Wykład nr 2 (Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych

2. Równania o rozdzielonych zmiennych
2
2–1
Równania różniczkowe zwyczajne o
rozdzielonych zmiennych
Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych
zmiennych nazywamy równanie różniczkowe postaci
p(t)
(RRZ)
x0 =
.
q(x)
2.1
Zagadnienie początkowe dla równania
różniczkowego o rozdzielonych zmiennych
Twierdzenie 2.1 (Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania
zagadnienia początkowego dla równania różniczkowego o rozdzielonych
zmiennych). Załóżmy, że p : (a, b) → R i q : (c, d) → R \ {0} są funkcjami
ciągłymi. Niech t0 ∈ (a, b) i x0 ∈ (c, d). Wówczas istnieje rozwiązanie
ϕ : (α, β) → (c, d), (α, β) ⊂ (a, b), zagadnienia początkowego
p(t)
q(x)


x(t0 ) = x0 .


x0
(RRZ-ZP)
=
Rozwiązanie to jest jednoznaczne w następującym sensie: jeżeli
ϕ1 : (α1 , β1 ) → (c, d) i ϕ2 : (α2 , β2 ) → (c, d) są rozwiązaniami zagadnienia
(RRZ-ZP), to ϕ1 (t) = ϕ2 (t) dla wszystkich t ∈ (α1 , β1 ) ∩ (α2 , β2 ).
Dowód. Załóżmy, że ϕ : (α, β) → R jest rozwiązaniem zagadnienia
(RRZ-ZP). Zachodzi wtedy
p(t)
, czyli p(t) = q(ϕ(t))ϕ0 (t)
q(ϕ(t))
Całkując powyższą równość od t0 do t otrzymujemy
ϕ0 (t) =
(2.1)
Zt
t0
p(s) ds =
Zt
q(ϕ(s))ϕ0(s) ds =
∀t ∈ (α, β).
ϕ(t)
Z
q(ξ) dξ
x0
t0
(w ostatniej równości wykorzystaliśmy wzór na całkowanie przez
podstawienie). Oznaczmy
P (t) :=
Q(x) :=
Zt
t0
Zx
x0
p(s) ds,
t ∈ (a, b),
q(ξ) dξ,
x ∈ (c, d).
2–2
Skompilował Janusz Mierczyński
W powyższych oznaczeniach równość (2.1) można zapisać jako
Q(ϕ(t)) = P (t),
t ∈ (α, β).
Powyższą równość można formalnie zapisać w postaci
ϕ(t) = (Q−1 ◦ P )(t),
t ∈ (α, β).
Funkcja Q : (c, d) → R jest funkcją klasy C 1 o niezerowej pochodnej, zatem
jest ściśle monotoniczna, i obraz Q((c, d)) jest przedziałem otwartym (γ, ζ).
Dalej, Q przeprowadza przedział (c, d) na przedział (γ, ζ) w sposób
różnowartościowy. Zatem funkcja odwrotna Q−1 przeprowadza przedział
(γ, ζ) na przedział (c, d) w sposób różnowartościowy. Ponadto, z twierdzenia
o pochodnej funkcji odwrotnej wynika, że Q−1 jest klasy C 1 .
Funkcja P jest ciągła oraz P (t0 ) = 0 = Q(x0 ). Niech ε := min{−γ, ζ}. Z
ciągłości funkcji P wynika, że istnieje δ > 0 takie, że jeśli |t − t0 | < δ i
t ∈ (a, b), to P (t) ∈ (−ε, ε) ⊂ (γ, ζ). Dziedzina funkcji złożonej Q−1 ◦ P
zawiera zatem przedział otwarty (t0 − δ, t0 + δ).
Przechodzimy teraz do dowodu jednoznaczności. Niech ϕ1 : (α1 , β1 ) → (c, d)
i ϕ2 : (α2 , β2 ) → (c, d) będą rozwiązaniami zagadnienia początkowego
(RRZ-ZP). Załóżmy nie wprost, że zbiór
Θ := { t ∈ (α1 , β1 ) ∩ (α2 , β2 ) : ϕ1 (t) 6= ϕ2 (t) } jest niepusty. Dla ustalenia
uwagi załóżmy też, że Θ ∩ (t0 , b) 6= ∅. Niech t1 := inf(Θ ∩ (t0 , b))). Z części
pierwszej twierdzenia wynika istnienie δ > 0 takiego, że t1 > t0 + δ. Jako że
ϕ1 (t) = ϕ2 (t) dla wszystkich t ∈ [t0 , t1 ), ciągłość gwarantuje nam, że
ϕ1 (t1 ) = ϕ2 (t1 ) =: x1 . Lecz zagadnienie początkowe
p(t)
q(x)


