Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu. Def.1 Równaniem

Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu.
Def.1
Równaniem różniczkowym zwyczajnym I rzędu nazywamy równanie
postaci:
,
w którym występuje istotnie, pozostałe zaś argumenty mogą, lecz nie
muszą występować.
Uwaga:
r.r.- skrót od „równanie różniczkowe”
Def.2.
Rozwiązaniem (całką) r.r. nazywamy każdą funkcję
spełniającą dane równanie, dla każdego x z pewnego
przedziału.
Def.3.
Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) r.r. nazywamy każdą funkcję
postaci
, która dla każdej wartości C jest rozwiązaniem tego
r.r.
Def.4.
Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) r.r. nazywamy każdą
funkcję postaci
, którą otrzymujemy z całki ogólnej poprzez
przyjęcie C=C0.
Def.5.
Zagadnieniem Cauchy’ego I rzędu nazywamy poszukiwanie takiego
rozwiązania szczególnego, które spełnia tzw. warunki początkowe
postaci:
.
Oznacza to poszukiwanie takiej funkcji, której wykres przechodzi przez z
góry zadany punkt
Def.6.
Rozwiązaniem osobliwym (całką osobliwą) r.r. nazywamy takie
rozwiązanie, którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przy
żadnej wartości stałej C.
Sposób rozwiązania równania różniczkowego zależy od jego postaci.
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.
dy
 f ( x) g ( y )
dx
gdzie f(x), g(y) są określone i ciągłe odpowiednio w przedziałach
.
Rozwiązanie tego równania polega na sprowadzeniu go do postaci:
dy
 f ( x)dx
g ( y)
zakładając, że
Całkujemy każdą ze stron równania względem zmiennej
y (po lewej stronie) i względem x ( po prawej stronie).
Otrzymujemy wówczas równanie:
dy
 g ( y)   f ( x)dx  C
gdzie C jest dowolną stałą.
Przykład (1)
dy
 y0
dx
dy
x2
 y: y  0
dx
dy
dx
 2
y
x
x2
dy
dx


 y  x2  C
1
ln y   C
lub
x
y e
1
C
x
lub
ln y 
1
 ln C
x
y  Ce
1
x
C0
C0
Jeśli rozwiązanie ogólne przedstawimy w postaci:
,
to ewentualne równanie osobliwe y=0
(można sprawdzić podstawiając y=0 do wyjściowego równania) zostanie
ujęte w tym rozwiązaniu.
Przykład (2)
Zagadnienie Cauchy’ego.
dy
 2 y  3  0,
dx
y (0)  1
dy
 2y  3
dx
dy
 2dx
y  1,5
ln y  1,5  2 x  C
y (0)  1
ln 1  1,5  2  0  C0
C0  ln
1
2
1
y  e 2 x  1,5
2
Równanie różniczkowe jednorodne ze względu na .
dy
 y
 f  , x  0
dx
x
gdzie f jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale i zależy tylko (!) od ilorazu
Sprowadza się to równanie do równania o zmiennych rozdzielonych
poprzez podstawienie:
Stąd
oraz
Po otrzymaniu rozwiązania r.r. względem u powracamy do ilorazu i
wyznaczamy funkcję y.
Przykład (3)
dy x 2  y 2

, x  0, y  0
dx
xy
 y
1  
dy
x

y
dx
x
2
Po podstawieniu j.w.
du 1  u 2
ux

dx
u
du 1  u 2
x

u
dx
u
du 1  u 2  u 2
x

dx
u
dx
udu 
x
dx
 udu   x
u2
 ln x  C
2
y 2  2 x 2 (ln x  C )
Równanie różniczkowe liniowe.
dy
 p ( x) y  q( x)
dx
liniowe względem y i y’.
Funkcje p(x) i q(x) są ciągłe w pewnym wspólnym przedziale.
Równanie różniczkowe liniowe jednorodne.
dy
 p( x) y  0
dx
Rozwiązaniem tego równania jest
Jeśli
to zmienne dają się rozdzielić:
dy
  p( x)dx
y
dy
 y   p( x)dx
ln y    p( x)dx
 p ( x ) dx
y  Ce 
,C  0
Przykład (4)
ex
2
2
dy
 xy  0  e  x
dx
2
dy
 xye x  0
dx
2
dy
  xye x : y  0
dx
2
dy
  xe x dx
y
dy
 x2


xe
dx
 y 
1 2
ln y  e  x  ln C , C  0
2
1  x2
1  x2
e
ln Cy  e  y  Ce 2
2
Jeśli rozszerzymy C na cały zbiór liczb rzeczywistych, to ostatnia
równość będzie całką ogólną dla dowolnego C.
Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne.
Jedną z metod rozwiązania tego równania jest metoda „uzmiennienia
stałej C” w rozwiązaniu ogólnym r.r. liniowego jednorodnego.
Stała C zostaje zastąpiona funkcją argumentu x, ozn. C(x).
 p ( x ) dx
y  C( x)e 
Po zróżniczkowaniu stronami względem x i wstawieniu do r.r. liniowego
niejednorodnego wyznacza się funkcję C(x).
Przykład (5)
dy
x2
 xy  xe
dx
Rozwiązując r.r. liniowe jednorodne
dy
 xy  0
dx
otrzymujemy jego niezerowe rozwiązanie:
y  Ce
x2
2
Dokonujemy uzmiennienia stałej C i rozwiązujemy r.r. liniowe
niejednorodne:
y  C ( x )e
x2
2
2
2
x
dy dC x2

e  C ( x) xe 2
dx dx
2
2
2
x
x
2
dC x2
2
e  C ( x) xe  xC( x)e 2  xex
dx
2
2
x

dC x2
x2
e  xe  e 2
dx
x2
2
C ( x)   xe dx  e
x2
2
 C1
Całka ogólna r.r liniowego niejednorodnego jest równa:
y  (e
x2
2
 C1 )e
x2
2
x2
2
y  e  C1e , C1  R
x2