P(Xi = k) =
pk
−1
ln(1 − p) k
k = 1, 2, . . .
3. Zmienna losowa S ma złożony rozkład Poissona: (a) CPoiss(8, p()), (b)
CPoiss(6, p()), (c) CPoiss(5, p()), gdzie funkcja rozkładu prawdopodobieństwa p (dyskretna gęstość) jest dana tabelką:
(a)
1
0.25
2
0.5
3
0,25
(b)
0
0.5
1
0.25
2
0,25
(c) p(x) = 2−x ln 2, x > 0. Oblicz: P(S = 0), E S, VarS, E etS . Zmienną loP3
sową S można przedstawić w postaci j=1 vj Nj , gdzie Nj są niezależnymi
zmiennymi o rozkładzie Poissona, zaś vj są liczbami. Podaj λj = E Nj
oraz vj dla j = 1, 2, 3.
4. Zmienne losowe S1 i S2 mają złożone rozkłady Poissona z parametrami
λ1 = 2 oraz λ2 = 6 i gęstościami p1 oraz p2 danymi jako: p1 (1) =
0.2, p1 (2) = 0.6, p1 (3) = 0.2, a także p2 (3) = 0.5, p2 (4) = 0.5. Wyznacz
rozkład S1 + S2 .
5. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję i funkcję tworzącą momenty dla
złożonych rozkładów Poissona, dwumianowego oraz ujemnego dwumianowego.
6. Liczba szkód generowanych przez pewną grupę ryzyk w ciągu miesiąca
ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 66.67. Wysokość pojedynczej szkody ma rozkład prawdopodobieństwa o wartości oczekiwanej 10 i
odchyleniu standardowym 10. Wysokość szkód i liczby szkód w kolejnych
miesiącach są niezależne. Niech S12 oznacza sumaryczną wysokość szkód
w ciągu roku. Posługując się przybliżeniem normalnym, wybrać takie q,
dla którego P(S12 ≤ q) ≥ 0.95.
2