x(t1 ) = x1


x0
=
ma jednoznaczne rozwiązanie na pewnym przedziale otwartym
zawierającym t1 , co przeczy naszemu wyborowi t1 .
Przykład . Znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego

x0
= x2
x(0) = 1
(2.2)
Mamy tutaj p(t) ≡ 1, (a, b) = (−∞, ∞), q(x) = 1/x2 , (c, d) = (0, ∞),
P (t) = t, Q(x) = 1 − 1/x, (γ, ζ) = (−∞, 1). Wzór (2.1) przyjmuje postać
Zt
0
ds =
ϕ(t)
Z
1
dξ
,
ξ2
2. Równania o rozdzielonych zmiennych
2–3
czyli
t=1−
1
,
ϕ(t)
ϕ(t) =
1
1−t
co daje ostatecznie
(tutaj (α, β) = (−∞, 1)).
Powyższy przykład pokazuje, że w odróżnieniu od rozpatrywanego wcześniej
zagadnienia początkowego dla równania różniczkowego zwyczajnego
liniowego (patrz Wykład nr 1), w przypadku równania o rozdzielonych
zmiennych może się zdarzyć, że dziedzina rozwiązania jest właściwym
podzbiorem „czasowego” czynnika dziedziny prawej strony równania.
2.2
„Całka ogólna” i „rozwiązanie ogólne” równania
o rozdzielonych zmiennych
W praktyce, podobnie jak w przypadku równań różniczkowych liniowych,
równania o rozdzielonych zmiennych rozwiązuje się nieco inaczej.
Mianowicie, w równaniu
x0 =
(RRZ)
p(t)
dx
=
dt
q(x)
(bez warunków początkowych!) formalnie rozdzielamy zmienne:
q(x) dx = p(t) dt,
i nakładamy na obie strony całkę nieoznaczoną:
Z
q(x) dx =
Z
p(t) dt.
Ustalmy teraz funkcję pierwotną Q funkcji q, i funkcję pierwotną P funkcji
p. Powyższą równość możemy zapisać jako
(2.3)
Q(x) = P (t) + C,
gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą. Wyrażenie takie nazywane jest
niekiedy całką ogólną równania różniczkowego o rozdzielonych zmiennych
(RRZ).
2–4
Skompilował Janusz Mierczyński
Całkę ogólną możemy traktować jako rodzinę rozwiązań równania (RRZ)
będących funkcjami uwikłanymi. Istotnie, różniczkując równość (2.3) po t
(pamiętamy, że x = x(t)!), otrzymujemy
x0 (t)Q0 (x(t)) = P 0(t),
czyli
x0 =
p(t)
.
q(x)
Jeżeli całka ogólna da się rozwikłać względem x, tzn. zapisać w postaci
(2.4)
x = Φ(t; C),
powyższe wyrażenie będziemy nazywać rozwiązaniem ogólnym równania
(RRZ).
Przykład . Rozwiązać równanie różniczkowe
x0 = 1 + x2 .
Mamy
Z
dx
=
1 + x2
Z
dt,
czyli
arc tg x = t + C,
co da się rozwikłać jako
x = tg (t + C),
gdzie C jest stałą dowolną.
Z Twierdzenia 2.1 wynika, że otrzymany wzór wyczerpuje wszystkie
możliwe rozwiązania równania. Istotnie, niech ϕ : (α, β) → R będzie
rozwiązaniem. Ustalmy t0 ∈ (α, β), i połóżmy x0 := ϕ(t0 ). Oczywiście
funkcja ϕ jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego

