Krzywe na płaszczyźnie. Współrzędne parametryczne i biegunowe

Krzywe na płaszczyźnie.
Współrzędne parametryczne i biegunowe.
Współrzędne biegunowe.
Dany jest punkt O, zwany biegunem, który stanowi początek
półprostej, zwanej półosią.
Dowolny punkt P na płaszczyźnie można opisać parą współrzędnych
(r,), gdzie r jest równe odległości punktu od bieguna O, a  jest
równe mierze kąta skierowanego między półosią, a półprostą
poprowadzoną z bieguna przez dany punkt.
r
P=(r,)

O
Układ współrzędnych biegunowych można przedstawić jako
zbiór nieskończenie wielu okręgów o wspólnym środku (biegunie),
przeciętych półprostymi o początku w biegunie i wyróżnioną półosią:
Niektóre krzywe w postaci biegunowej:
Okrąg (promieniu a,a>0, środek w biegunie):
r=a
Spirala Archimedesa:
r=
Ślimak Pascala:
Kardioida ( krzywa sercowa)- krzywa opisana przez ustalony punkt
okręgu toczącego się bez poślizgu po zewnętrzu innego nieruchomego
okręgu o tej samej średnicy (patrz środkowy rysunek powyżej)
r=1+cos
tabela:
 0

r
2 1+
1+
1
1-
0
1-
lub wykres (na osi rzędnych mamy r a na osi odciętych kąt)
1
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
Róża:
r=2sin(4)
Zależność między współrzędnymi biegunowymi a współrzędnymi
kartezjańskimi:
(za półoś przyjmujemy dodatnią półoś Ox)
6
7
 x  r cos

 y  r sin
Współrzędne parametryczne.
Współrzędne te są pewną modyfikacją współrzędnych kartezjańskich.
Współrzędne (x,y) są różnymi funkcjami tego samego argumentu t:
 x  x(t )

 y  y(t )
, t  t1 , t2
Krzywa o równaniu:
 x  1  2t

 y  2  3t
,t  R
to prosta:
t
x
y
-2
5
-4
-1
3
-1
0
1
2
1
-1
5
2
-3
8
3
-5
11
W ten sposób każda prosta można opisać parametrycznie:
 x  a  bt

 y  c  dt
,t  R
Krzywa o równaniu:
 x  a  r cost

 y  b  r sin t
, t  0,2
to okrąg o promieniu r i środku w punkcie (a,b).
4
-7
14
Cykloidakrzywa jaką zakreśla ustalony punkt okręgu, który toczy się bez
poślizgu po prostej
Asteroida:
krzywa płaska, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez
poślizgu wewnątrz okręgu o większym promieniu
 x  a cos3 t

3
y

a
sin
t

, t  0,2
Zastosowania całki oznaczonej dla współrzędnych biegunowych i
parametrycznych:
1. Pole figury płaskiej:
r()
S



1
S   r 2 ( )d
2
y(t2)
y(t1)
S
x(t1)
t2
S   y(t ) x' (t ) dt
t1
2. Objętość bryły obrotowej
x(t2)
y(t1)
y(t2)
x(t1)
t2
V    y (t ) x' (t ) dt
2
t1
3. Długość krzywej.
Zakładamy, że r’() jest ciągła

L   r 2 ( )  r ' ( ) d
2

Zakładamy, że x’(t) i y’(t) są ciągłe
t2
L
t1
x' (t )2  y' (t )2 dt
x(t2)
4.Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót…
t2
P  2  y(t )
x' (t )2  y' (t )2 dt
t1
Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu.
Def.1
Równaniem różniczkowym zwyczajnym I rzędu nazywamy równanie
postaci:
,
w którym występuje istotnie, pozostałe zaś argumenty mogą, lecz nie
muszą występować.
Uwaga:
r.r.- skrót od „równanie różniczkowe”
Def.2.
Rozwiązaniem (całką) r.r. nazywamy każdą funkcję
spełniającą dane równanie, dla każdego x z pewnego
przedziału.
Def.3.
Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) r.r. nazywamy każdą funkcję
postaci
, która dla każdej wartości C jest rozwiązaniem tego
r.r.
Def.4.
Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) r.r. nazywamy każdą
funkcję postaci
, którą otrzymujemy z całki ogólnej poprzez
przyjęcie C=C0.
Def.5.
Zagadnieniem Cauchy’ego I rzędu nazywamy poszukiwanie takiego
rozwiązania szczególnego, które spełnia tzw. warunki początkowe
postaci:
.
Oznacza to poszukiwanie takiej funkcji, której wykres przechodzi przez z
góry zadany punkt
Def.6.
Rozwiązaniem osobliwym (całką osobliwą) r.r. nazywamy takie
rozwiązanie, którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przy
żadnej wartości stałej C.
Sposób rozwiązania równania różniczkowego zależy od jego postaci.
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.
dy
 f ( x) g ( y )
dx
gdzie f(x), g(y) są określone i ciągłe odpowiednio w przedziałach
.
Rozwiązanie tego równania polega na sprowadzeniu go do postaci:
dy
 f ( x)dx
g ( y)
zakładając, że
Całkujemy każdą ze stron równania względem zmiennej
y (po lewej stronie) i względem x ( po prawej stronie).
Otrzymujemy wówczas równanie:
dy
 g ( y)   f ( x)dx  C
gdzie C jest dowolną stałą.
Przykład (1)
dy
 y0
dx
dy
x2
 y: y  0
dx
dy
dx
 2
y
x
x2
dy
dx


 y  x2  C
1
ln y   C
lub
x
y e
1
C
x
lub
ln y 
1
 ln C
x
y  Ce
1
x
C0
C0
Jeśli rozwiązanie ogólne przedstawimy w postaci:
,
to ewentualne równanie osobliwe y=0
(można sprawdzić podstawiając y=0 do wyjściowego równania) zostanie
ujęte w tym rozwiązaniu.
Przykład (2)
Zagadnienie Cauchy’ego.
dy
 2 y  3  0,
dx
y (0)  1
dy
 2y  3
dx
dy
 2dx
y  1,5
ln y  1,5  2 x  ln C
y  1,5  Ce 2 x
y  Ce 2 x  1,5
Uwzględniając warunek początkowy obliczamy
„szczególną wartość” C i całkę szczególną:
1
0
5
1  Ce  1,5
C  1  1,5  0,5
y  1,5  0,5e 2 x
Równanie różniczkowe jednorodne ze względu na .
dy

dx
 y
f  , x  0
 x
gdzie f jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale i zależy tylko (!) od ilorazu
Sprowadza się to równanie do równania o zmiennych rozdzielonych
poprzez podstawienie:
Stąd
oraz
Po otrzymaniu rozwiązania r.r. względem u powracamy do ilorazu i
wyznaczamy funkcję y.
Przykład (3)
dy x 2  y 2

, x  0, y  0
dx
xy
 y
1  
dy
x

y
dx
x
2
Po podstawieniu j.w.
du 1  u 2
ux

dx
u
du 1  u 2
x

u
dx
u
du 1  u 2  u 2
x

dx
u
dx
udu 
x
dx
udu


 x
u2
 ln x  C
2
y 2  2 x 2 (ln x  C )