Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 11 Zadanie 1 Obliczyc

Analiza Matematyczna dla Informatyków
Lista 11
Zadanie 1 Obliczyć nastepuj
ace
calki podwójne:
,
,
x
a)
x ln y dxdy, gdzie D = [0, 4] × [1, e];
D
x
dxdy
, gdzie D = (x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2 ;
2
(x + y)
D
x
c)
(x + 2y) dxdy, gdzie D = (x, y) ∈ R2 : y 2 − 4 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 3 ;
b)
D
x x
d)
dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym okregiem
x2 + y 2 = 1 i prostymi x + y = 1, y = 0.
,
y
D
Zadanie 2 Obliczyć nastepuj
ace
calki potrójne:
,
,
Z 1 Z x Z y
a)
dx
dy
xyz dz;
0
Z
0
4
dz
b)
0
c)
y
d)
y
0
x
xyz dxdy, gdzie D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, x > 0, y > 0 ;
D
xyz dxdydz, gdzie B jest bryla, ograniczona, powierzchniami y = x2 , x = y 2 , z = xy, z = 0;
B
x dxdydz, gdzie B jest bryla, ograniczona, plaszczyznami ukladu wspólrzednych
i plaszczyzna, przechodzac
, a,
,
B
przez punkty (2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3).
Zadanie 3 Obliczyć nastepuj
ace
calki podwójne:
,
,
x
ln(x2 + y 2 ) dxdy, gdzie D jest pierścieniem zawartym pomiedzy
okregami
x2 + y 2 = e2 i x2 + y 2 = e4 ;
a)
,
,
D
Z
√
a
b)
Z
x
r
1−
D
d)
p
x2 + y 2 dy;
0
0
c)
a2 −x2
dx
y2
x2
− 2 dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym elipsa,
2
a
b
x2
a2
+
x p
x x2 + y 2 dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym petl
, a, lemniskaty
y2
b2
= 1;
x2 + y 2
2
= a2 x2 − y 2 , (a > 0);
D
Zadanie 4 Obliczyć nastepuj
ace
calki potrójne:
,
,
yp
x2 + y 2 + z 2 dxdydz gdzie B jest bryla, ograniczona, sfera, x2 + y 2 + z 2 = 2z;
a)
B
y x2
2
2
2
y2
z2
b)
+ 2 + 2 dxdydz, gdzie B jest bryla, ograniczona, elipsoida, xa2 + yb2 + zc2 = 1;
2
a
b
c
B
y
c)
z dxdydz, gdzie B jest bryla, ograniczona, powierzchniami x2 + y 2 = z 2 i z = a > 0;
B
Z
√
2
Z
dx
d)
0
2x−x2
Z
dy
0
a
z
0
p
x2 + y 2 dz, gdzie a > 0;