x0
= 1 + x2
x(t0 ) = x0 .
Niech C będzie liczbą rzeczywistą taką, że x0 = tg (t0 + C) (w istocie, takie
C jest określone z dokładnością do dodania całkowitej wielokrotności π).
Zatem, na podstawie jednoznaczności rozwiązania zagadnienia
początkowego, ϕ(t) = tg (t + C) dla każdego t ∈ (α, β).
Metodę rozdzielania zmiennych można bezpiecznie stosować do równań w
tym obszarze, gdzie q jest różne od zera. Poza tym obszarem mogą czasami
pojawiać się rozwiązania, których nie da się wyrazić poprzez rozwiązanie
ogólne, co ilustruje następujący
2. Równania o rozdzielonych zmiennych
2–5
Przykład . Rozwiązać równanie różniczkowe
x0 = 3x2/3 .
Mamy
Z
dx
=
3x2/3
Z
dt,
co daje
x1/3 = t + C.
Zatem „rozwiązanie ogólne” to
x = (t + C)3 .
Weźmy C = 0. Funkcja ϕ : R → R, ϕ(t) = t3 jest rozwiązaniem zagadnienia
początkowego

x0 = 3x2/3
x(0) = 0.
Ale funkcja ψ(t) ≡ 0 też jest rozwiązaniem tego zagadnienia, a nie da się jej
zapisać w postaci (t + C)3 przy żadnym doborze stałej C. Co więcej,
funkcja χ zdefiniowana jako

0
χ(t) = 
3
t
dla t ¬ 0
dla t ­ 0,
też spełnia to zagadnienie.
2.3
Autonomiczne równania różniczkowe
Ważną klasą równań różniczkowych zwyczajnych są równania różniczkowe
(pierwszego rzędu) autonomiczne, tzn. równania postaci
(RA)
x0 = f (x).
Wnioskiem z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania
zagadnienia początkowego dla równań o rozdzielonych zmiennych (Tw. 2.1)
jest następujący fakt:
Fakt 2.2. Załóżmy, że f : (c, d) → R \ {0} jest funkcją ciągłą. Niech t0 ∈ R
i x0 ∈ (c, d). Wówczas istnieje rozwiązanie ϕ : (α, β) → (c, d) zagadnienia
początkowego
(RA-ZP)

x0
= f (x)
x(t ) = x .
0
0
2–6
Skompilował Janusz Mierczyński
Rozwiązanie to jest jednoznaczne w następującym sensie: jeżeli
ϕ1 : (α1 , β1 ) → (c, d) i ϕ2 : (α2 , β2 ) → (c, d) są rozwiązaniami zagadnienia
(RA-ZP)), to ϕ1 (t) = ϕ2 (t) dla wszystkich t ∈ (α1 , β1 ) ∩ (α2 , β2 ).
Pożyteczną rzeczą jest zastanowienie się nad znaczeniem pewnych całek
występujących w dowodzie powyższego faktu. Przypomnijmy, że x = ϕ(t)
jest to stan naszego układu (fizycznego, biologicznego, itp.) w chwili t, w
szczególności stan układu w chwili początkowej t0 to x0 . Zauważmy, że ϕ to
funkcja ściśle monotoniczna o niezerowej pierwszej pochodnej. Wybierzmy
dwa momenty czasowe t1 < t2 , i oznaczmy odpowiadające im stany
x1 := ϕ(t1 ), x2 := ϕ(t2 ). Całkując równość
1≡
ϕ0 (t)
f (ϕ(t))
i stosując wzór na zamianę zmiennych otrzymujemy
(2.5)
t2 − t1 =
Zt2
ds =
t1
Zx2
x1
dξ
,
f (ξ)
co można wyrazić słowami w następujący sposób: całka xx12 dξ/f (ξ) jest
równa czasowi potrzebnemu na przejście układu ze stanu x1 do stanu x2 .
R
2.4
Równania różniczkowe dające się sprowadzić do
równań o rozdzielonych zmiennych
1) Równanie różniczkowe postaci
x0 = f (at + bx),
gdzie b 6= 0
daje się sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych przy pomocy
podstawienia
u = at + bx
(u = u(t) jest nową zmienną zależną).
2) Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu jednorodne, tzn.
równanie postaci
x
x0 = f
t
daje się sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych przy pomocy
podstawienia
x
u=
t
2. Równania o rozdzielonych zmiennych
2–7
Istotnie, różniczkując równość x = ut po t otrzymujemy x0 = u0 t + u, co po
podstawieniu do równania i prostych przekształceniach daje
u0 =
f (u) − u
.
t